概率論與數(shù)理統(tǒng)計：第一節(jié) 隨機變量

第二章隨機變量及其分布隨機變量第一節(jié)隨機變量離散型隨機變量及其分布律常見的離散型隨機變量的分布第一章的內(nèi)容，一句話概括：求事件A的概率！第一章我們干的事情：求各種各樣奇奇怪怪事件A的概率。

本章，將用隨機變量表示事件，以便于采用高等數(shù)學(xué)的方法描述，進而研究隨機現(xiàn)象。在前面的學(xué)習(xí)中,我們用字母A、B、C...表示事件，并視之為樣本空間

的子集；采用高等數(shù)學(xué)的方法描述隨機事件的關(guān)鍵是：樣本空間數(shù)量化

樣本空間數(shù)量化之后，就可用數(shù)字來表示試驗的結(jié)果。數(shù)量化

試驗結(jié)果數(shù)量化，直接將試驗結(jié)果與數(shù)建立了一個對應(yīng)關(guān)系。試驗結(jié)果的數(shù)量化數(shù)量化的優(yōu)點：可以用數(shù)學(xué)方法和工具來研究隨機現(xiàn)象

有些隨機試驗的結(jié)果本來就可以用數(shù)量來表示.(1)

在擲骰子試驗中,結(jié)果用1,2,3,4,5,6來表示；例如:

擲硬幣試驗,其結(jié)果是用漢字“正面”和“反面”來表示的可規(guī)定:用1表示“正面”，用0表示“反面”

有些隨機試驗的結(jié)果不是用數(shù)量來表示，但可數(shù)量化例如:(2)抽樣中出現(xiàn)的廢品數(shù)，X=i，i=0,1,2,…樣本空間數(shù)量化隨機變量的定義

設(shè)隨機試驗的樣本空間為，如果對于每一個樣本點，均有唯一的實數(shù)X()與之對應(yīng)，稱X=X()為樣本空間上的隨機變量。一、隨機變量數(shù)量化例

設(shè)箱中有5個球，其中有3個紅球，2個黑球；從中任意抽取2個,觀察抽球結(jié)果。取球結(jié)果為:兩個黑球;兩個紅球;一紅一黑如果用X表示抽得的紅球數(shù)，則X的取值為0，1，2。此時，“兩只紅球”=“X取到值2”,可記為{X=2}

“一紅一黑”={X=1},“兩只白球”＝{X=0}試驗結(jié)果的數(shù)量化隨機變量的類型

離散型

連續(xù)型隨機變量的所有取值是有限個或可數(shù)個

非離散型也非連續(xù)型

設(shè)離散型隨機變量X的所有可能取值是x1,x2,…,xk,…，而X取值xk的概率為pk

稱以上為離散型隨機變量X的分布律。

p1

，p2

，…pK…

P

x1，x2，…xk，…X其中

隨機變量X的概率分布全面表達了X的可能取值以及取各個值的概率情況

例1袋中有5個球，分別編號1、2、…、5，從中同時取出3個球，用X表示取出的球的最大號碼，求X的分布律。對于求離散型隨機變量的問題，通常要解決兩點：1、問題中隨機變量可能取些什么值？2、隨機變量取這些值的概率是多少？練習(xí)：袋中有5個球，分別編號1、2、…、5，從中同時取出3個球，用X表示取出的球的最小號碼，求X的分布律。

例2一批零件中有10個合格品，3個次品，安裝機器時，從這批零件中任取一個，取到合格品才能安裝。若取出的是次品，則不再放回.求在取得合格品前已取出的次品數(shù) X的分布律。三種常見的離散型分布（1）0-1分布

則稱X的分布為0-1分布（兩點分布）?！鞫x：若隨機變量X的分布律為:1－ppP01X（2）二項分布

在n重伯努利試驗中，設(shè)事件發(fā)生的概率為p。事件A發(fā)生的次數(shù)是隨機變量，設(shè)為X，則X可能取值為。其中則稱隨機變量X服從參數(shù)為n，p的二項分布。記為

在概率論中，二項分布是一個非常重要的分布，很多隨機現(xiàn)象都可用二項分布來描述。

例如在次品率為p的一批產(chǎn)品中有放回地任取n件產(chǎn)品，以X表示取出的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X服從參數(shù)為n，p的二項分布X～B(n,p)。

如果這批產(chǎn)品的批量很大，則采用無放回方式抽取n件產(chǎn)品時，也可認為X服從參數(shù)為n，p的二項分布X～B(n,p)。例3從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有3個交通崗，假設(shè)在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率均為0.25，設(shè)為途中遇到紅燈的次數(shù)X，求隨機變量X的分布律及至多遇到一次紅燈的概率。（3）泊松分布設(shè)隨機變量X的分布律為則稱隨機變量X服從參數(shù)為的泊松分布，記為X～P()服務(wù)臺在某時間段內(nèi)接待的服務(wù)次數(shù)X；交換臺在