高中數(shù)學(xué)人教A版1第三章空間向量與立體幾何（區(qū)一等獎）

空間向量的數(shù)量積【使用說明及學(xué)法指導(dǎo)】1．先自學(xué)課本，理解概念，完成導(dǎo)學(xué)提綱；2．小組合作，動手實(shí)踐?！緦W(xué)習(xí)目標(biāo)】掌握空間向量夾角和模的概念及表示方法；掌握兩個向量的數(shù)量積的計(jì)算方法，并能利用兩個向量的數(shù)量積解決立體幾何中的一些簡單問題．掌握空間向量的正交分解及空間向量基本定理和坐標(biāo)表示；掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算的規(guī)律；【重點(diǎn)】利用兩個向量的數(shù)量積解決立體幾何中的問題．【難點(diǎn)】空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算的規(guī)律一、自主學(xué)習(xí)1預(yù)習(xí)教材P90~P92,解決下列問題復(fù)習(xí)1：什么是平面向量與的數(shù)量積？復(fù)習(xí)2：在邊長為1的正三角形⊿ABC中，求.導(dǎo)學(xué)提綱1)兩個向量的夾角的定義：已知兩非零向量，在空間，作，則叫做向量與的夾角，記作.⑴范圍:=0時,;=π時,⑵成立嗎？⑶，則稱與互相垂直，記作.2)向量的數(shù)量積：已知向量，則叫做的數(shù)量積，記作，即.⑴兩個向量的數(shù)量積是數(shù)量還是向量？⑵（選0還是）⑶你能說出的幾何意義嗎？3)空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：（1）設(shè)單位向量，則．（2）．（3）＝.（4）=____________4)空間向量數(shù)量積滿足哪些運(yùn)算律：_____________________________⑴嗎？舉例說明.⑵若，則嗎？為什么?⑶若，則嗎？為什么？5)對空間的任意向量，能否用空間的幾個向量唯一表示？如果能，那需要___個向量？這幾個向量有何位置關(guān)系？空間的任意向量，均可分解為不共面的三個向量、、，使.如果兩兩，這種分解叫空間向量的___________.空間向量基本定理：如果三個向量，對空間任一向量，存在有序?qū)崝?shù)組，使得.把的一個基底都叫做__________.空間任意一個向量的基底有個.一個基底可以表示_____個空間向量？如果空間一個基底的三個基向量互相，長度都為，則這個基底叫做單位正交基底，通常用_________表示.⑷空間向量的坐標(biāo)表示：給定一個空間直角坐標(biāo)系O-xyz和向量a，且設(shè)i、j、k為x軸、y軸、z軸正方向的單位向量，則存在有序?qū)崝?shù)組，使得，則稱有序?qū)崝?shù)組為向量a的坐標(biāo)，記著.⑸設(shè)A，B，則＝.⑹向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a＝，b＝，則⑴a＋b＝_________________；⑵a－b＝_________________；⑶λa＝__________________;；⑷a·b＝_____________________.試用向量方法證明直線與平面垂直的判斷定理二、典型例題例.下列命題中：①若，則，中至少一個為②若且，則③④正確有個數(shù)為（）A.0個B.1個C.2個D.3個2.已知和是兩個單位向量，夾角為，則下面向量中與垂直的是（）A.B.C.D.3.若為空間向量的一組基底，則下列各項(xiàng)中，能構(gòu)成基底的是（）A.B.C.D.4.設(shè)i、j、k為空間直角坐標(biāo)系O-xyz中x軸、y軸、z軸正方向的單位向量，且，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是5.已知中，所對的邊為，且,,則=6.在三棱錐OABC中，G是的重心（三條中線的交點(diǎn)），選取為基底，試用基底表示＝7.已知，，且和不共線，當(dāng)與的夾角是銳角時，的取值范圍是.8.正方體的棱長為2，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，E為BB1中點(diǎn)，則E的坐標(biāo)是.9.已知向量滿足，，，則____10.已知關(guān)于x的方程有兩個實(shí)根，，且，當(dāng)t＝時，的模取得最大值.例2如圖，在空間四邊形中，，，，，，，求與的夾角的余弦值變式：如圖，在正三棱柱ABC-ABC中，若AB=BB,則AB與CB所成的角為（）A.60°B.90°C.105°D.75°例3如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，將它沿對角線AC折起，使AB與CD成60°角，求B、D間的距離．例4在平行六面體ABCD－A′B′C′D′中，－*6]·eq\o(OC,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA′,\s\up6(→))＝c，P是CA′的中點(diǎn)，M是CD′的中點(diǎn)，N是C′D′的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是CA′上的點(diǎn)，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：（1）；(2)eq\o(AM,\s\up6(→))；(3)；(4)eq\o(AQ,\s\up6(→)).三、變式訓(xùn)練：課本第92頁練習(xí)1-3，