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空間向量的數(shù)量積【使用說明及學(xué)法指導(dǎo)】1.先自學(xué)課本,理解概念,完成導(dǎo)學(xué)提綱;2.小組合作,動手實踐?!緦W(xué)習(xí)目標(biāo)】掌握空間向量夾角和模的概念及表示方法;掌握兩個向量的數(shù)量積的計算方法,并能利用兩個向量的數(shù)量積解決立體幾何中的一些簡單問題.掌握空間向量的正交分解及空間向量基本定理和坐標(biāo)表示;掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算的規(guī)律;【重點】利用兩個向量的數(shù)量積解決立體幾何中的問題.【難點】空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算的規(guī)律一、自主學(xué)習(xí)1預(yù)習(xí)教材P90~P92,解決下列問題復(fù)習(xí)1:什么是平面向量與的數(shù)量積?復(fù)習(xí)2:在邊長為1的正三角形⊿ABC中,求.導(dǎo)學(xué)提綱1)兩個向量的夾角的定義:已知兩非零向量,在空間,作,則叫做向量與的夾角,記作.⑴范圍:=0時,;=π時,⑵成立嗎?⑶,則稱與互相垂直,記作.2)向量的數(shù)量積:已知向量,則叫做的數(shù)量積,記作,即.⑴兩個向量的數(shù)量積是數(shù)量還是向量?⑵(選0還是)⑶你能說出的幾何意義嗎?3)空間向量數(shù)量積的性質(zhì):(1)設(shè)單位向量,則.(2).(3)=.(4)=____________4)空間向量數(shù)量積滿足哪些運(yùn)算律:_____________________________⑴嗎?舉例說明.⑵若,則嗎?為什么?⑶若,則嗎?為什么?5)對空間的任意向量,能否用空間的幾個向量唯一表示?如果能,那需要___個向量?這幾個向量有何位置關(guān)系?空間的任意向量,均可分解為不共面的三個向量、、,使.如果兩兩,這種分解叫空間向量的___________.空間向量基本定理:如果三個向量,對空間任一向量,存在有序?qū)崝?shù)組,使得.把的一個基底都叫做__________.空間任意一個向量的基底有個.一個基底可以表示_____個空間向量?如果空間一個基底的三個基向量互相,長度都為,則這個基底叫做單位正交基底,通常用_________表示.⑷空間向量的坐標(biāo)表示:給定一個空間直角坐標(biāo)系O-xyz和向量a,且設(shè)i、j、k為x軸、y軸、z軸正方向的單位向量,則存在有序?qū)崝?shù)組,使得,則稱有序?qū)崝?shù)組為向量a的坐標(biāo),記著.⑸設(shè)A,B,則=.⑹向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算:設(shè)a=,b=,則⑴a+b=_________________;⑵a-b=_________________;⑶λa=__________________;;⑷a·b=_____________________.試用向量方法證明直線與平面垂直的判斷定理二、典型例題例.下列命題中:①若,則,中至少一個為②若且,則③④正確有個數(shù)為()A.0個B.1個C.2個D.3個2.已知和是兩個單位向量,夾角為,則下面向量中與垂直的是()A.B.C.D.3.若為空間向量的一組基底,則下列各項中,能構(gòu)成基底的是()A.B.C.D.4.設(shè)i、j、k為空間直角坐標(biāo)系O-xyz中x軸、y軸、z軸正方向的單位向量,且,則點B的坐標(biāo)是5.已知中,所對的邊為,且,,則=6.在三棱錐OABC中,G是的重心(三條中線的交點),選取為基底,試用基底表示=7.已知,,且和不共線,當(dāng)與的夾角是銳角時,的取值范圍是.8.正方體的棱長為2,以A為坐標(biāo)原點,以為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,E為BB1中點,則E的坐標(biāo)是.9.已知向量滿足,,,則____10.已知關(guān)于x的方程有兩個實根,,且,當(dāng)t=時,的模取得最大值.例2如圖,在空間四邊形中,,,,,,,求與的夾角的余弦值變式:如圖,在正三棱柱ABC-ABC中,若AB=BB,則AB與CB所成的角為()A.60°B.90°C.105°D.75°例3如圖所示,在平行四邊形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,將它沿對角線AC折起,使AB與CD成60°角,求B、D間的距離.例4在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中,-*6]·eq\o(OC,\s\up6(→))=a,eq\o(AD,\s\up6(→))=b,eq\o(AA′,\s\up6(→))=c,P是CA′的中點,M是CD′的中點,N是C′D′的中點,點Q是CA′上的點,且CQ∶QA′=4∶1,用基底{a,b,c}表示以下向量:(1);(2)eq\o(AM,\s\up6(→));(3);(4)eq\o(AQ,\s\up6(→)).三、變式訓(xùn)練:課本第92頁練習(xí)1-3,
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