橢圓雙曲線拋物線典型例題

12121212122M12121212122M橢圓典型例題一已橢焦點(diǎn)位，求圓標(biāo)方程例1已知橢圓的焦點(diǎn)是(0，－1)、，P是圓上一點(diǎn)，并且PF＋＝2，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。解：由PF＋＝FF＝22，得2＝又c1所以b2所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程＋＝43

＝2已知橢圓的兩個(gè)焦為F(－1,0)(1,0)，2＝10求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．xy解：由橢圓定義＝1＝5－1＝24.∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)程為＋＝1.2524二未橢焦點(diǎn)位，求圓標(biāo)方程例橢的一個(gè)點(diǎn)為2倍求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解）當(dāng)A，bx橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：；41（）當(dāng)Ax橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：；416

，

4

，三橢的點(diǎn)位由它方間給，求圓標(biāo)準(zhǔn)程例．求過(guò)點(diǎn)(－3,2)與橢圓＋＝1有同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)程．949解：因?yàn)閏＝9＝5所以設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方為＋＝1.由點(diǎn)(－3,2)橢圓上知＋－5a4＝1所以－5

x＝15.所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程＋＝1.1510四與線結(jié)合問(wèn)，求圓標(biāo)方程例已中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓與直線

交于、B兩點(diǎn)，M為AB點(diǎn)，OM的斜率0.25，橢圓的短軸長(zhǎng)為，求橢的方程．解由意，設(shè)圓方程為

xa

y

，y由y2

，得

2

a2

，∴

xx2

，

MM

11

2

，11kaM

，∴

a

，∴

x4

為所求．五求圓離心問(wèn)。例1一個(gè)圓的焦點(diǎn)將其準(zhǔn)線間距離三等分，求橢圓的離心率．解

a21c

∴

3

，∴

e

3

．xx△221xx△221k例2已知圓

xyk9

的離心率

，求

k

的值．解當(dāng)橢圓的焦在x軸上時(shí)，

2，得

．e

，得k．當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在

軸上時(shí)，

a，b，得

．由

1，得2

，即

54

．∴滿足條件的

54

．六由圓的三形長(zhǎng)、積關(guān)問(wèn)題例：若ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A－4,0)，B(4,0)，△的長(zhǎng)為，頂C的跡方程。解頂點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)B距離之和為值10且大于兩點(diǎn)間的離，因此點(diǎn)C軌跡為橢，并且＝10所以＝c8所以＝，所以b

＝a

c

＝9頂點(diǎn)C軌跡方為＋＝1.C三點(diǎn)構(gòu)成25三角形≠所以頂點(diǎn)的軌跡方程為＋＝1(y≠答案：25925

＋9

＝1(y≠2．已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方是a

＋＝1(，它的兩焦點(diǎn)分是25

FF，且

FF＝弦

AB

過(guò)點(diǎn)

F，求△ABF

的周長(zhǎng)．4a43設(shè)F、是橢圓＋＝1的兩焦點(diǎn)，是圓上的點(diǎn)，PF∶＝∶，eq\o\ac(△,求)F的19面積．11F的面積為PFPF＝×2×4七直與圓的置題例已橢圓

x2

y

，求過(guò)點(diǎn)

，

P

平分的弦所在的線方程．解一設(shè)求線的斜率為

k

，則直線方程為

11y橢圓方程，并整理得221232

．由韋達(dá)定理得

x2

2k2k1k

．∵

是弦中點(diǎn)，∴

x12

．故得

．所以所求直線方為

2xy

．解二設(shè)

，線與橢圓交于

A12

2

得22，22，①－②得

x2y2

．⑤y1將③、④代入⑤12，即直線的斜率為．x2212所求直線方程為．八、橢圓中的最問(wèn)題x例橢圓的右點(diǎn)為1612

F

，過(guò)點(diǎn)

，點(diǎn)

M

在橢圓上，當(dāng)

MF

為最小值時(shí)，求點(diǎn)

M

的坐標(biāo)．解由知：

，

c

．所以

，右準(zhǔn)線

l：

．過(guò)A作l足為橢圓于MMF然AMMF的最小值為AQ，即M為所求點(diǎn)，因此3，在橢圓上．故x．以M23，．M雙曲線典型例題一根方的特判圓錐線類。例1討論

xy225

表示何種圓錐曲，它們有何共同特征．解當(dāng)時(shí)25，

所給方程表橢圓此

a

，b

，

2

22（）當(dāng)

，這些橢圓有共的焦點(diǎn)（，09時(shí)，所給方程表示曲線，此時(shí)，

a

，b

c

，這些雙曲線也共同的焦點(diǎn)（－，（）k，，k25時(shí)所給方程沒(méi)軌跡．二、根據(jù)知條件求雙線的標(biāo)準(zhǔn)程。例2根據(jù)下列條，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．（1）過(guò)點(diǎn)

16坐標(biāo)軸上．4（2）c6，經(jīng)點(diǎn)（－52點(diǎn)在軸上．x（3）與雙曲線有同點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)164解）設(shè)雙曲線方程為

xmn∵

、

Q

兩點(diǎn)在雙曲線上22516∴解256nmn∴所求雙曲線方為

216說(shuō)明：采取以上巧設(shè)”可以避免分兩種情況討，得“巧求”的目的．（）∵焦點(diǎn)在x軸上，

，2，PF2Fc2，PF2Fc∴設(shè)所求雙曲線程為：

x

（其中

）∵雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，

254∴

或

（舍去）∴所求雙曲線方是

x5

說(shuō)明：以上簡(jiǎn)單行的方法給我們以明快、簡(jiǎn)捷感覺(jué)．x（）設(shè)所求雙曲線方程為：016418∵雙曲線過(guò)點(diǎn)，16

∴

4或

（舍）∴所求雙曲線方為

x12三求雙線有的度問(wèn)。例已曲線

x916

的焦分別為、F，點(diǎn)在雙曲線上的左支上12PFPF32，的小12解∵在雙曲線的左支∴

PFPF2∴

PF

PFPF36∴∵

PFPF1002122∴FPF（2題目的“點(diǎn)

在雙曲線的左支”這個(gè)條件非常關(guān)鍵，應(yīng)引起們的重視，若將這一條件改為“點(diǎn)

在雙曲線上”結(jié)如何改變呢請(qǐng)讀者試探索．四、求與曲線有的三形的面積題。例4已

F1

、

F2

是雙曲線

x24

的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)

P

在雙曲線上且滿

90

，求PF的面積．12分：用雙曲線的定義及

1

中的勾股定理可

PF12

的面積．解∵

為雙曲線

x4

上的一個(gè)點(diǎn)且

F、F12

為焦點(diǎn)．∴∵

PFa1F

,

21∴在F中PFPF11∵PFPF21

FF20PFPF16∴

20PFPF222222222222222∴∴

PF21PFPF2五、根據(jù)曲線的義求標(biāo)準(zhǔn)方程例5已知兩點(diǎn)的的軌跡．1解根雙曲線義，可知所求點(diǎn)的軌跡是雙曲．∵ca∴

b

x∴所求方程為點(diǎn)軌跡方程，且軌跡是雙曲線．916例

是雙曲線

xy26436

上一點(diǎn)，

F、1

是雙曲線的兩個(gè)點(diǎn)且

PF

求

PF

的值．解在曲線

x2y中，b，10．6436由

是雙曲線上一點(diǎn)得

PFPF162

．∴

2

或

332

．又

PF，PF

．六求圓關(guān)的曲方程例6求下列動(dòng)圓心M的軌跡方程：（1）與⊙切，且過(guò)點(diǎn)

A（2）與⊙：2：212（3）與⊙y外，且與⊙C內(nèi)切．12解設(shè)圓M的徑為r（）∵⊙C與內(nèi)切，點(diǎn)A在⊙外1∴

MCr

，

，

MAMC

∴點(diǎn)M的跡是以C為焦點(diǎn)的雙曲線的左，且有：2a，2∴雙曲線方程為

，2x

7b222yx7（）∵⊙M與⊙、都外切12∴MC，MC，1∴點(diǎn)a

M的跡是以、為焦的雙曲線的上支，且有：213，，b224∴所求的雙曲線方程為：（）M與⊙C外，與⊙C內(nèi)切12∴r，MC，MCMC∴點(diǎn)M的跡是以、C為點(diǎn)的雙曲線的右支，且有：1a，，b22221121221121∴所求雙曲線方為：拋物線典型例題一求物的標(biāo)方。例1指出物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)方程．（）

y（）xa解）p

，∴焦點(diǎn)坐標(biāo)是0線程是：

（）原拋物線方程為：

1a

，2p

1a①當(dāng)

時(shí)，

p12a

，拋物線開(kāi)口向，∴焦點(diǎn)坐標(biāo)是

1(，準(zhǔn)線程是：4a

．p1②當(dāng)a時(shí)，，物線開(kāi)口向左，24a∴焦點(diǎn)坐標(biāo)是

(

1，線方程是：x4aa

．綜合上述，當(dāng)0時(shí)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)二求線拋物相合的題

(

11,0)，準(zhǔn)線方程是：x．4a4a例若直線

kx

與拋物線

x

交于兩，且AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求此直線方程．解一設(shè)

A(x,)、B(x)11

，則由：

2x

可得：

2

(4x

．∵直線與拋物線交0且，則

．∵中橫坐標(biāo)為

4122k2

，解得：k或k

（舍去故所求直線方程：

．解二設(shè)A(x,)、B(x)，則有xx．11112y兩式作差解：(y)())，即2．xyy1212x4kxx)4k1212128k故或k舍去4

，則所求直線方程：

．三求線的參問(wèn)例（）設(shè)拋物線

4

被直線

截得的弦長(zhǎng)為3，求值（）以（）中的弦為底邊以x軸的點(diǎn)為點(diǎn)作三角形，當(dāng)三角形的面積，求P點(diǎn)坐標(biāo)．解）由得

222(x)x)5(1122212121222(x)x)5(11222121212設(shè)直線與拋物線于(y)1(12)12

與B(y)兩．則有：xx21212

k245,)35

，即

k（）S

，底邊長(zhǎng)為，三角形高

655∵點(diǎn)P在x軸，∴設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)是

(,0)0則點(diǎn)P到直

的距離就等于h，即

2x022

65x

或

，即所求P坐標(biāo)是（，）或（，0四、與拋物線有的最值問(wèn)題例定長(zhǎng)為的線段

的端點(diǎn)

、

在拋物線

上移動(dòng)，求

的中點(diǎn)到

軸的距離的最小值，并求出時(shí)

中點(diǎn)的坐標(biāo)．解如圖，設(shè)

F

是

的焦點(diǎn)，

、

兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的垂分別是

、

BD

，又

M

到準(zhǔn)線的垂線為

MN

，

、

D

和

是垂足，則113MN()(AFBF)22

．設(shè)

M

點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

x

，縱坐標(biāo)為

，

MNx

1315，則x444

．等式成立的條件

過(guò)點(diǎn)

F

．當(dāng)

5時(shí)，y44

，故()12

2

y1

2

1y1

，y，y．12所以

5(,4

)

，此時(shí)

M

到

5軸的距離的最小為．4例

已知點(diǎn)

M(3,2)，F(xiàn)為物線

2x

的焦點(diǎn)點(diǎn)在該拋物線上移動(dòng)PM取最小值時(shí)，點(diǎn)

的坐標(biāo)_________．解如，由定義知PF，PMPFPMMEMN

．取等號(hào)時(shí)，

M

、

、

三點(diǎn)共線，∴

點(diǎn)縱坐標(biāo)為，代入方程求出其橫坐標(biāo)為，所以P點(diǎn)標(biāo)為,

．橢圓典型例題一已橢焦點(diǎn)位，求圓標(biāo)方程例1已知橢圓的焦點(diǎn)是(0，－1)、，P是圓上一點(diǎn)，并且PF＋＝2，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。二未橢焦點(diǎn)位，求圓標(biāo)方程x32x32例橢的一個(gè)點(diǎn)為

A

，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短長(zhǎng)的倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)程．三橢的點(diǎn)位由它方間給，求圓標(biāo)準(zhǔn)程例．求過(guò)點(diǎn)(－3,2)與橢圓＋＝1有同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)程．94四與線結(jié)合問(wèn)，求圓標(biāo)方程例已中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在

x

軸上的橢圓與直

交于

、

兩點(diǎn)，

M

為

中點(diǎn)，

的斜率為，圓的短軸長(zhǎng)為2求橢圓的方程．五求圓離心問(wèn)。例一橢圓的焦點(diǎn)將其準(zhǔn)間的距離三等分，求橢圓的離心率．六由圓的三形長(zhǎng)、積關(guān)問(wèn)題例：若ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A－4,0)，B(4,0)，△的長(zhǎng)為，頂C的跡方程。2．已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方是＋＝a>5)它的兩點(diǎn)分別是a的周長(zhǎng)．

FF，且FF＝8弦過(guò)F，求

3設(shè)F、是橢圓＋＝1的兩焦點(diǎn)，是圓上的點(diǎn)，PF∶＝∶，eq\o\ac(△,求)F的19面積．七直與圓的置題例已橢圓

x2

y

，過(guò)點(diǎn)，P平的弦所在的直線方程．八橢中最值題x例橢圓的右點(diǎn)為1612

F

，過(guò)點(diǎn)

，點(diǎn)

M

在橢圓上，當(dāng)

MF

為最小值時(shí)，求點(diǎn)M的標(biāo)．雙曲線典型例題一根方的特判圓錐線類。例1討論

xy225

表示何種圓錐曲，它們有何共同特征．二、根據(jù)知條件求雙線的標(biāo)準(zhǔn)程。例2根據(jù)下列條，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．（1）過(guò)點(diǎn)

16坐標(biāo)軸上．4（2）c6，經(jīng)點(diǎn)（－52點(diǎn)在軸上．x（3）與雙曲線有同點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)164三求雙線有的度問(wèn)。例已曲線

x916

的焦分別為、F，點(diǎn)在雙曲線上的左支上12PFPF32題目“

，求FPF的小．1在雙曲線的左支上個(gè)件非常關(guān)鍵應(yīng)引起們的重視若將這一條改點(diǎn)

在雙曲線上”結(jié)如何改變呢四、求與曲線有的三形的面積題。例4