高中數(shù)學北師大版第一章三角函數(shù) 全國一等獎

9函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖像習題課時間：45分鐘滿分：80分班級________姓名________分數(shù)________一、選擇題：(每小題5分，共5×6＝30分)1．已知函數(shù)f(x)＝sinπx的圖像的一部分如圖(1)，則圖(2)的函數(shù)圖像所對應(yīng)的函數(shù)解析式可以為()(1)(2)A．y＝f(2x－eq\f(1,2))B．y＝f(2x－1)C．y＝f(eq\f(x,2)－1)D．y＝f(eq\f(x,2)－eq\f(1,2))答案：B解析：因為圖(2)中的圖像可以看作是圖(1)中的圖像先向右平移一個單位，再把所得圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的二分之一倍而得到，所以圖(2)所對應(yīng)的函數(shù)解析式應(yīng)是y＝f(2x－1)．故選B.2．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)在x＝1處取得最大值，則()A．函數(shù)f(x－1)一定是奇函數(shù)B．函數(shù)f(x－1)一定是偶函數(shù)C．函數(shù)f(x＋1)一定是奇函數(shù)D．函數(shù)f(x＋1)一定是偶函數(shù)答案：D解析：因為函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在x＝1處取得最大值，則說明sin(ω＋φ)＝±1，解得ω＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，因此函數(shù)利用誘導(dǎo)公式，f(x＋1)必然是偶函數(shù)，選D.3．設(shè)ω>0，函數(shù)y＝sin(ωx＋eq\f(π,3))＋2的圖像向右平移eq\f(4π,3)個單位后與原圖像重合，則ω的最小值是()\f(2,3)\f(4,3)\f(3,2)D．3答案：C解析：因為ω>0，函數(shù)y＝sin(ωx＋eq\f(π,3))＋2的圖像向右平移eq\f(4π,3)個單位后與原圖像重合，說明至少平移一個周期，或者是周期的整倍數(shù)，因此eq\f(4π,3)＝nT＝n·eq\f(2π,ω)∴當n＝1，ω＝eq\f(3,2).4．函數(shù)f(x)＝3sin(3x＋φ)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，且f(a)＝－2,f(b)＝2，則g(x)＝2cos(2x＋φ)在[a，b]上()A．是增函數(shù)B．是減函數(shù)C．可以取得最大值D．可以取得最小值答案：C解析：由f(x)在[a，b]上為增函數(shù)及f(a)＝－2,f(b)＝2知，g(x)在[a，b]上先增后減，可以取到最大值．5．已知a是實數(shù)，則函數(shù)f(x)＝1＋asinax的圖像不可能是()答案：D解析：當a＝0時，f(x)＝1，選項C符合；當0<|a|<1時，T>2π，且f(x)的最小值為正數(shù)，選項A符合；當|a|>1時，T<2π，且f(x)的最小值為負數(shù)，選項B符合；在選項D中，由振幅得|a|>1，則T<2π，而由圖像知T>2π矛盾，故選D.6．已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，－π<φ≤π.若f(x)的最小正周期為6π，且當x＝eq\f(π,2)時，f(x)取得最大值，則()A．f(x)在區(qū)間[－2π，0]上是增函數(shù)B．f(x)在區(qū)間[－3π，－π]上是增函數(shù)C．f(x)在區(qū)間[3π，5π]上是減函數(shù)D．f(x)在區(qū)間[4π，6π]上是減函數(shù)答案：A解析：由T＝6π，得ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(1,3).當x＝eq\f(π,2)時，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)×\f(π,2)＋φ))＝1，即eq\f(π,6)＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，可得φ＝eq\f(π,3)＋2kπ，k∈Z.而－π<φ≤π，可得φ＝eq\f(π,3).故f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x＋\f(π,3)))，結(jié)合其圖像可知選A.二、填空題：(每小題5分，共5×3＝15分)7．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分圖像如圖所示，則ω＝________.答案：eq\f(3,2)解析：由圖，知eq\f(T,4)＝eq\f(2π,3)－eq\f(π,3)＝eq\f(π,3)，∴T＝eq\f(4π,3).又T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(4π,3)，∴ω＝eq\f(3,2).8．已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))的圖像向左平移eq\f(π,6)個單位長度后與函數(shù)g(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))的圖像重合，則正數(shù)ω的最小值為________．答案：eq\f(23,2)解析：函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))的圖像向左平移eq\f(π,6)個單位長度后，得到的圖像所對應(yīng)的函數(shù)是y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)ω＋\f(π,4)))，其圖像與函數(shù)g(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))的圖像重合，∴eq\f(π,6)ω＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,6)＋2kπ，k∈Z.又ω>0，∴當k＝1時，ω取得最小值為eq\f(23,2).9．關(guān)于f(x)＝3sin(2x＋eq\f(π,4))有以下命題：①若f(x1)＝f(x2)＝0，則x1－x2＝kπ(k∈Z);②f(x)圖像與g(x)＝3cos(2x－eq\f(π,4))圖像相同；③f(x)在區(qū)間[－eq\f(7π,8)，－eq\f(3π,8)]上是減函數(shù)；④f(x)圖像關(guān)于點(－eq\f(π,8)，0)對稱．其中正確的命題是________．答案：①②解析：feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)))＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,6)－\f(π,3)))＝3sineq\f(3π,2)＝－3，∴①正確；由－eq\f(π,12)<x<eq\f(5π,12)?－eq\f(π,2)<2x－eq\f(π,3)<eq\f(π,2)，函數(shù)y＝3sinx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上單調(diào)遞增，知函數(shù)f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(5π,12)))上單調(diào)遞增，②正確；因為f(x)＝3sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))，∴把y＝3sin2x的圖像向右平移eq\f(π,6)個單位長度得到函數(shù)f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的圖像，③不正確．三、解答題：(共35分，11＋12＋12)10．已知函數(shù)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋φ－\f(π,6)))＋1(0<φ<π，ω>0)為偶函數(shù)，且函數(shù)f(x)的圖像的兩相鄰對稱軸間的距離為eq\f(π,2).(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)))的值；(2)將函數(shù)f(x)的圖像向右平移eq\f(π,6)個單位長度后，再將得到的圖像上各點的橫坐標伸長為原來的4倍，縱坐標不變，得到函數(shù)g(x)的圖像，求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間．解：(1)∵f(x)為偶函數(shù)，∴φ－eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，∴φ＝kπ＋eq\f(2π,3)(k∈Z)．又0<φ<π，∴φ＝eq\f(2π,3)，∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,2)))＋1＝2cosωx＋1.又函數(shù)f(x)的圖像的兩相鄰對稱軸間的距離為eq\f(π,2)，∴T＝eq\f(2π,ω)＝2×eq\f(π,2)，∴ω＝2，∴f(x)＝2cos2x＋1，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,8)))＋1＝eq\r(2)＋1.(2)將f(x)的圖像向右平移eq\f(π,6)個單位長度后，得到函數(shù)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))的圖像，再將所得圖像上各點的橫坐標伸長為原來的4倍，縱坐標不變，得到feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)－\f(π,6)))的圖像，所以g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)－\f(π,6)))＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)－\f(π,6)))＋1＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,3)))＋1.而2kπ≤eq\f(x,2)－eq\f(π,3)≤2kπ＋π(k∈Z)，即4kπ＋eq\f(2π,3)≤x≤4kπ＋eq\f(8π,3)(k∈Z)時，g(x)單調(diào)遞減．∴函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4kπ＋\f(2π,3)，4kπ＋\f(8π,3)))(k∈Z)．11．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))在一個周期內(nèi)的圖像如圖所示．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)設(shè)0<x<π，且方程f(x)＝m有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍以及這兩個根的和．解：(1)觀察圖像，得A＝2，T＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)－\f(π,6)))÷eq\f(3,4)＝π.∴ω＝eq\f(2π,T)＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)．∵函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，2))，∴2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,6)＋φ))＝2，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋φ))＝1.又|φ|<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,6)，∴函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).(2)∵0<x<π，∴方程f(x)＝m的根的情況，相當于f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的圖像與g(x)＝m的圖像的交點個數(shù)情況.又0<x<π，∴在同一坐標系中畫出f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))(0<x<π)和g(x)＝m(m∈R)的圖像(如圖所示)．由圖，可知當－2<m<1或1<m<2時，直線g(x)＝m與曲線f(x)有兩個不同的交點，即方程f(x)＝m有兩個不同的實數(shù)根，∴m的取值范圍為(－2,1)∪(1,2)．當－2<m<1時，此時兩交點關(guān)于直線x＝eq\f(2π,3)對稱，兩根和為eq\f(4,3)π；當1<m<2時，此時兩交點關(guān)于直線x＝eq\f(π,6)對稱，兩根和為eq\f(π,3).12．已知f(x)＝sin2(2x－eq\f(π,4))－2t·sin(2x－eq\f(π,4))＋t2－6t＋1(x∈[eq\f(π,24)，eq\f(π,2)])，其最小值為g(t)．(1)求g(t)的表達式．(2)當－eq\f(1,2)≤t≤1時，要使關(guān)于t的方程g(t)＝kt有一個實根，求實數(shù)k的取值范圍．解：(1)因為x∈[eq\f(π,24)，eq\f(π,2)]，可得sin(2x－eq\f(π,4))∈[－eq\f(1,2)，1]．f(x)＝[sin(2x－eq\f(π,4))－t]2－6t＋1(x∈[eq\f(π,24)，eq\f(π,2)])．當t<－eq\f(1,2)時，則當sinx＝－eq\f(1,2)時，f(x)min＝t2－5t＋eq\f(5,4)；當－eq\f(1,2)≤t≤1時，則當sinx＝t時，f(x)min＝－6t＋1；當t＞1時，則當sinx＝1時，f(x)min＝t2－8t＋2；故g(t)＝eq