高中數(shù)學(xué)北師大版3第三章統(tǒng)計案例（全國一等獎）

學(xué)業(yè)分層測評(建議用時：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．有兩個分類變量X與Y的一組數(shù)據(jù)，由其列聯(lián)表計算得χ2≈，則認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”犯錯誤的概率為()A．95% B．90%C．5% D．10%【解析】χ2≈＞.這表明認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”是錯誤的可能性約為，即認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”犯錯誤的概率為5%.【答案】C2．在調(diào)查中發(fā)現(xiàn)480名男人中有38名患有色盲，520名女人中有6名患有色盲．下列說法正確的是()A．男、女患色盲的頻率分別為,B．男、女患色盲的概率分別為eq\f(19,240)，eq\f(3,260)C．男人中患色盲的比例比女人中患色盲的比例大，患色盲與性別是有關(guān)的D．調(diào)查人數(shù)太少，不能說明色盲與性別有關(guān)【解析】男人中患色盲的比例為eq\f(38,480)，要比女人中患色盲的比例eq\f(6,520)大，其差值為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(38,480)－\f(6,520)))≈6，差值較大．【答案】C3．為了探究生的學(xué)習(xí)成績是否與學(xué)習(xí)時間長短有關(guān)，在調(diào)查的500名學(xué)習(xí)時間較長的生中有39名學(xué)習(xí)成績比較好，500名學(xué)習(xí)時間較短的生中有6名學(xué)習(xí)成績比較好，那么你認(rèn)為生的學(xué)習(xí)成績與學(xué)習(xí)時間長短有關(guān)的把握為()A．0 B．95%C．99% D．都不正確【解析】計算出χ2與兩個臨界值比較，χ2＝eq\f(1000×39×494－6×4612,45×955×500×500)≈3＞.所以有99%的把握說生的學(xué)習(xí)成績與學(xué)習(xí)時間長短有關(guān)，故選C.【答案】C4．某衛(wèi)生機(jī)構(gòu)對366人進(jìn)行健康體檢，其中某項檢測指標(biāo)陽性家族史者糖尿病發(fā)病的有16人，不發(fā)病的有93人；陰性家族史者糖尿病發(fā)病的有17人，不發(fā)病的有240人，有________的把握認(rèn)為糖尿病患者與遺傳有關(guān)系．()【導(dǎo)學(xué)號：62690057】A．% B．%C．99% D．%【解析】可以先作出如下列聯(lián)表(單位：人)：糖尿病患者與遺傳列聯(lián)表糖尿病發(fā)病糖尿病不發(fā)病總計陽性家族史1693109陰性家族史17240257總計33333366根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到χ2＝eq\f(366×16×240－17×932,109×257×33×333)≈＞.故我們有%的把握認(rèn)為糖尿病患者與遺傳有關(guān)系．【答案】D5．假設(shè)有兩個分類變量X與Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列聯(lián)表為：y1y2總計x1aba＋bx2cdc＋d總計a＋cb＋da＋b＋c＋d以下各組數(shù)據(jù)中，對于同一樣本能說明x與y有關(guān)系的可能性最大的一組為()A．a(chǎn)＝5，b＝4，c＝3，d＝2B．a(chǎn)＝5，b＝3，c＝4，d＝2C．a(chǎn)＝2，b＝3，c＝4，d＝5D．a(chǎn)＝2，b＝3，c＝5，d＝4【解析】比較eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,a＋b)－\f(c,c＋d))).選項A中，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(5,9)－\f(3,5)))＝eq\f(2,45)；選項B中，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(5,8)－\f(4,6)))＝eq\f(1,24)；選項C中，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)－\f(4,9)))＝eq\f(2,45)；選項D中，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)－\f(5,9)))＝eq\f(7,45).故選D.【答案】D二、填空題6．調(diào)查者通過隨機(jī)詢問72名男女生喜歡文科還是理科，得到如下列聯(lián)表(單位：名)性別與喜歡文科還是理科列聯(lián)表喜歡文科喜歡理科總計男生82836女生201636總計284472生的性別和喜歡文科還是理科________關(guān)系．(填“有”或“沒有”)【解析】通過計算χ2＝eq\f(72×16×8－28×202,36×36×44×28)≈＞.故我們有%的把握認(rèn)為生的性別和喜歡文科還是理科有關(guān)系．【答案】有7．某高校“統(tǒng)計初步”課程的教師隨機(jī)調(diào)查了選該課的一些學(xué)生情況，具體數(shù)據(jù)如下表：專業(yè)性別非統(tǒng)計專業(yè)統(tǒng)計專業(yè)男1310女720為了判斷主修統(tǒng)計專業(yè)是否與性別有關(guān)系，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，得到χ2＝eq\f(50×13×20－10×72,23×27×20×30)≈，因為χ2≥，所以判定主修統(tǒng)計專業(yè)與性別有關(guān)系，那么這種判斷出錯的可能性為________．【解析】∵χ2＞，所以有95%的把握認(rèn)為主修統(tǒng)計專業(yè)與性別有關(guān)，出錯的可能性為5%.【答案】5%8．在吸煙與患肺病是否相關(guān)的判斷中，有下面的說法：①若統(tǒng)計量χ2>，則在犯錯誤的概率不超過的前提下，認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，那么在100個吸煙的人中必有99人患有肺??；②從獨立性檢驗可知在犯錯誤的概率不超過的前提下，認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時，若某人吸煙，則他有99%的可能患有肺??；③從獨立性檢驗可知在犯錯誤的概率不超過的前提下，認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時，是指有5%的可能性使得推斷錯誤．其中說法正確的是________．(填序號)【解析】統(tǒng)計量χ2是檢驗吸煙與患肺病相關(guān)程度的量，是相關(guān)關(guān)系，而不是確定關(guān)系，是反映有關(guān)和無關(guān)的概率，故說法①錯誤；說法②中對“確定容許推斷犯錯誤概率的上界”理解錯誤；說法③正確．【答案】③三、解答題9．在一次天氣惡劣的飛行航程中，調(diào)查了男女乘客在飛機(jī)上暈機(jī)的情況：男乘客暈機(jī)的有24人，不暈機(jī)的有31人；女乘客暈機(jī)的有8人，不暈機(jī)的有26人．請你根據(jù)所給數(shù)據(jù)判定：在天氣惡劣的飛行航程中，男乘客是否比女乘客更容易暈機(jī)？【解】根據(jù)題意，列出2×2列聯(lián)表如下：暈機(jī)不暈機(jī)總計男乘客243155女乘客82634總計325789由公式可得χ2＝eq\f(89×24×26－31×82,55×34×32×57)≈＞，故我們有90%的把握認(rèn)為“在天氣惡劣的飛行航程中，男乘客比女乘客更容易暈機(jī)”．10．(2023·鄭州模擬)有甲乙兩個班級進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計成績后，得到如下的列聯(lián)表.優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班10乙班30總計105已知在全部105人中隨機(jī)抽取1人為優(yōu)秀的概率為eq\f(2,7).(1)請完成上面的列聯(lián)表；(2)根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，若按95%的可靠性要求，能否認(rèn)為“成績與班級有關(guān)系”？(3)若按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學(xué)生中抽取一人：把甲班優(yōu)秀的10名學(xué)生從2到11進(jìn)行編號，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點數(shù)之和為被抽取人的序號．試求抽到6或10號的概率．參考公式：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)P(χ2≥x0)x0【解】(1)優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班104555乙班203050總計3075105(2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到χ2＝eq\f(105×10×30－20×452,55×50×30×75)≈＞，因此有95%的把握認(rèn)為“成績與班級有關(guān)系”．(3)設(shè)“抽到6或10號”為事件A，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點數(shù)為(x，y)．所有的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36個．事件A包含的基本事件有：(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，共8個，∴P(A)＝eq\f(8,36)＝eq\f(2,9).能力提升]1．碩士學(xué)位與博士學(xué)位的一個隨機(jī)樣本給出了關(guān)于所獲取學(xué)位類別與學(xué)生性別的分類數(shù)據(jù)如表所示：性別碩士博士總計男16227189女1438151總計30535340根據(jù)以上數(shù)據(jù)，則()A．性別與獲取學(xué)位類別有關(guān)B．性別與獲取學(xué)位類別無關(guān)C．性別決定獲取學(xué)位的類別D．以上都是錯誤的【解析】由列聯(lián)表可得χ2＝eq\f(340162×8－143×272,305×35×189×151)≈>，所以有99%的把握認(rèn)為性別與獲取學(xué)位的類別有關(guān)．【答案】A2．某班主任對全班50名學(xué)生進(jìn)行了作業(yè)量的調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表：認(rèn)為作業(yè)量大認(rèn)為作業(yè)量不大總計男生18927女生81523總計262450若推斷“學(xué)生的性別與認(rèn)為作業(yè)量大有關(guān)”，則這種推斷犯錯誤的概率不超過()A． B．C． D．【解析】χ2＝eq\f(50×18×15－8×92,26×24×27×23)≈＞，因為P(χ2＞＝，所以這種推斷犯錯誤的概率不超過.【答案】B3．某研究小組為了研究生的身體發(fā)育情況，在某隨機(jī)抽出20名15至16周歲的男生將他們的身高和體重制成2×2列聯(lián)表，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可以在犯錯誤的概率不超過________的前提下認(rèn)為該學(xué)校15至16周歲的男生的身高和體重之間有關(guān)系.超重不超重總計偏高415不偏高31215總計71320【解析】根據(jù)公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)得，χ2＝eq\f(20×4×12－1×32,5×15×7×13)≈，因為χ2>，因此在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為該學(xué)校15至16周歲的男生的身高和體重之間有關(guān)系．【答案】4．(2023·延安二檢)為了研究“教學(xué)方式”對教學(xué)質(zhì)量的影響，某高中數(shù)學(xué)老師分別用兩種不同的教學(xué)方式對入學(xué)數(shù)學(xué)平均分?jǐn)?shù)和優(yōu)秀率都相同的甲、乙兩個高一新班進(jìn)行教學(xué)(勤奮程度和自覺性都一樣)．以下莖葉圖3-2-1為甲、乙兩班(每班均為20人)學(xué)生的數(shù)學(xué)期末考試成績.圖3-2-1(1)現(xiàn)從甲班數(shù)學(xué)成績不低于80分的同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名同學(xué)，求成績?yōu)?7分的同學(xué)至少有一名被抽中的概率；(2)學(xué)校規(guī)定：成績不低于75分的為優(yōu)秀．請?zhí)顚懴旅娴?×2列聯(lián)表，并判斷有多大把握認(rèn)為“成績優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)”.甲班乙班總計優(yōu)秀不優(yōu)秀總計下面臨界表有僅供參考：P(χ2≥x0)x0(參考公式：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d))【解】(1)記成績?yōu)?7分的同學(xué)為A，B，其他不低于80分的同學(xué)為C，D，E，“從甲班數(shù)學(xué)成績不低于80分的同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名同學(xué)”的一切可能結(jié)果組成的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，