高中數(shù)學蘇教版第2章函數(shù)映射的概念 蘇教版 映射的概念 學案

2．3映射的概念學習目標1.了解映射的概念，掌握映射的三要素(難點)；2.會判斷給出的兩集合，能否構(gòu)成映射(重點)．預(yù)習教材P46－47，完成下面問題：知識點一映射的概念一般地，設(shè)A，B是兩個非空集合，如果按照某種對應(yīng)法則f，對于A中的每一個元素，在B中都有唯一的元素與之對應(yīng)，那么這樣的單值對應(yīng)叫做從集合A到集合B的映射，記為f：A→B.【預(yù)習評價】下面各圖表示的對應(yīng)構(gòu)成映射的有________．解析①②③這三個圖所表示的對應(yīng)都符合映射的定義，即A中的每一個元素在對應(yīng)法則下，B中都有唯一的元素與之對應(yīng)．對于④⑤，A中的每一個元素在B中有2個元素與之對應(yīng)，所以不是A到B的映射；對于⑥，A中的元素a3，a4，在B中沒有元素與之對應(yīng)，所以不是A到B的映射．答案①②③知識點二映射與函數(shù)的關(guān)系名稱區(qū)別與聯(lián)系函數(shù)映射區(qū)別函數(shù)中的兩個集合A和B必須是非空數(shù)集映射中的兩個集合A和B可以是數(shù)集，也可以是其他集合，只要非空即可聯(lián)系函數(shù)是一種特殊的映射；映射是函數(shù)概念的推廣，但不一定是函數(shù)【預(yù)習評價】函數(shù)與映射有何區(qū)別與聯(lián)系？提示函數(shù)是一種特殊的映射，即一個對應(yīng)關(guān)系是函數(shù)，則一定是映射，但反之，一個對應(yīng)關(guān)系是映射，則不一定是函數(shù)．題型一映射的判斷【例1】以下給出的對應(yīng)是不是從集合A到集合B的映射？(1)集合A＝{P|P是數(shù)軸上的點}，集合B＝R，對應(yīng)關(guān)系f：數(shù)軸上的點與它所代表的實數(shù)對應(yīng)；(2)集合A＝{P|P是平面直角坐標系中的點}，集合B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，對應(yīng)關(guān)系f：平面直角坐標系中的點與它的坐標對應(yīng)；(3)集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圓}，對應(yīng)關(guān)系f：每一個三角形都對應(yīng)它的內(nèi)切圓；(4)集合A＝{x|x是新華中學的班級}，集合B＝{x|x是新華中學的學生}，對應(yīng)法則f：每一個班級都對應(yīng)班里的學生．解(1)按照建立數(shù)軸的方法可知，數(shù)軸上的任意一個點，都有唯一的實數(shù)與之對應(yīng)，所以這個對應(yīng)f：A→B是從集合A到集合B的一個映射．(2)按照建立平面直角坐標系的方法可知，平面直角坐標系中的任意一個點，都有唯一的一個實數(shù)對與之對應(yīng)，所以這個對應(yīng)f：A→B是從集合A到集合B的一個映射．(3)由于每一個三角形只有一個內(nèi)切圓與之對應(yīng)，所以這個對應(yīng)f：A→B是從集合A到集合B的一個映射．(4)新華中學的每一個班級里的學生都不止一個，即與一個班級對應(yīng)的學生不止一個，所以這個對應(yīng)f：A→B不是從集合A到集合B的一個映射．規(guī)律方法映射是一種特殊的對應(yīng)，它具有：(1)方向性：映射是有次序的，一般地從A到B的映射與從B到A的映射是不同的；(2)唯一性：集合A中的任意一個元素在集合B中都有唯一的元素與之對應(yīng)，可以是：一對一，多對一，但不能一對多．【訓(xùn)練1】設(shè)集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤4}，則下述對應(yīng)法則f中，不能構(gòu)成從A到B的映射的是________．①f：x→y＝x2 ②f：x→y＝3x－2③f：x→y＝－x＋4 ④f：x→y＝4－x2解析對于①，任一實數(shù)x都有唯一的x2與之對應(yīng)，是映射，這個映射是一對一；對于②，任一x都有唯一3x－2與之對應(yīng)，是映射，一對一．③類似于②.對于④，當x＝2時，由對應(yīng)法則y＝4－x2得y＝0，在集合B中沒有元素與之對應(yīng)，所以④不能構(gòu)成從A到B的映射．答案④題型二利用對應(yīng)法則求對應(yīng)元素【例2】設(shè)集合A和B為坐標平面上的點集{(x，y)|x∈R，y∈R}，映射f：A→B使集合A中的元素(x，y)映射成集合B中的元素(x＋y，xy)，那么(1,2)在映射f作用下的對應(yīng)元素為________；若在f作用下的對應(yīng)元素為(－2，－3)，則它原來的元素為________．解析根據(jù)映射的定義，當x＝1，y＝2時，x＋y＝3，xy＝2，則(1,2)在映射f作用下的對應(yīng)元素為(3,2)；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝－2，,xy＝－3，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－3，))即(－2，－3)所對應(yīng)的原來的元素為(－3,1)或(1，－3)．答案(3,2)(－3,1)或(1，－3)規(guī)律方法求一個映射(f：A→B)中，A中元素在B中的對應(yīng)元素或B中元素在A中的對應(yīng)元素的方法，主要是根據(jù)對應(yīng)法則列方程或方程組求解．【訓(xùn)練2】已知集合A＝R，B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：A→B是從A到B的映射，f：x→(x＋1，x2＋1)，求A中元素eq\r(2)在B中的對應(yīng)元素和B中元素eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(5,4)))在A中的對應(yīng)元素．解將x＝eq\r(2)代入對應(yīng)法則，可求出其在B中的對應(yīng)元素為(eq\r(2)＋1,3)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝\f(3,2)，,x2＋1＝\f(5,4)，))可得x＝eq\f(1,2).所以eq\r(2)在B中的對應(yīng)元素為(eq\r(2)＋1,3)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(5,4)))在A中的對應(yīng)元素為eq\f(1,2).互動探究題型三映射的個數(shù)問題【探究1】已知A＝{a，b，c}，B＝{－1,2}．(1)從A到B可以建立多少個不同的映射？從B到A呢？(2)若f(a)＋f(b)＋f(c)＝0，則從A到B的映射中滿足條件的映射有幾個？解(1)從A到B可以建立8個映射，如下圖所示．從B到A可以建立9個映射，如圖所示．(2)欲使f(a)＋f(b)＋f(c)＝0，需a，b，c中有兩個元素對應(yīng)－1，一個元素對應(yīng)2，共可建立3個映射．【探究2】已知集合A＝{a，b，c}，B＝{1,2,3}，映射f：A→B滿足A中元素a在B中的對應(yīng)元素是1，問這樣的映射有幾個．解由已知f(a)＝1，所以，①f(b)＝f(c)＝1時有1個；②f(b)＝f(c)＝2或f(b)＝f(c)＝3時各有1個，共2個；③f(b)＝1，f(c)＝2時有1個；④f(b)＝1，f(c)＝3時有1個；⑤f(c)＝1，f(b)＝2時有1個；⑥f(c)＝1，f(b)＝3時有1個；⑦f(b)＝2，f(c)＝3時有1個；⑧f(b)＝3，f(c)＝2時有1個．綜上可知，共有不同映射9個．【探究3】已知從集合A到集合B＝{0,1,2,3}的映射f：x→eq\f(1,|x|－1)，則集合A中的元素最多有幾個？解∵f：x→eq\f(1,|x|－1)是從集合A到集合B的映射，∴A中的每一個元素在集合B中都應(yīng)該有對應(yīng)元素．令eq\f(1,|x|－1)＝0，該方程無解，分別令eq\f(1,|x|－1)＝1,2,3，解得x＝±2，x＝±eq\f(3,2)，x＝±eq\f(4,3)，∴集合A中的元素最多有6個．【探究4】設(shè)M＝{a，b，c}，N＝{－2,0,2}．(1)求從M到N的映射個數(shù)；(2)從M到N的映射滿足f(a)＞f(b)≥f(c)，試確定這樣的映射f的個數(shù)．解(1)M中元素a可以對應(yīng)N中的－2,0,2中任意一個，有3種對應(yīng)方法，同理，M中元素b，c也各有3種對應(yīng)方法．因此從M到N的映射個數(shù)為3×3×3＝27.(2)滿足f(a)＞f(b)≥f(c)的映射是從M到N的特殊映射，可具體化，通過列表求解(如下表).f(a)f(b)f(c)0－2－22－2－220－2200故符合條件的映射有4個．規(guī)律方法(1)映射是一種特殊的對應(yīng)，一對一，多對一均為映射，但一對多不構(gòu)成映射．(2)判斷兩個集合的一種對應(yīng)能否構(gòu)成函數(shù)，首先判斷能否構(gòu)成映射，且構(gòu)成映射的兩個集合都是數(shù)集，這樣的映射才能構(gòu)成函數(shù)．①如果集合A中有m個元素，集合B中有n個元素，那么從集合A到集合B的映射共有nm個，從B到A的映射共有mn個．②映射帶有方向性，從A到B的映射與從B到A的映射是不同的．課堂達標1．若f：A中元素(x，y)對應(yīng)B中的元素(x＋y，x－y)，則B中元素________與A中元素(1,2)對應(yīng)，A中元素________與B中元素(1,2)對應(yīng)．解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋2＝3，,1－2＝－1，))得B中元素(3，－1)與A中(1,2)對應(yīng)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)，,y＝－\f(1,2)，))所以A中元素eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2)))與B中元素(1,2)對應(yīng)．答案(3，－1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2)))2．設(shè)集合A＝{1,2,3}，集合B＝{－1，－2，－3}，試問，從集合A到集合B的不同映射有________個．解析每個元素都有3種對應(yīng)，所以3×3×3＝27.答案273．設(shè)f，g都是由A到A的映射，其對應(yīng)法則如下表：映射f的對應(yīng)法則如下：A中元素1234對應(yīng)元素3421映射g的對應(yīng)法則如下：A中元素1234對應(yīng)元素4312則f(g(1))＝________.解析因為g(1)＝4，所以f(g(1))＝f(4)＝1.答案14．設(shè)f：x→x2是集合A到集合B的函數(shù)，若B＝{1}，則A∩B＝________.解析由f：x→x2是集合A到集合B的函數(shù)，如果B＝{1}，則A＝{－1,1}或A＝{－1}或A＝{1}，所以A∩B＝?或{1}．答案?或{1}5．已知B＝{－1,3,5}，若集合A使得f：x→3x－2是A到B的映射，求集合A.解由f：x→3x－2，分別令：3x－2＝－1，3x－2＝3,3x－2＝5，得x＝eq\f(1,3)，eq\f(5,3)，eq\f(7,3).∴A是集合{eq\f(1,3)，eq\f(5,3)，eq\f(7,3)}的非空子集．即A為：{eq\f(1,3)}，{eq\f(5,3)}，{eq\f(7,3)}，{eq\f(1,3)，eq\f(5,3)}，{eq\f(1,3)，eq\f(7,3)}，{eq\f(5,3)，eq