數(shù)列,通項(xiàng)公式方法,求前n項(xiàng)和例題講解和方法總結(jié)

a{nnn1a{nnn1n數(shù)列的通公式通項(xiàng)公如果數(shù)列

的第n項(xiàng)

與項(xiàng)數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)公式來表達(dá)，叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式。數(shù)列的推式（）果知列

，任一項(xiàng)

a

與它的前一項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示。（）推式數(shù)列所特有的表示方法，它包含兩部分，一是遞推關(guān)系，二是初始條件，二者缺一不可數(shù)列的n項(xiàng)和數(shù)通公的系數(shù)列

項(xiàng)和，叫做數(shù)列的前n項(xiàng)和，用表，即

=n3

nS

與通項(xiàng)的系是

a

=

S1Snn

(n(求數(shù)列項(xiàng)式常方有(前6種用，特別是2,5,6)、式法，

用差列等數(shù)的義通2和S與a

S1Snn

求解.注：求完后一定要考慮并通、（疊）加法形如

n

f()n

∴

a=(n

n

n

n

a)21）.累（疊）法：形

a

n

fna

n

∴

aaaa=nnaaann1）.待定數(shù)法：如

a

=pa+q（p≠1，pq設(shè)

+k=pa+k）造新的等比數(shù)列）

倒法形如（兩邊倒，構(gòu)新數(shù)列，n

然后用待定系數(shù)法或是等差數(shù)）7).對(duì)數(shù)變換法形如n

)ann

a（然后用待定系數(shù)法或是差數(shù)列）n8).除冪構(gòu)造法形如

a

aqa1ddn

(然用待定系數(shù)法或是等差數(shù)9).

歸納—猜想—證明”法直接求解或變形都比較困難時(shí)，先求出數(shù)列的前面幾項(xiàng)，猜測(cè)出通項(xiàng)，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明方法就是“歸納—猜想—證明”法．遞推數(shù)列問題成為高考命題的熱點(diǎn)題型，對(duì)于由遞推式所確定的數(shù)列通項(xiàng)公式問題，通?？蓪?duì)推式的變形轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)下面將以常見的幾種遞推數(shù)列入手，談?wù)劥祟悢?shù)列的通項(xiàng)公式求..

ann1n－1n33n1nn＋1n2132n－1ann1n－1n33n1nn＋1n2132n－1n1n1n11nn1111.

前n項(xiàng)和

通公式方及型例n與n的關(guān)法例1、已知下列兩數(shù)列{}

的前項(xiàng)s的公式，求

{}

的通項(xiàng)公式。（1）S＝2n2

－3；（）

n

2

解：(1)a＝＝－3－1，當(dāng)n≥2時(shí)a＝－＝(22－n)n－1)2－＝4－5，由于a也合此等式，a＝4－（）

11

，當(dāng)

2

時(shí)

a

=

=

=3

經(jīng)驗(yàn)證

1

也滿足上式∴

a

=3

（）

0，當(dāng)n2時(shí)，a1n

n

n

由于

1

不適合于此等式?！?/p>

(nn(2)(點(diǎn)評(píng)要分n=1和兩種況別行算然驗(yàn)?zāi)芊褚?2.加法:

n

f()n

型

aan

n

n

a)21在數(shù)列{}，＝，a＝＋；解由a－＝

n把＝，…，n≥代入，得n1)個(gè)式子，累加即可得a－a)(a－a)…＋(－)＝2＋

＋＋2

n

－

1

，所以

n1－＝，－即a－＝

n

－2，所以＝2n

－＋a＝2

n當(dāng)n＝1時(shí)a＝也符合，所＝

－N*．3.乘法

a

n

a(n)n

型，

aa=naan已數(shù)列

中滿足a=1，

a

2

，求的通項(xiàng)公式解：∵

a

2

∴

2

.∴

aaaaa

a

2

(

∴

(

.

n1n1n＋1n1nnnnn1nn1n1annnnnnnn1n3nnan1n1n＋1n1nnnnn1nn1n1annnnnnnn1n3nna4.待系法an=pa+q（≠1，pq≠0），通過分解常數(shù)，可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù){+k}的式求解。解法：設(shè)

+k=p（+k與原式比較系數(shù)可得pk－，k=

qp

，從而得等比數(shù){a+k}。在數(shù)列{}，＝，a＝a＋1.由a＝a＋1得a＋1＝a＋1)，令b＝＋，所以{}以2為公比的等比數(shù)列．所以b＝b

n

－1

＝(a＋n

－

1

＝2n

＋

1所a＝b－＝n

＋1

－1(n∈N*．5.

倒變換、形如

a

a

的分式系的遞推公，分子有一項(xiàng)（邊倒再離數(shù)成

pa

求）后用待定系數(shù)法或是等差數(shù)列例5.已數(shù)列

{}n

滿足

n

n,an

，求數(shù)列

{}n

的通項(xiàng)公式。解：由

1n,得,aannnn

1是以首項(xiàng)為，差為的等差數(shù)列(a1n考六、構(gòu)法.形

qa

a1ddd

然后用待定系數(shù)法或是等差數(shù)列、知數(shù)列

{}n

滿足

a

(n

求a．解將

a

a

兩邊同除，

aannn

，變形為

a2an3

．設(shè)

ab

b(，則．以3

，數(shù)列

a{是以b33

為首項(xiàng)，為差的等比數(shù)列．)

n

abn．因，以nn

n

=

n()

n

得=

3

．.

.求數(shù)列通公式一、數(shù)列通項(xiàng)公式的求法1、察觀數(shù)中項(xiàng)其號(hào)的系分各中變部與變部，探各中化分序間的系從歸出成律出項(xiàng)式例由列前項(xiàng)通公（），，，，…（），，，，3）

12,23

34,,452、義：當(dāng)知列等或比列，直利等或比列通項(xiàng)式只求首及差公。這方適于知列型題．例（）知

差列，且

a。25

a.；（）知數(shù)列

a

}為比數(shù)列，

6,a5

求數(shù)列

a

}通項(xiàng)公式；（）知等比列

a13,aa1312

，求數(shù)列

式（4數(shù)列

{}n

中，

a1

n

n

，求

{}n

的通項(xiàng)公式（）知數(shù)列

{}n

滿足

a

，

，求

{}n

的通項(xiàng)公式（6）已數(shù)

a,當(dāng)n2S1

n

Sn

n

則

n

.

n.nn

3、式：已數(shù)的n項(xiàng)和式求項(xiàng)式基方是

(n1(nn注：先和n≥兩種情分進(jìn)運(yùn)，后證否一。例（）知列

{}

的前n項(xiàng)n，

{}

的通項(xiàng)公式。（2）已數(shù)

n

則

n

（）知數(shù)列

前n項(xiàng)和

s

nn

，求

{}

的通項(xiàng)公式累加法：利用

aan11n

n

求通項(xiàng)公式的方法稱為累加法。累加法是求型如

n

f(n)n

的f()遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法（可求前n項(xiàng)和）.反:用累加法求通項(xiàng)公的關(guān)鍵是將遞推公式變形為

n

)n

.例）列

{}n

中，

aa

a

，求

{}n

的通項(xiàng)公式.

nnnnn.nnnnn（）數(shù)列

a1

1，a22

求數(shù)列

？5、累法利用恒等式

an1

aa2a1n

求通項(xiàng)公式的方法稱為累乘法累乘法是求型

n

)a

n

的遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方(數(shù)

)

可求前

項(xiàng)積.例（）知列

{}首項(xiàng)a，且ann

(n2)n

，求數(shù)列

{}n

的通項(xiàng)公式（）知數(shù)列

{}首項(xiàng)a1,nn1n

，求數(shù)列

{}n

的通項(xiàng)6湊配（叫造數(shù)）

:將推公式

n+1

（,為數(shù)，q0，d0通過na

n

)()n

與原遞推公式恒等變成

an

d(qq

的方法叫湊法構(gòu)新.例（1）數(shù)列

{}，a2,n1

n

a，求{}n

的通項(xiàng)公式（）知數(shù)列

aa1n

n

n2),求、倒數(shù)換將遞推數(shù)列

an

11(d0),倒數(shù)變成aacacn

的形式的方法叫倒數(shù)變換..

nnnn1nn求列.nnnn1nn求列例（）數(shù)

a

1,22an

,求數(shù)列

式求前項(xiàng)和的方(1)公法①等差數(shù)列前項(xiàng)和＝____________＝________________，推導(dǎo)方法；②等比數(shù)列前項(xiàng)和＝③常見數(shù)列的前n項(xiàng)：

，q＝1，＝，≠

推導(dǎo)方法：乘公比，錯(cuò)位相減法．a(chǎn)＋＋＋…＋n＝________________；

．2＋＋6＋…＋2＝_________________c．1＋＋5＋…＋－＝_____________．

2

(n6e

33

(n]2(2)分求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可以分為幾個(gè)等差或等比數(shù)列或者常見的數(shù)列，即可以分別求和，然后再合并；(3)裂相消)法：求和．

有時(shí)把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式分成兩項(xiàng)差的形式，相加過程消去中間項(xiàng)，只剩有限項(xiàng)再常見的裂項(xiàng)公式有：①_x0001_

1＝－；②＝＋

－2＋1

；③

＋n

＝＋1－.

1()n(4)錯(cuò)相減：適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和．這種方法主要用于求數(shù)列{}前n項(xiàng)和，其中

和；(5)倒相加：

例如，等差數(shù)列前n項(xiàng)公式的推導(dǎo)考二分組求和111???,(),???22n.

的前n項(xiàng)。

n.n1

1112???n)4(123???n)(

1???)22

1(n1考三.裂相法

：3.

求數(shù)列

11

12

,

1n

,

的前n項(xiàng)和.解：設(shè)

an

1n

nn

（裂項(xiàng)）則

Sn

11

12

1n

（裂項(xiàng)求和）＝

(21)3

2)n)

＝

n考四錯(cuò)位相減求列

2462,,222n

前n項(xiàng)和2n1解：由題可知，}的項(xiàng)是等差數(shù){的項(xiàng)等比數(shù){}的項(xiàng)之積2n2設(shè)

246222232n

…………………①12

246n）2234n

………②設(shè)制錯(cuò)公比）

-②得

22n

（錯(cuò)位相考五倒相法

1∴42n2n2：5.

求

sin

sin

sin

3

的值解：設(shè)

Ssin

………….①將①式右邊反序得S2222

………②反序）又因?yàn)?/p>

sin2

①②

（反序相加）.

nnnnnnnnn597nn13nnnnnnnnn597nn132nnnnn2S(sin

2

cos

2

2

2

2

2

2

89

cos

2

89

＝∴S＝數(shù)列求和習(xí)、已知{a}首項(xiàng)為19公差為－的等差數(shù)列，S為{a}前n項(xiàng)．(1)求通項(xiàng)及S；(2)設(shè){－}首為，公差為3的等差數(shù)列，求通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)、已知等差數(shù)列{}，a＋－a＝10記S＝＋，S的為()C.15654.在列}中，＝4－，＋…＝＋bn，∈N+，其中a，b為常，則＝________.二錯(cuò)相法這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù){a·項(xiàng)和，其中a}、b}分別是等差數(shù)列和等比數(shù).

b}的前n2．設(shè)數(shù)列

{}

的前n項(xiàng)和為

n

，

{}

為等比數(shù)列，且

ab(ab121（Ⅰ）求數(shù)列

{}{}n

的通項(xiàng)公式；（Ⅱ設(shè)

n

nn

，求數(shù)列

{}的前n項(xiàng).n例2．知數(shù)列

{}首項(xiàng)1

22，3an

，1,2,3,…（Ⅰ）證明：數(shù)列

1{an

是等比數(shù)列；（）數(shù)列

n{}an

的前

項(xiàng)和

．.

3：求數(shù)列nn.3：求數(shù)列nn2．設(shè)數(shù)列

{}

的前n項(xiàng)和為

Snn

2

，

{}

為等比數(shù)列，且

a,()b211（Ⅰ）求數(shù)列

{}{}n

的通項(xiàng)公式；（Ⅱ設(shè)

n

nn

，求數(shù)列

{}的前n項(xiàng).n三分法有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即.2、已知數(shù)列

{}

的通項(xiàng)公式為

n

n

，則它的前n項(xiàng)和

111???,(),???22n

的前n項(xiàng)和。四裂相法和[例1]在{}，

a

1nn

，又

b

2a

，求數(shù)的n項(xiàng)和練習(xí)、數(shù)列

{}

的前n項(xiàng)的和為

，點(diǎn)

(

)(N*)

均在函數(shù)

的圖像上（）數(shù)列

{}

的通項(xiàng)公式；（）

b

3aa

,T

是數(shù)列

{}

的前n項(xiàng)和，求

T

3、數(shù)列

{}

的通項(xiàng)公式為

a

1nn

(N*)

，則它的前10項(xiàng)和=4、

1113(2n1)(2n.

nn136n1.nn136n15．已知數(shù)列

{}

是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S,a

12

6.（）數(shù)列

{}

的通項(xiàng)公式；（）和：

11S2

.等等應(yīng)例在等差數(shù)列

37

，則

.練習(xí)1.設(shè)}等差數(shù)列，公差d=，為前n項(xiàng).若nA.18B.20C.22D.24

，=（）10112.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{

a

}，

13

=5，

aa78

=10，

aa4

=（）(A)

5

(B)7(C)6(D)

4等數(shù)列

{}n

的前n項(xiàng)和為

，且

S

=6，

1

=4，則差＝________等差數(shù)列{}前n項(xiàng)為，若a＝2，S＝，a5.數(shù){}是差數(shù)列，若a＋1，a＋3，a＋5構(gòu)成比為的比數(shù)列，則q正等比數(shù)列

{},n

11181,則aaa244635

=

。等數(shù)列

項(xiàng)為,知Sa,,則32151(A)

111(C)33

(D)

198.已知等差數(shù)列

{}n

的公差為3，若

a13

4

成等比數(shù)列，則

2

等于（）AB．3．-3D設(shè)差數(shù)列

和為,Sn

m

Sm

,則m(A.3B.4C.5D.610.已知數(shù)列

列，且

1

，

a2

，那么則

4

等于（）（A）

（B）

（C）

（D）

11.知數(shù)列

列

S

是它的前

n

項(xiàng)和若

21

，

，則

S4

()A．．C．20．2412.在等比數(shù)列

n

，

a4

41

，則公比q為..

nn.nn13.若等列的前6項(xiàng)和23,為57,則列的前

n

項(xiàng)和

S=n

__________.14等比數(shù)列

{an

中

a1

512

,公比q

12

,

n

a1

a

2

L

an(即

n

表示數(shù)列

{的n項(xiàng)積),n

n

取最大值時(shí)n的值

（）A．8．9．9或10D數(shù)列大訓(xùn)練、知差列

a

滿足：

a3

7

，

a5

a

7

26

，

a

的前n和為

S

n

．（Ⅰ）

n

及

S

n

=

a

1

1

求

b

的前n

T

n

．2．函

對(duì)任意

都有

1

12

1)2

和

1n1f()nn

的

N*);列

a滿：n

n

12n1)}nnn

是等差數(shù)列嗎？請(qǐng)給予證明．3．已列

an

滿足

a

a3

a,

a

,

1是首項(xiàng)為1公比為的等比數(shù)．3表達(dá)式；果n

bn

,求b}n

的前n項(xiàng)．.

a.a4、數(shù)列和為n,1anSn（Ⅱ）等差數(shù)列項(xiàng)為T，3，又

（Ⅰ）求n的項(xiàng)公式；aT123成比數(shù)列，求n

.5、已知數(shù)列

{}n

是等差數(shù)列，且

a，是列{}的前n項(xiàng)．3nn(Ⅰ)求數(shù)列

{}n

的通項(xiàng)公式及n項(xiàng)；n(若數(shù)

足nn

SSn

n

，且T是數(shù)列前n項(xiàng)，求b與T．nnn6．設(shè)

{}

是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項(xiàng)為

,n

并且對(duì)于所有的自然數(shù)

,a

與的差項(xiàng)等于

與2的等比中項(xiàng)．

(1)求數(shù)列

{}

的通項(xiàng)公式；(2)令

n

(n

)(n*),

求證：

b.1237、知數(shù)列

列，

a6,a；2n

項(xiàng)和T，nn

n

．(Ⅰ)求列

n

式(Ⅱ)求：數(shù)列

n

列(Ⅲ)記

cannn

，求

n

項(xiàng)

n.

.8.已知數(shù)列

和S

滿足S，中*．nn（I求數(shù)列

公式；（II）設(shè)abnn

3

，求數(shù)列項(xiàng)和為

．9.已知數(shù)列

{}n

的首項(xiàng)為，n項(xiàng)S，且數(shù)列公差為的差數(shù)列．（1求數(shù)列

{}n

的通項(xiàng)公式；（2）若

a

，求數(shù)列

n

的前項(xiàng)

Tn

．10、知數(shù)列

{}n

滿足

a1

12

nn

（1）求

{a}

的通項(xiàng)公式）證明：

a12n

n

.11.已知數(shù)列

{}n

的前

項(xiàng)和是

n

，且

n

12

anN*)n

．（1）求數(shù)列

{}n

的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)

blog(1)(nN*)

，求適合方程

11125bb511223n

的正整數(shù)n的值．.

nnn4nn.nnn4nn數(shù)列大訓(xùn)練(答案)1解設(shè)等差數(shù)列

d，為

3

，

5

，所以有

d1a1

，解得a，所以1)=2n+1；=1nn

n(n-1)=2（Ⅱ）由（）知

2n+1n

，所以b=

an

11111==-)24n(n+1)4

，所=n

11111++L-)=423nn+14n+14(n+1)

，即數(shù)列

和=n

n4(n+1)2．因

11f()f)f()f()22

1,故f()2令

x

111,得f()f)即()()nnnnn(2)：

2f(0)()f()f(

nn1)f而ff()f)fnnn兩式相加得

1f(0)f(1)]f()f(n

nn)](0)]n所以

an

n4

(nN*),

又

1a,n

故數(shù)列

{}

是等差數(shù)列．3．

當(dāng)n時(shí)ann

1)n3

故aaaan2n

n

11))2)(1)333即

an

3)(N*).23n(2)因

b(2an

n),2n故

n12

32

3n2333Tn

13333

…①

1T3333

…②.

n兩式相減得：，又∴故aa，又(51)(59)nnnnnn兩式相減得：，又∴故aa，又(51)(59)nnnnnnnnnnna①一②得

2111n112n2()(1),333343n33n故

Tn

n

又

312故S(2)24、Ⅰ由

Snn

可得

an2)n

，a,a(n2)nnn221n是首項(xiàng)為，公比為3的等數(shù)列∴（Ⅱ）設(shè)，由3得可得b1，得b

a

故可設(shè)

,baa13

，由題意可得，解得

d12∵等差數(shù)列

的項(xiàng)為正，∴

d

∴

∴

n

(

2n5、(Ⅰ)設(shè)數(shù)列

{}的公差為dn

，由題意可知：

adad

,解:

d2

…3分∴

adnnn

…………………5(1S2

Q

(nn

n311n)))).2n6．由意可知：

an2(*),理得(2)28

2

,所以

S

n

1(2)故[(a2)](a2aa88整理得：

(an

ann

n

由題意知

0,

而

1

故

4,即數(shù)列

{}

為等差數(shù)列，其中

2,4.1

故

a2.n(2)令

cn

則

cn

1a(n2

[(2n2n2n2n故

b121

n故

11)))335n22b12.

11nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn112.11nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn112、解(Ⅰ)設(shè)

d

，則：

a2

，

5

，∵

2

，

a5

，∴

a1ad181

，∴

d1

．……分∴

a4n

．…………分（Ⅱ）當(dāng)

n

時(shí)，

11

，由T1

，b

．……5分當(dāng)

n

11時(shí)TTb∴T=()即b(22

…分∴2=b．∴b是為項(xiàng)，為公比等比數(shù)列．……………9分31（Ⅲ）由（）可知：))．∴n)4))33

n

．∴1S))2)n)33

n

．11∴S)2)3)n(8)33

n

．21∴SSS))))33

n43

11