第二章 復(fù)變函數(shù)積分

一億美元的太空照片這次只批改1班的同學(xué)，2班同學(xué)的作業(yè)只寫“查”、“閱”。第二次反過來。依次類推。請(qǐng)?jiān)谧鳂I(yè)本上務(wù)必寫上班級(jí)、學(xué)號(hào)！未交作業(yè)的同學(xué)學(xué)號(hào)：物理學(xué)1班為5、6、40物理學(xué)2班為9、11、45

復(fù)變函數(shù)積分理論是復(fù)變函數(shù)的核心內(nèi)容，關(guān)于復(fù)變函數(shù)的許多結(jié)論都是通過積分來討論的，更重要的是我們要討論解析函數(shù)積分的性質(zhì)，并給出解析函數(shù)積分的基本定理與基本公式，這些性質(zhì)是解析函數(shù)理論的基礎(chǔ)，我們還將得到解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)這個(gè)重要的結(jié)論。解析函數(shù)?路積分路積分的概念和性質(zhì)實(shí)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)定義性質(zhì)記住記住??提問路積分路積分的計(jì)算思路化復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)公式I∫Cf(z)dz=∫C(u+iv)(dx+idy)=∫C(udx-vdy)+i∫C(udy+vdx)公式II∫Cf(z)dz=∫C(u+iv)(eiφdr+ireiφdφ)=∫Ceiφ[(udr-vrdφ)+i(urdφ+vdr)]典型應(yīng)用實(shí)例例3.2.2（非閉合環(huán)路積分中的換元積分法）

計(jì)算積分

【解法1】在整個(gè)復(fù)平面上解析，且運(yùn)用復(fù)積分的牛頓－萊布尼茲公式有【解法2】換元積分法令，則當(dāng)，有；當(dāng)，有

所以

例3.2.4計(jì)算積分因而積分與路徑無關(guān)，可用分部積分法得【解】由于

在復(fù)平面內(nèi)處處解析，附：希臘字母讀音表及意義

大寫小寫英文讀音國際音標(biāo)意義Ααalpha/'alfa/角度，系數(shù)Ββbeta/'beit?/磁通系數(shù)，角度，系數(shù)Γγgamma/'g?m?/電導(dǎo)系數(shù)，角度Δδdelta/'delt?/變動(dòng)，密度，屈光度Εεepsilon/ep'silon/對(duì)數(shù)之基數(shù)Ζζzeta/'zi:t?/系數(shù)，方位角，阻抗，相對(duì)粘度Ηηeta/'i:t?/遲滯系數(shù)，效率Θθtheta/'θi:t?/溫度，角度Ιι?iota/ai'oute/微小，一點(diǎn)Κκkappa/k?p?/介質(zhì)常數(shù)∧λlambda/'l?md?/波長，體積Μμmu/mju:/磁導(dǎo)系數(shù)，微，動(dòng)摩擦系數(shù)，流體粘度Ννnu/nju:/磁阻系數(shù)Ξξxi/ksai/隨機(jī)數(shù)，（?。﹨^(qū)間內(nèi)的一個(gè)未知特定值Οοomicron/oumaik'r?n/高階無窮小函數(shù)例計(jì)算，其中C為從原點(diǎn)到點(diǎn)3+4i的直線段．

【解】直線的方程可寫成或于是又因由高等數(shù)學(xué)理論，其復(fù)積分的實(shí)部、虛部滿足實(shí)積分與路徑無關(guān)的條件，所以的值不論是怎樣的曲線都等于，這說明有些函數(shù)的積分值與積分路徑無關(guān)．計(jì)算作業(yè)（必做）積分路徑是直線段計(jì)算積分路徑是直線段精美圖苑：吳哥(柬埔寨古都)

記住單連通區(qū)域與多連通區(qū)域設(shè)B為復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域，如果在其中作一條簡單的閉曲線（自身不相交的閉合曲線），而曲線內(nèi)部總屬于B，則稱B為單連通區(qū)域，否則稱為多連通區(qū)域。BB單連通域多連通域記住這個(gè)定理是柯西(Cauchy)于1825年發(fā)表的，古莎(Goursat)于1900年提出了修改，故又稱為柯西－古莎定理.舉例記住舉例記住填“順時(shí)針方向”，“逆時(shí)針方向”記住

據(jù)此規(guī)定，故有界單連通區(qū)域積分的邊界線沿為正方向。而對(duì)于有界復(fù)連通區(qū)域，外邊界取為邊界線的正方向，內(nèi)邊界取為正方向．（注意：對(duì)于無界區(qū)域則相反，內(nèi)邊界取為邊界線的正方向）舉例記住

據(jù)此規(guī)定，故有界單連通區(qū)域積分的邊界線沿逆時(shí)針方向?yàn)檎较颍鴮?duì)于有界復(fù)連通區(qū)域，外邊界取逆時(shí)針為邊界線的正方向，內(nèi)邊界取順時(shí)針方向?yàn)檎较颍ㄗ⒁猓簩?duì)于無界區(qū)域則相反，內(nèi)邊界取順時(shí)針方向?yàn)檫吔缇€的正方向）。xyORxyORxyROr1xyR-ROxOyxOy21舉例指出記住記住123舉例可直接用如下公式：是圓周務(wù)必記住計(jì)算作業(yè)（必做）是圓周計(jì)算可直接用如下公式：務(wù)必記住0xy2-22-21-1是圓周計(jì)算精美圖苑：巴西里約熱內(nèi)盧救世主耶穌雕像

記住記住復(fù)積分的牛頓－萊布尼茲公式務(wù)必記住世界科技發(fā)展史10萬年前火的使用、石制工具3萬年前關(guān)于來世、生育等思想1萬年前栽種谷物、動(dòng)物馴養(yǎng)、陶器出現(xiàn)5000年前金字塔和廟宇、史前巨石陣4000年前中國早期的天文學(xué)，金屬加工，印度數(shù)學(xué)開端3000年前埃及歷法約2000年前后托勒密的天文學(xué)和地學(xué)希臘數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯（公元前572--公元前497年）、柏拉圖(公元前427年--前347年）和亞里士多德（公元前384

--公元前322）和希臘數(shù)學(xué)家如歐幾里得（公元前325--公元前265）記住記住記住提問記住應(yīng)用舉例柯西公式應(yīng)用舉例例1問題：計(jì)算回路積分分析：與柯西公式比較，可知f(z)=cosh(z),a=-1解：由柯西公式柯西公式例2問題：計(jì)算回路積分分析：與柯西公式比較，可知f(z)=，a=例3問題：計(jì)算回路積分分析：記住或記住記住例例問題：計(jì)算回路積分分析：與推廣的柯西公式比較，可知f(z)=sinh(z)，a=0，n=1解：由推廣的柯西公式作業(yè)（必做）作業(yè)（選做）第31頁1、計(jì)算2