高中數(shù)學(xué)人教A版2第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用單元測(cè)試 名師獲獎(jiǎng)_第1頁
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1.4生活中的優(yōu)化問題舉例1.導(dǎo)數(shù)應(yīng)用(一)1.會(huì)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)中的綜合問題.2.會(huì)用導(dǎo)數(shù)解決物理中的實(shí)際問題.eq\x(基)eq\x(礎(chǔ))eq\x(梳)eq\x(理)1.導(dǎo)數(shù)在幾何中的應(yīng)用:如求切線問題,要正確求出相應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),看清題意,如果求過某點(diǎn)的函數(shù)的曲線的切線,首先要判斷該點(diǎn)是否在曲線上,再確定切線條數(shù),最后再應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求出切線.2.導(dǎo)數(shù)在物理中的應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的物理意義:s′(t0)是路程為s(t)的變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度v(t0),利用導(dǎo)數(shù)的物理意義可求變速直線運(yùn)動(dòng)在某時(shí)刻的瞬時(shí)速度.3.求函數(shù)解析式與導(dǎo)數(shù)相關(guān)的題,要有列方程意識(shí),有幾個(gè)參數(shù)待定就設(shè)法列出幾個(gè)方程.想一想:(1)過函數(shù)y=eq\r(x)+eq\f(1,x)圖象上的點(diǎn)(1,2)作函數(shù)圖象的切線,則切線方程為________.(2)某物體按照s(t)=3t2+2t+4的規(guī)律作直線運(yùn)動(dòng),則物體在4s時(shí)的瞬時(shí)速度為________.(1)解析:y′=eq\f(1,2\r(x))-eq\f(1,x2),則切線斜率為,所以,切線方程為k=y(tǒng)′|x=1=-eq\f(1,2),所以,切線方程為y-2=-eq\f(1,2)(x-1),即x+2y-5=0.(2)解析:s′(t)=6t+2,所以物體在4s時(shí)的瞬時(shí)速度為ν=s′(t)|t=4=26.eq\x(自)eq\x(測(cè))eq\x(自)eq\x(評(píng))1.已知f(x)=x2+3xf′(1),則f′(2)=(A)A.1B.2C.4D.8解析:依題意,f′(x)=2x+3f′(1),則f′(1)=-1,所以f′(2)=4-3=1,故選A.2.函數(shù)f(x)=x3-ax2+3x-9,已知f(x)在x=1時(shí)取得極值,則a=(B)A.2B.3C.4D.53.已知質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s=at2+3(單位:cm)做直線運(yùn)動(dòng),且質(zhì)點(diǎn)M在t=2s時(shí)的瞬時(shí)速度為8cm/s,則a的值為________.解析:s′=2at,所以質(zhì)點(diǎn)M在t=2s時(shí)的瞬時(shí)速度為ν=s′|t=2=4a=8,得a=2.答案:2eq\x(基)eq\x(礎(chǔ))eq\x(鞏)eq\x(固)1.函數(shù)y=cos2x在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4),0))處的切線方程是(D)A.4x+2y+π=0B.4x-2y+π=0C.4x-2y-π=0D.4x+2y-π=0解析:y′|x=eq\f(π,4)=-2sineq\f(π,2)=-2,用點(diǎn)斜式求得y=-2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(π,4))),故選D.2.下列函數(shù)在x=0處沒有切線的是(C)A.y=3x2+cosxB.y=xsinxC.y=eq\f(1,x)+2xD.y=eq\f(1,cosx)解析:因?yàn)閥=eq\f(1,x)+2x在x=0處沒意義,所以y=eq\f(1,x)+2x在x=0處沒有切線.3.(2023·高考課標(biāo)全國(guó)卷)若存在正數(shù)x使2x(x-a)<1成立,則a的取值范圍是(D)A.(-∞,+∞)B.(-2,+∞)C.(0,+∞)D.(-1,+∞)解析:∵2x(x-a)<1,∴a>x-eq\f(1,2x).令f(x)=x-eq\f(1,2x),∴f′(x)=1+2-xln2>0.∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,∴f(x)>f(0)=0-1=-1,∴a的取值范圍為(-1,+∞),故選D.4.已知一物體的運(yùn)動(dòng)方程是s=6t2-5t+7,則其在t=________時(shí)刻的速度為19.解析:v(t)=s′=12t-5=19,得t=2.答案:2eq\x(能)eq\x(力)eq\x(提)eq\x(升)5.已知實(shí)數(shù)a,b,c,d成等比數(shù)列,且曲線y=3x-x3的極大值點(diǎn)坐標(biāo)為(b,c),則ad等于(A)A.2B.1C.-1D.-2解析:y′=3-3x2,令y′=0,得x=±1.可判斷函數(shù)y=3x-x3在x=1處取得極大值,因此極大值點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2),即b=1,c=2,又ad=bc,∴ad=2.6.(2023·新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(C)A.?x0∈R,f(x0)=0B.函數(shù)y=f(x)的圖象是中心對(duì)稱圖形C.若x0是y=f(x)的極小值點(diǎn),則y=f(x)在區(qū)間(-∞,x0)單調(diào)遞減D.若x0是y=f(x)的極值點(diǎn),則f′(x0)=0解析:y=f(x)的值域?yàn)?-∞,+∞),所以選項(xiàng)A正確;函數(shù)f(x)的圖象可以由y=x3的圖象經(jīng)過平移和伸縮得到,因?yàn)閒(x)=x3是奇函數(shù),所以f(x)的圖象是中心對(duì)稱圖形.所以選項(xiàng)B正確;顯然選項(xiàng)C不正確;選項(xiàng)D正確.故選C.7.設(shè)P為曲線C:y=x2+2x+3上的點(diǎn),且曲線C在點(diǎn)P處切線傾斜角的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,4))),則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為______________.解析:設(shè)切點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x0,且eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(y′))eq\s\do7(x=x0)=2x0+2=tanα(α為點(diǎn)P處切線的傾斜角),又因?yàn)棣痢蔱q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,4))),所以0≤2x0+2≤1,所以x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-1,-\f(1,2))).答案:eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-1,-\f(1,2)))8.函數(shù)f(x)=x3-ax2-bx+a2在x=1時(shí),有極值10,則a、b的值分別為________.解析:f′(x)=3x2-2ax-b.∵x=1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),且在x=1處的極值為10,∴f′(1)=3-2a-b=0,f(1)=1-a-b+a2=10.∴a2+a-12=0,∴a=-4或a=3.若a=-4,則b=11;若a=3,則b=-3.答案:-4,11或3,-39.已知x∈R,奇函數(shù)f(x)=x3-ax2-bx+c在[1,+∞)上單調(diào),求實(shí)數(shù)a,b,c應(yīng)滿足的條件.解析:∵函數(shù)f(x)=x3-ax2-bx+c是奇函數(shù),可得f(0)=0,∴c=0,a=0.∵f′(x)=3x2-b,又∵函數(shù)f(x)在x3-ax2-bx+c在[1,+∞]上單調(diào),∴f′(x)=3x2-b≥0或f′(x)=3x2-b≤0(舍去)恒成立,∴b≤3x2在[1,+∞)上恒成立,即b≤3.∴a=0,b≤3,c=0.10.(2023·重慶卷)已知函數(shù)f(x)=eq\f(x,4)+eq\f(a,x)-lnx-eq\f(3,2),其中a∈R,且曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線垂直于y=eq\f(1,2)x.(1)求a的值;(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.解析:對(duì)f(x)求導(dǎo)得f′(x)=eq\f(1,4)-eq\f(a,x2)-eq\f(1,x),由f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處切線垂直于直線y=eq\f(1,2)x知f′(1)=-eq\f(3,4)-a=-2,解得a=eq\f(5,4);(2)由(1)知f(x)=eq\f(x,4)+eq\f(5,4x)-lnx-eq\f(3,2),則f′(x)=eq\f(1,4)-eq\f(5,4x2)-eq\f(1,x)

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