2022年度福建省三明市交江中學高三數學理模擬試卷含解析

2022年度福建省三明市交江中學高三數學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某幾何體的三視圖如右圖所示，且該幾何體的體積是，則正視圖中的的值是（

）A.2

B.

C.

D.3參考答案：C2.已知為異面直線，下列結論不正確的是(

▲

)A．必存在平面使得 B．必存在平面使得與所成角相等C．必存在平面使得 D．必存在平面使得與的距離相等參考答案：C3.在等差數列中，若的值是

（

）

A．18

B．36

C．72

D．144參考答案：B4.函數y=ax2+bx與y=（ab≠0，|a|≠|b|）在同一直角坐標系中的圖象可能是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】二次函數的圖象；對數函數的圖象與性質．【分析】可采用反證法做題，假設A和B的對數函數圖象正確，由二次函數的圖象推出矛盾，所以得到A和B錯誤；同理假設C和D的對數函數圖象正確，根據二次函數圖象推出矛盾，得到C錯誤，D正確．【解答】解：對于A、B兩圖，||＞1而ax2+bx=0的兩根為0和﹣，且兩根之和為﹣，由圖知0＜﹣＜1得﹣1＜＜0，矛盾，對于C、D兩圖，0＜||＜1，在C圖中兩根之和﹣＜﹣1，即＞1矛盾，C錯，D正確．故選：D．5.為了慶祝六一兒童節(jié)，某食品廠制作了種不同的精美卡片，每袋食品隨機裝入一張卡片，集齊種卡片可獲獎，現購買該種食品袋，能獲獎的概率為A．

B．

C．

D．

參考答案：D6.一已知等差數列{an}中，其前n項和為Sn，若a3+a4+a5=42，則S7=（）A．98 B．49 C．14 D．147參考答案：A【考點】85：等差數列的前n項和．【分析】根據題意和等差數列的性質求出a4的值，由等差數列的前n項和公式求出S7的值．【解答】解：等差數列{an}中，因為a3+a4+a5=42，所以3a4=42，解得a4=14，所以S7==7a4=7×14=98，故選A．7.在△ABC中，A=30°，AB=3，AC=2，且+2=0，則?等于（）A．18 B．9 C．﹣8 D．﹣6參考答案：D【考點】平面向量數量積的運算．【分析】首先由已知求出角B的大小，然后根據直角三角形的性質得到CD，再數量積公式計算可得．【解答】解：由題意，如圖：因為2×sin30°=3=AB，所以∠C=90°，因為+2=0，則AD=2，BD=1，則BC=，

所以tan∠BCD=，所以∠BCD=30°，所以∠DCA=30°，得到CD=2，所以?=2×2×cos150°=﹣6．故選：D．【點評】本題考查了平面圖形中向量的數量積的計算；充分利用平面圖形的性質是解答的前提．8.“x＜0”是“l(fā)n（x+1）＜0”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點】29：充要條件．【專題】11：計算題；5L：簡易邏輯．【分析】根據不等式的性質，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷即可得到結論．【解答】解：∵x＜0，∴x+1＜1，當x+1＞0時，ln（x+1）＜0；∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分條件．故選：B．9.若函數f（x）=sin（x+φ）﹣cos（x+φ）（0＜φ＜π）為奇函數，將函數f（x）圖象上所有點橫坐標變?yōu)樵瓉淼囊话?，縱坐標不變；再向右平移個單位得到函數g（x），則g（x）的解析式可以是（）A． B．C． D．參考答案：A【考點】函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換；由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【專題】計算題；轉化思想；分析法；三角函數的求值；三角函數的圖像與性質．【分析】化簡函數的表達式為一個角的一個三角函數的形式，利用函數是奇函數，求出φ．根據函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律即可得解．【解答】解：∵f（x）=sin（x+φ）﹣cos（x+φ）=2sin（x+φ﹣），（0＜φ＜π）為奇函數，∴φ=，f（x）=2sinx，將函數f（x）圖象上所有點橫坐標變?yōu)樵瓉淼囊话耄v坐標不變，可得函數的解析式為：y=2sin2x；再向右平移個單位得到函數g（x），則g（x）的解析式：g（x）=2sin2（x﹣）=2sin（2x﹣）．故選：A．【點評】本題主要考查了函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查三角函數的化簡，三角函數的奇偶性，考查基本知識的應用能力，計算能力，屬于中檔題．10.（5分）（2014秋?衡陽縣校級月考）已知集合A={x|x2﹣3x﹣4≤0}，B={x|x=，x∈Z，k∈Z}，則A∩B=（）A．{﹣1，1}B．{﹣1，1，3}C．{﹣3，﹣1，1}D．{﹣3，﹣1，1，3}參考答案：B【考點】：交集及其運算．【專題】：集合．【分析】：求出A中不等式的解集確定出A，確定出B中整數x的值確定出B，求出A與B的交集即可．解：由A中不等式變形得：（x﹣4）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤4，即A=[﹣1，4]，由B中x=，x∈Z，k∈Z，得到2k﹣1可能為﹣3，﹣1，1，3，解得：k=﹣1，0，1，2，即x=﹣1，﹣3，3，1，∴B={﹣3，﹣1，1，3}，則A∩B={﹣1，1，3}，故選：B．【點評】：此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數,有下列五個命題①不論為什么值,函數的圖象關于原點對稱;②若,函數的極小值是,極大值是;③若,則函數的圖象上任意一點的切線都不可能經過原點;④當時,對函數圖象上任意一點,都存在唯一的點,使得(其中點是坐標原點)⑤當時,函數圖象上任意一點的切線與直線及軸所圍成的三角形的面積是定值.其中正確的命題是

(填上你認為正確的所有命題的序號)參考答案：①③⑤

略12.在平面內，定點A，B，C，D滿足||=||=||，?=?=?=﹣2，動點P，M滿足||=1，=，則||2的最大值是．參考答案：【考點】平面向量數量積的運算．【分析】由||=||=||，?=?=?=﹣2，可設：D（0，0），A（2，0），B（﹣1，），C（﹣1，﹣）．由動點P，M滿足||=1，=，可設：P（2+cosθ，sinθ）．M．再利用向量坐標運算性質、模的計算公式即可得出．【解答】解：∵||=||=||，?=?=?=﹣2，∴可設：D（0，0），A（2，0），B（﹣1，），C（﹣1，﹣），動點P，M滿足||=1，=，可設：P（2+cosθ，sinθ）．M．∴=．則||2=+=≤，當且僅當=1時取等號．故答案為：．13.設x，y∈R，向量，，且，，則x+y=

．參考答案：0【考點】平面向量共線（平行）的坐標表示．【分析】利用向量共線定理、向量垂直與數量積的共線即可得出．【解答】解：∵，，∴=2x﹣4=0，2y+4=0，則x=2，y=﹣2．∴x+y=0．故答案為：0．14.在邊長為1的正三角形中，設，則

．參考答案：．因為，所以為的中點即，∵，∴，∴．15.設拋物線C：y2=3px（p＞0）的焦點為F，點M在C上，|MF|=5，若以MF為直徑的圓過點（0，2），則C的方程為．參考答案：y2=4x或y2=16x【考點】圓的一般方程；拋物線的簡單性質．【專題】綜合題；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】根據拋物線方程算出|OF|=，設以MF為直徑的圓過點A（0，2），在Rt△AOF中利用勾股定理算出|AF|=，再由直線AO與以MF為直徑的圓相切得到∠OAF=∠AMF，Rt△AMF中利用∠AMF的正弦建立關系式，從而得到關于p的方程，解之得到實數p的值，進而得到拋物線C的方程．【解答】解：因為拋物線C方程為y2=3px（p＞0）所以焦點F坐標為（，0），可得|OF|=因為以MF為直徑的圓過點（0，2），所以設A（0，2），可得AF⊥AMRt△AOF中，|AF|=，所以sin∠OAF==因為根據拋物線的定義，得直線AO切以MF為直徑的圓于A點，所以∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF==，因為|MF|=5，|AF|=，所以=，整理得4+=，解之可得p=或p=因此，拋物線C的方程為y2=4x或y2=16x．故答案為：y2=4x或y2=16x．【點評】本題給出拋物線一條長度為5的焦半徑MF，以MF為直徑的圓交拋物線于點（0，2），求拋物線的方程，著重考查了拋物線的定義與簡單幾何性質、圓的性質和解直角三角形等知識，屬于中檔題．16.已知冪函數f（x）的圖象經過點（，），P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1＜x2）是函數圖象上的任意不同兩點，給出以下結論：①x1f（x1）＞x2f（x2）；②x1f（x1）＜x2f（x2）；③＞；④＜．其中正確結論的序號是

．參考答案：②③【考點】冪函數的性質．【分析】利用待定系數法求出冪函數的解析式；冪函數的指數大于0得到冪函數在（0，+∝）上的單調性；圖象呈上升趨勢，判斷出②③正確．解：依題意，設f（x）=xα，則有（）α=，即（）α=（），所以α=，于是f（x）=x．由于函數f（x）=x在定義域[0，+∞）內單調遞增，所以當x1＜x2時，必有f（x1）＜f（x2），從而有x1f（x1）＜x2f（x2），故②正確；又因為，分別表示直線OP、OQ的斜率，結合函數圖象，容易得出直線OP的斜率大于直線OQ的斜率，故＞，所以③正確．答案②③【點評】本題考查利用待定系數法求冪函數的解析式、考查冪函數的性質由冪函數的指數的取值決定．17.設曲線處的切線與x軸的交點的橫坐標為的值為_________.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知向量=（cosθ，sinθ），=（2，﹣1）．（1）若⊥，求的值；（2）若|﹣|=2，，求的值．參考答案：考點：平面向量數量積的運算；同角三角函數基本關系的運用．專題：平面向量及應用．分析：（1）由⊥，可得=2cosθ﹣sinθ=0，求得tanθ=2，從而求得=的值．（2）把已知等式平方求得=1，即2cosθ﹣sinθ=1，平方可得4cos2θ﹣4sinθcosθ+sin2θ=1，求得tanθ=．再利用同角三角函數的基本關系求得cosθ和sinθ的值，從而求得=sinθ+cosθ的值．解答： 解：（1）若⊥，則=2cosθ﹣sinθ=0，tanθ==2，∴===．（2）∵||=1，||=，若|﹣|=2，，則有﹣2+=4，即1﹣2+5=4，解得=1，即2cosθ﹣sinθ=1，平方可得4cos2θ﹣4sinθcosθ+sin2θ=1，化簡可得3cos2θ﹣4sinθcosθ=0，即tanθ=．再利用同角三角函數的基本關系sin2θ+cos2θ=1，求得cosθ=，sinθ=，∴=sinθ+cosθ=．點評：本題主要考查兩個向量的數量積的運算，同角三角函數的基本關系，兩角和的正弦公式，屬于中檔題．19.（本題滿分18分）本題共有3小題，第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分6分，第（3）小題滿分8分．如圖，圓與直線相切于點，與正半軸交于點，與直線在第一象限的交點為.點為圓上任一點，且滿足，動點的軌跡記為曲線．（1）求圓的方程及曲線的軌跡方程；（2）若直線和分別交曲線于點、和、，求四邊形的周長；（3）已知曲線為橢圓，寫出橢圓的對稱軸、頂點坐標、范圍和焦點坐標．

參考答案：（1）由題意圓的半徑，故圓的方程為.

………………2分由得，，即，得（）為曲線的方程.（未寫范圍不扣分）…4分（2）由解得：或，所以，A（，），C（－，－）同理，可求得B（1,1），D（－1,－1）所以，四邊形ABCD的周長為：（3）曲線的方程為（），它關于直線、和原點對稱，下面證明：設曲線上任一點的坐標為，則，點關于直線的對稱點為，顯然，所以點在曲線上，故曲線關于直線對稱，同理曲線關于直線和原點對稱.可以求得和直線的交點坐標為和直線的交點坐標為，，，，.在上取點.

曲線為橢圓：其焦點坐標為.20.（13分）（2012?佛山二模）記函數的導函數為f′n（x），函數g（x）=fn（x）﹣nx．（Ⅰ）討論函數g（x）的單調區(qū)間和極值；（Ⅱ）若實數x0和正數k滿足：，求證：0＜x0＜k．參考答案：考點： 利用導數研究函數的極值；利用導數研究函數的單調性．專題： 計算題；證明題；綜合題．分析： （Ⅰ）由g（x）=（1+x）n﹣1﹣nx，可求得g′（x）=n[（1+x）n﹣1﹣1]，分n（n≥2）為偶數與n為奇數討論導數的符號，即可求得其單調區(qū)間和極值；（Ⅱ）由可求得x0=，設分子為h（k）=（nk﹣1）（1+k）n+1（k＞0），可分析得到h'（k）＞0，從而h（k）＞h（0）=0，求得x0＞0；進一步可求得x0﹣k=＜0，從而得證0＜x0＜k．解答： 解：（Ⅰ）由已知得g（x）=（1+x）n﹣1﹣nx，所以g′（x）=n[（1+x）n﹣1﹣1]．…（2分）①當n≥2且n為偶數時，n﹣1是奇數，由g'（x）＞0得x＞0；由g'（x）＜0得x＜0．所以g（x）的遞減區(qū)間為（﹣∞，0），遞增區(qū)間為（0，+∞），極小值為g（0）=0．…②當n≥2且n為奇數時，n﹣1是偶數，由g'（x）＞0得x＜﹣2或x＞0；由g'（x）＜0得﹣2＜x＜0．所以g（x）的遞減區(qū)間為（﹣2，0），遞增區(qū)間為（﹣∞，﹣2）和（0，+∞），此時g（x）的極大值為g（﹣2）=2n﹣2，極小值為g（0）=0．…（8分）（Ⅱ）由得，所以1+x0=，x0=…（10分）顯然分母（n+1）[（1+k）n﹣1]＞0，設分子為h（k）=（nk﹣1）（1+k）n+1（k＞0）則h'（k）=n（1+k）n+n（1+k）n﹣1（nk﹣1）=n（n+1）k（1+k）n﹣1＞0，所以h（k）是（0，+∞）上的增函數，所以h（k）＞h（0）=0，故x0＞0…（12分）又x0﹣k=，由（Ⅰ）知，g（x）=（1+x）n﹣1﹣nx是（0，+∞）上的增函數，故當x＞0時，g（x）＞g（0）=0，即（1+x）n＞1+nx，所以1+k（n+1）＞（1+k）n+1所以x0﹣k＜0，從而x0＜k．綜上，可知0＜x0＜k．…（14分）點評： 本題考查利用導數研究函數的單調性與極值，突出轉化思想與分類討論思想的運用，突出構造函數的思想的應用，熟練掌握導數法研究