上海楊浦鳳城高級(jí)中學(xué)2022年度高一數(shù)學(xué)文期末試題含解析

上海楊浦鳳城高級(jí)中學(xué)2022年度高一數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.△ABC中，若，則△ABC的形狀為（

）A．直角三角形

B．等腰三角形

C．等邊三角形

D．銳角三角形參考答案：B2.已知二次函數(shù)y=2x2－1在區(qū)間[a,b]上有最小值－1，是下面關(guān)系式一定成立的是（

）

A．a(chǎn)≤0<b或a<0≤b

B．a(chǎn)<0<b

C．a(chǎn)<b<0或a<0<b

D．0<a<b或a<b<0參考答案：A3.（5分）下列四個(gè)函數(shù)中，與y=x表示同一函數(shù)的是（） A． y=（）2 B． y= C． y= D． y=參考答案：B考點(diǎn)： 判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)．專(zhuān)題： 證明題．分析： 逐一檢驗(yàn)各個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)與已知的函數(shù)是否具有相同的定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系，只有這三者完全相同時(shí)，兩個(gè)函數(shù)才是同一個(gè)函數(shù)．解答： 選項(xiàng)A中的函數(shù)的定義域與已知函數(shù)不同，故排除選項(xiàng)A；選項(xiàng)B中的函數(shù)與已知函數(shù)具有相同的定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系，故是同一個(gè)函數(shù)，故選項(xiàng)B滿(mǎn)足條件；選項(xiàng)C中的函數(shù)與已知函數(shù)的值域不同，故不是同一個(gè)函數(shù)，故排除選項(xiàng)C；選項(xiàng)D中的函數(shù)與已知函數(shù)的定義域不同，故不是同一個(gè)函數(shù)，故排除選項(xiàng)D；故選B．點(diǎn)評(píng)： 本題考查函數(shù)的三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系．兩個(gè)函數(shù)只有當(dāng)定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系完全相同時(shí)，才是同一個(gè)函數(shù)．4.已知y=f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=3x+x3﹣5，則函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(

)A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：C5.下列問(wèn)題中，應(yīng)采用哪種抽樣方法（）①有甲廠(chǎng)生產(chǎn)的30個(gè)籃球，其中一箱21個(gè)，另一箱9個(gè)，抽取10個(gè)入樣；②有30個(gè)籃球，其中甲廠(chǎng)生產(chǎn)的有21個(gè)，乙廠(chǎng)生產(chǎn)的有9個(gè)，抽取10個(gè)入樣；③有甲廠(chǎng)生產(chǎn)的300個(gè)籃球，抽取10個(gè)入樣；④有甲廠(chǎng)生產(chǎn)的300個(gè)籃球，抽取50個(gè)入樣．A．分層抽樣、分層抽樣、抽簽法、系統(tǒng)抽樣B．分層抽樣、分層抽樣、隨機(jī)數(shù)法、系統(tǒng)抽樣C．抽簽法、分層抽樣、隨機(jī)數(shù)法、系統(tǒng)抽樣D．抽簽法、分層抽樣、系統(tǒng)抽樣、隨機(jī)數(shù)法參考答案：C【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．【專(zhuān)題】計(jì)算題；整體思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】如果總體和樣本容量都很大時(shí)，采用隨機(jī)抽樣會(huì)很麻煩，就可以使用系統(tǒng)抽樣；如果總體是具有明顯差異的幾個(gè)部分組成的，則采用分層抽樣；從包含有N個(gè)個(gè)體的總體中抽取樣本量為n個(gè)樣本，總體和樣本容量都不大時(shí)，采用隨機(jī)抽樣．【解答】解：總體容量較小，用抽簽法；總體由差異明顯的兩個(gè)層次組成，需選用分層抽樣；總體容量較大，樣本容量較小，宜用隨機(jī)數(shù)法；總體容量較大，樣本容量也較大，宜用系統(tǒng)抽樣，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查收集數(shù)據(jù)的方法，考查系統(tǒng)抽樣，分層抽樣，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的合理運(yùn)用，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．6.（5分）若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)A（0，4），B（，1）兩點(diǎn)，則直線(xiàn)AB的傾斜角為（） A． 30° B． 45° C． 60° D． 120°參考答案：D考點(diǎn)： 直線(xiàn)的傾斜角．專(zhuān)題： 直線(xiàn)與圓．分析： 由兩點(diǎn)求斜率公式求得AB的斜率，再由直線(xiàn)傾斜角的正切值等于斜率得答案．解答： ∵直線(xiàn)經(jīng)過(guò)A（0，4），B（，1）兩點(diǎn)，∴，設(shè)直線(xiàn)AB的傾斜角為α（0°≤α＜180°），由tan，得α=120°．故選：D．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了直線(xiàn)的斜率，考查了斜率與傾斜角的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．7.已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是（）A．[，） B．（0，） C．（，1） D．（，1）參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．【專(zhuān)題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由f（x）為（﹣∞，+∞）上的減函數(shù)，知（3a﹣1）x+4a遞減，logax遞減，且（3a﹣1）×1+4a≥loga1，從而得，解出即可．【解答】解：因?yàn)閒（x）為（﹣∞，+∞）上的減函數(shù)，所以有，解得，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，屬中檔題．8.下列判斷正確的是（）A．

B．

C．

D．參考答案：D9.當(dāng)0＜a＜1時(shí)，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=a﹣x與y=logax的圖象是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)；指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【專(zhuān)題】壓軸題；數(shù)形結(jié)合．【分析】先將函數(shù)y=a﹣x化成指數(shù)函數(shù)的形式，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性同時(shí)考慮這兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出結(jié)果【解答】解：∵函數(shù)y=a﹣x與可化為函數(shù)y=，其底數(shù)大于1，是增函數(shù)，又y=logax，當(dāng)0＜a＜1時(shí)是減函數(shù)，兩個(gè)函數(shù)是一增一減，前增后減．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的圖象，考查同學(xué)們對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的把握程度以及數(shù)形結(jié)合的思維能力．10.如果cos（π+A）=﹣，那么sin（+A）的值是（）A．﹣ B． C．﹣ D．參考答案：B【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．【專(zhuān)題】計(jì)算題；函數(shù)思想；數(shù)學(xué)模型法；三角函數(shù)的求值．【分析】已知等式利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求出cosA的值，所求式子利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)后將cosA的值代入計(jì)算即可求出．【解答】解：∵cos（π+A）=﹣cosA=﹣，即cosA=，∴sin（+A）=cosA=．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值，熟練掌握誘導(dǎo)公式是解本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若x∈（0，2π），則使=sinx﹣cosx成立的x的取值范圍是

．參考答案：[]【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．【分析】把根式內(nèi)部的代數(shù)式化為完全平方式的形式，由已知等式可得sinx≥cosx，再由已知x的范圍求得x的具體范圍．【解答】解：∵===sinx﹣cosx，∴sinx≥cosx，又x∈（0，2π），∴x∈[]．故答案為：∈[]．12.已知集合，，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______________．參考答案：13.在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM=3，點(diǎn)P在AM上且滿(mǎn)足，則=．參考答案：-4【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【專(zhuān)題】計(jì)算題．【分析】先根據(jù)AM=3，點(diǎn)P在AM上且滿(mǎn)足，求||的值，再根據(jù)M是BC的中點(diǎn)，計(jì)算，最后計(jì)算即可．解：∵AM=3，點(diǎn)P在AM上且滿(mǎn)足，∴||=2∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴=2=∴=?=﹣=﹣4故答案為﹣4【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的加法與向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題，必須掌握．14.函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)

。參考答案：(3，4)略15.已知函數(shù)對(duì)于滿(mǎn)足的任意，，給出下列結(jié)論：①；

②；③．

④其中正確結(jié)論的序號(hào)是___________.

參考答案：②③16.已知向量與的夾角為，且，，則

．參考答案：17.已知事件在矩ABCD的邊CD上隨意取一點(diǎn)P，使得△APB的最大邊是AB發(fā)生的概率為，則=．參考答案：【考點(diǎn)】幾何概型．【分析】先明確是一個(gè)幾何概型中的長(zhǎng)度類(lèi)型，然后求得事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機(jī)取一點(diǎn)P，使△APB的最大邊是AB”發(fā)生的線(xiàn)段長(zhǎng)度，再利用兩者的比值即為發(fā)生的概率，從而求出．【解答】解：記“在矩形ABCD的邊CD上隨機(jī)取一點(diǎn)P，使△APB的最大邊是AB”為事件M，試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的長(zhǎng)度即為線(xiàn)段CD，構(gòu)成事件M的長(zhǎng)度為線(xiàn)段CD其一半，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，當(dāng)PD=CD時(shí)，AB=PB，如圖．設(shè)CD=4x，則AF=DP=x，BF=3x，再設(shè)AD=y，則PB==，于是=4x，解得=，從而=．故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知?jiǎng)訄A經(jīng)過(guò)點(diǎn)和（Ⅰ）當(dāng)圓面積最小時(shí)，求圓的方程；（Ⅱ）若圓的圓心在直線(xiàn)上，求圓的方程。參考答案：（Ⅰ）要使圓的面積最小，則為圓的直徑，------2分圓心,半徑-----------4分所以所求圓的方程為：.------------6分（Ⅱ）法一：因?yàn)?，中點(diǎn)為，所以中垂線(xiàn)方程為，即

----------8分解方程組得：，所以圓心為．------10分根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得半徑，------------11分因此，所求的圓的方程為.-------12分法二：設(shè)所求圓的方程為，根據(jù)已知條件得----------6分-------------------------11分所以所求圓的方程為.----------12分略19.

已知函數(shù)（1）若對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍；（2）討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．參考答案：解：（1）由得，變形為，即

-------------2分而，

當(dāng)即時(shí)，所以．

--------------6分（2）由可得，變?yōu)?/p>

略20.如圖，在直角梯形ABCD中，，，，，，點(diǎn)E在CD上，且，將沿AE折起，使得平面平面ABCE（如圖）.G為AE中點(diǎn).（1）求證:DG⊥平面ABCE；（2）求四棱錐D-ABCE的體積；（3）在線(xiàn)段BD上是否存在點(diǎn)P，使得平面？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案：(1)見(jiàn)證明；(2)(3)【分析】（1）證明，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得出平面；（2）分別計(jì)算和梯形的面積，即可得出棱錐的體積；（3）過(guò)點(diǎn)C作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，可證平面平面，故平面，根據(jù)計(jì)算的值.【詳解】（1）證明：因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，所以.因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面．?）在直角三角形中，易求,則．所以四棱錐的體積為．

（3）過(guò)點(diǎn)C作交于點(diǎn)，則．過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接,則．又因?yàn)?，平面平?所以平面．同理平面．又因?yàn)椋云矫嫫矫妫驗(yàn)槠矫?，所以平面．所以在上存在點(diǎn)，使得平面，且.【點(diǎn)睛】本題主要考查線(xiàn)面垂直的性質(zhì)與判定，線(xiàn)面平行的性質(zhì)與判定以及四棱錐的體積，考查學(xué)生的空間想象能力和推理論證能力.計(jì)算柱錐臺(tái)的體積的關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面積和高，如果給出的幾何體不規(guī)則，需要利用求體積的一些特殊方法：分割法、補(bǔ)體法、轉(zhuǎn)化法等，它們是解決一些不規(guī)則幾何體體積計(jì)算常用的方法.21.(18)（本小題滿(mǎn)分12分）已知.

（I）

求sinx－cosx的值；

（II）

（Ⅱ）求的值參考答案：(1)

(2)解：（Ⅰ）由

即

………4分

又

故

…7分（Ⅱ）

……12分22.某商品在近30天內(nèi)每件的銷(xiāo)售價(jià)格p（元）與時(shí)間t（天）的函數(shù)關(guān)系是p=，該商品的日銷(xiāo)售量Q（件）與時(shí)間t（天）的函數(shù)關(guān)系是Q=﹣t+40（0＜t≤30，t∈N），求這種商品的日銷(xiāo)售金額的最大值，