上海楊浦鳳城高級中學2022年度高一數學文期末試題含解析

上海楊浦鳳城高級中學2022年度高一數學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.△ABC中，若，則△ABC的形狀為（

）A．直角三角形

B．等腰三角形

C．等邊三角形

D．銳角三角形參考答案：B2.已知二次函數y=2x2－1在區(qū)間[a,b]上有最小值－1，是下面關系式一定成立的是（

）

A．a≤0<b或a<0≤b

B．a<0<b

C．a<b<0或a<0<b

D．0<a<b或a<b<0參考答案：A3.（5分）下列四個函數中，與y=x表示同一函數的是（） A． y=（）2 B． y= C． y= D． y=參考答案：B考點： 判斷兩個函數是否為同一函數．專題： 證明題．分析： 逐一檢驗各個選項中的函數與已知的函數是否具有相同的定義域、值域、對應關系，只有這三者完全相同時，兩個函數才是同一個函數．解答： 選項A中的函數的定義域與已知函數不同，故排除選項A；選項B中的函數與已知函數具有相同的定義域、值域和對應關系，故是同一個函數，故選項B滿足條件；選項C中的函數與已知函數的值域不同，故不是同一個函數，故排除選項C；選項D中的函數與已知函數的定義域不同，故不是同一個函數，故排除選項D；故選B．點評： 本題考查函數的三要素：定義域、值域、對應關系．兩個函數只有當定義域、值域、對應關系完全相同時，才是同一個函數．4.已知y=f（x）是定義域為R的奇函數，且當x＞0時，f（x）=3x+x3﹣5，則函數y=f（x）的零點的個數為(

)A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：C5.下列問題中，應采用哪種抽樣方法（）①有甲廠生產的30個籃球，其中一箱21個，另一箱9個，抽取10個入樣；②有30個籃球，其中甲廠生產的有21個，乙廠生產的有9個，抽取10個入樣；③有甲廠生產的300個籃球，抽取10個入樣；④有甲廠生產的300個籃球，抽取50個入樣．A．分層抽樣、分層抽樣、抽簽法、系統(tǒng)抽樣B．分層抽樣、分層抽樣、隨機數法、系統(tǒng)抽樣C．抽簽法、分層抽樣、隨機數法、系統(tǒng)抽樣D．抽簽法、分層抽樣、系統(tǒng)抽樣、隨機數法參考答案：C【考點】簡單隨機抽樣．【專題】計算題；整體思想；定義法；概率與統(tǒng)計．【分析】如果總體和樣本容量都很大時，采用隨機抽樣會很麻煩，就可以使用系統(tǒng)抽樣；如果總體是具有明顯差異的幾個部分組成的，則采用分層抽樣；從包含有N個個體的總體中抽取樣本量為n個樣本，總體和樣本容量都不大時，采用隨機抽樣．【解答】解：總體容量較小，用抽簽法；總體由差異明顯的兩個層次組成，需選用分層抽樣；總體容量較大，樣本容量較小，宜用隨機數法；總體容量較大，樣本容量也較大，宜用系統(tǒng)抽樣，故選C．【點評】本題考查收集數據的方法，考查系統(tǒng)抽樣，分層抽樣，簡單隨機抽樣的合理運用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答．6.（5分）若直線經過A（0，4），B（，1）兩點，則直線AB的傾斜角為（） A． 30° B． 45° C． 60° D． 120°參考答案：D考點： 直線的傾斜角．專題： 直線與圓．分析： 由兩點求斜率公式求得AB的斜率，再由直線傾斜角的正切值等于斜率得答案．解答： ∵直線經過A（0，4），B（，1）兩點，∴，設直線AB的傾斜角為α（0°≤α＜180°），由tan，得α=120°．故選：D．點評： 本題考查了直線的斜率，考查了斜率與傾斜角的關系，是基礎題．7.已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的減函數，那么a的取值范圍是（）A．[，） B．（0，） C．（，1） D．（，1）參考答案：A【考點】函數單調性的性質．【專題】函數的性質及應用．【分析】由f（x）為（﹣∞，+∞）上的減函數，知（3a﹣1）x+4a遞減，logax遞減，且（3a﹣1）×1+4a≥loga1，從而得，解出即可．【解答】解：因為f（x）為（﹣∞，+∞）上的減函數，所以有，解得，故選A．【點評】本題考查函數單調性的性質，屬中檔題．8.下列判斷正確的是（）A．

B．

C．

D．參考答案：D9.當0＜a＜1時，在同一坐標系中，函數y=a﹣x與y=logax的圖象是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】對數函數的圖像與性質；指數函數的圖像與性質．【專題】壓軸題；數形結合．【分析】先將函數y=a﹣x化成指數函數的形式，再結合函數的單調性同時考慮這兩個函數的單調性即可判斷出結果【解答】解：∵函數y=a﹣x與可化為函數y=，其底數大于1，是增函數，又y=logax，當0＜a＜1時是減函數，兩個函數是一增一減，前增后減．故選C．【點評】本題考查函數的圖象，考查同學們對對數函數和指數函數基礎知識的把握程度以及數形結合的思維能力．10.如果cos（π+A）=﹣，那么sin（+A）的值是（）A．﹣ B． C．﹣ D．參考答案：B【考點】三角函數的化簡求值．【專題】計算題；函數思想；數學模型法；三角函數的求值．【分析】已知等式利用誘導公式化簡求出cosA的值，所求式子利用誘導公式化簡后將cosA的值代入計算即可求出．【解答】解：∵cos（π+A）=﹣cosA=﹣，即cosA=，∴sin（+A）=cosA=．故選：B．【點評】本題考查了運用誘導公式化簡求值，熟練掌握誘導公式是解本題的關鍵，是基礎題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若x∈（0，2π），則使=sinx﹣cosx成立的x的取值范圍是

．參考答案：[]【考點】三角函數的化簡求值．【分析】把根式內部的代數式化為完全平方式的形式，由已知等式可得sinx≥cosx，再由已知x的范圍求得x的具體范圍．【解答】解：∵===sinx﹣cosx，∴sinx≥cosx，又x∈（0，2π），∴x∈[]．故答案為：∈[]．12.已知集合，，且，則實數的取值范圍是_______________．參考答案：13.在△ABC中，M是BC的中點，AM=3，點P在AM上且滿足，則=．參考答案：-4【考點】平面向量數量積的運算．【專題】計算題．【分析】先根據AM=3，點P在AM上且滿足，求||的值，再根據M是BC的中點，計算，最后計算即可．解：∵AM=3，點P在AM上且滿足，∴||=2∵M是BC的中點，∴=2=∴=?=﹣=﹣4故答案為﹣4【點評】本題考查了向量的加法與向量的數量積的運算，屬基礎題，必須掌握．14.函數恒過定點

。參考答案：(3，4)略15.已知函數對于滿足的任意，，給出下列結論：①；

②；③．

④其中正確結論的序號是___________.

參考答案：②③16.已知向量與的夾角為，且，，則

．參考答案：17.已知事件在矩ABCD的邊CD上隨意取一點P，使得△APB的最大邊是AB發(fā)生的概率為，則=．參考答案：【考點】幾何概型．【分析】先明確是一個幾何概型中的長度類型，然后求得事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機取一點P，使△APB的最大邊是AB”發(fā)生的線段長度，再利用兩者的比值即為發(fā)生的概率，從而求出．【解答】解：記“在矩形ABCD的邊CD上隨機取一點P，使△APB的最大邊是AB”為事件M，試驗的全部結果構成的長度即為線段CD，構成事件M的長度為線段CD其一半，根據對稱性，當PD=CD時，AB=PB，如圖．設CD=4x，則AF=DP=x，BF=3x，再設AD=y，則PB==，于是=4x，解得=，從而=．故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知動圓經過點和（Ⅰ）當圓面積最小時，求圓的方程；（Ⅱ）若圓的圓心在直線上，求圓的方程。參考答案：（Ⅰ）要使圓的面積最小，則為圓的直徑，------2分圓心,半徑-----------4分所以所求圓的方程為：.------------6分（Ⅱ）法一：因為，中點為，所以中垂線方程為，即

----------8分解方程組得：，所以圓心為．------10分根據兩點間的距離公式，得半徑，------------11分因此，所求的圓的方程為.-------12分法二：設所求圓的方程為，根據已知條件得----------6分-------------------------11分所以所求圓的方程為.----------12分略19.

已知函數（1）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍；（2）討論函數零點的個數．參考答案：解：（1）由得，變形為，即

-------------2分而，

當即時，所以．

--------------6分（2）由可得，變?yōu)?/p>

略20.如圖，在直角梯形ABCD中，，，，，，點E在CD上，且，將沿AE折起，使得平面平面ABCE（如圖）.G為AE中點.（1）求證:DG⊥平面ABCE；（2）求四棱錐D-ABCE的體積；（3）在線段BD上是否存在點P，使得平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.參考答案：(1)見證明；(2)(3)【分析】（1）證明，再根據面面垂直的性質得出平面；（2）分別計算和梯形的面積，即可得出棱錐的體積；（3）過點C作交于點，過點作交于點，連接，可證平面平面，故平面，根據計算的值.【詳解】（1）證明：因為為中點，，所以.因為平面平面，平面平面，平面，所以平面．（2）在直角三角形中，易求,則．所以四棱錐的體積為．

（3）過點C作交于點，則．過點作交于點，連接,則．又因為，平面平面,所以平面．同理平面．又因為，所以平面平面．因為平面，所以平面．所以在上存在點，使得平面，且.【點睛】本題主要考查線面垂直的性質與判定，線面平行的性質與判定以及四棱錐的體積，考查學生的空間想象能力和推理論證能力.計算柱錐臺的體積的關鍵是根據條件找出相應的底面積和高，如果給出的幾何體不規(guī)則，需要利用求體積的一些特殊方法：分割法、補體法、轉化法等，它們是解決一些不規(guī)則幾何體體積計算常用的方法.21.(18)（本小題滿分12分）已知.

（I）

求sinx－cosx的值；

（II）

（Ⅱ）求的值參考答案：(1)

(2)解：（Ⅰ）由

即

………4分

又

故

…7分（Ⅱ）

……12分22.某商品在近30天內每件的銷售價格p（元）與時間t（天）的函數關系是p=，該商品的日銷售量Q（件）與時間t（天）的函數關系是Q=﹣t+40（0＜t≤30，t∈N），求這種商品的日銷售金額的最大值，