2021-2022學(xué)年廣東省陽(yáng)江市春灣中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

2021-2022學(xué)年廣東省陽(yáng)江市春灣中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)P1，P2分別是線段AB，BD1(不包括端點(diǎn))上的動(dòng)點(diǎn)，且線段P1P2平行于平面A1ADD1，則四面體P1P2AB1的體積的最大值是()A.

B.

C.

D.參考答案：A略2.已知函數(shù)則當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間(－1,1]內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A.0 B.1 C.2 D.3參考答案：C【分析】利用轉(zhuǎn)化思想將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)在區(qū)間內(nèi)與過(guò)定點(diǎn)的直線的函數(shù)圖象的交點(diǎn)，進(jìn)而作圖分析由數(shù)形結(jié)合思想即可得答案.【詳解】函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)，可等價(jià)于方程的根，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)在區(qū)間內(nèi)與過(guò)定點(diǎn)的直線的函數(shù)圖象的交點(diǎn)，作出分段函數(shù)的在區(qū)間內(nèi)圖象，因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)且斜率，則直線必然與線段OB相交于一點(diǎn)，故交點(diǎn)個(gè)數(shù)有2個(gè)，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查利用轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，屬于較難題.3.設(shè)全集U=R，，那么如圖中陰影部分表示的集合為（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】由題，知陰影部分表示的為，算出集合M、N表示的范圍，根據(jù)集合的交集與補(bǔ)集的運(yùn)算，即可得到本題答案.【詳解】由題，知陰影部分表示的為，由，得，，由，得，，所以，，那么如圖中陰影部分表示的集合為.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集與補(bǔ)集的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.4.已知F1、F2是橢圓+=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2且垂直于x軸的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，若△ABF1是銳角三角形，則該橢圓離心率e的取值范圍是（）A．e＞﹣1 B．0＜e＜﹣1 C．﹣1＜e＜1 D．﹣1＜e＜+1參考答案：C【考點(diǎn)】K4：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由題意解出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，從而求出＜1，從而求出該橢圓離心率．【解答】解：由題意，+=1，從而可得，y=；故A（c，），B（c，﹣）；故由△ABF1是銳角三角形知，＜1；故＜1；即e2+2e﹣1＞0；故﹣1＜e＜1；故選C．5.函數(shù)的定義域?yàn)?---------------------（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D6.已知P，Q為圓：上的任意兩點(diǎn)，且，若線段PQ的中點(diǎn)組成的區(qū)域?yàn)镸，在圓O內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在區(qū)域M內(nèi)的概率為A.

B.

C.

D.參考答案：設(shè)為弦的中點(diǎn)，如圖所示，由，知，所以中點(diǎn)組成的區(qū)域?yàn)槭怯蓤A與圓組成的圓環(huán)，所以在內(nèi)部任取一點(diǎn)落在內(nèi)的概率為，故選．7.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)（）A．有極大值，沒(méi)有極大值

B．沒(méi)有極大值，沒(méi)有最大值

C.有極大值，有最大值

D．沒(méi)有極大值，有最大值參考答案：A由題意，函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)先增后減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)先減后增，所以函數(shù)有極大值，沒(méi)有最大值，故選A.

8.已知點(diǎn)M（），若的最小值為3，則的值為（

）A、－4B、4C、－3D、3參考答案：D略9.設(shè)是非零向量，則“存在實(shí)數(shù)，使得”是“”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：B【分析】由題意結(jié)合向量共線的性質(zhì)分類討論充分性和必要性是否成立即可.【詳解】存在實(shí)數(shù)，使得，說(shuō)明向量共線，當(dāng)同向時(shí)，成立，當(dāng)反向時(shí)，不成立，所以，充分性不成立.當(dāng)成立時(shí)，有同向，存在實(shí)數(shù)，使得成立，必要性成立，即“存在實(shí)數(shù)，使得”是“”的必要而不充分條件.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量共線的充分條件與必要條件，向量的運(yùn)算法則等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.10.李冶（1192﹣1279），真定欒城（今屬河北石家莊市）人，金元時(shí)期的數(shù)學(xué)家、詩(shī)人、晚年在封龍山隱居講學(xué)，數(shù)學(xué)著作多部，其中《益古演段》主要研究平面圖形問(wèn)題：求圓的直徑，正方形的邊長(zhǎng)等，其中一問(wèn)：現(xiàn)有正方形方田一塊，內(nèi)部有一個(gè)圓形水池，其中水池的邊緣與方田四邊之間的面積為13.75畝，若方田的四邊到水池的最近距離均為二十步，則圓池直徑和方田的邊長(zhǎng)分別是（注：240平方步為1畝，圓周率按3近似計(jì)算）（）A．10步、50步 B．20步、60步 C．30步、70步 D．40步、80步參考答案：B【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算．【分析】根據(jù)水池的邊緣與方田四邊之間的面積為13.75畝，即方田面積減去水池面積為13.75畝，方田的四邊到水池的最近距離均為二十步，設(shè)圓池直徑為m，方田邊長(zhǎng)為40步+m．從而建立關(guān)系求解即可．【解答】解：由題意，設(shè)圓池直徑為m，方田邊長(zhǎng)為40步+m．方田面積減去水池面積為13.75畝，∴（40+m）2﹣=13.75×240．解得：m=20．即圓池直徑20步那么：方田邊長(zhǎng)為40步+20步=60步．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)題意的理解和關(guān)系式的建立．讀懂題意是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.對(duì)于，有如下四個(gè)命題:

①若，則為等腰三角形;②若，則不一定是直角三角形;③若，則是鈍角三角形;④若，則是等邊三角形。其中正確的命題是_____參考答案：②④12.已知△ABC的三邊分別為a，b，c，所對(duì)的角分別為A，B，C，且滿足，且△ABC的外接圓的面積為3π，則f(x)=cos2x+4(a+c)sinx+1的最大值的取值范圍為_(kāi)_________．參考答案：(12,24]由的三邊分別為，，可得：，可知：，，，可知可知當(dāng)時(shí)，則的最大值的取值范圍為(12,24]點(diǎn)睛：本題主要考查了三角函數(shù)與解三角形綜合題目，需要學(xué)生有一定計(jì)算能力，并能熟練運(yùn)用公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值，在解答此類題目時(shí)往往將邊的范圍轉(zhuǎn)化為求角的范圍問(wèn)題，利用輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，本題還是有一定難度．13.已知雙曲線的離心率為2，且兩條漸近線與拋物線y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則拋物線的方程為．參考答案：y2=4x【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】求出拋物線的準(zhǔn)線方程和雙曲線的漸近線方程，運(yùn)用代入法，求得AB，再由三角形的面積公式，結(jié)合離心率公式和a，b，c的關(guān)系，化簡(jiǎn)整理，解方程可得p，進(jìn)而得到雙曲線方程．【解答】解：拋物線y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線為x=﹣，雙曲線的漸近線方程為y=±x，把x=﹣代入y=±x，解得y=±．∴|AB|=，∵△AOB的面積為，∴??=，由e===2，解得=．∴=1，解得p=2．∴該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=4x．故答案為：y2=4x．14.若（1﹣3x）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015，則++…+的值為

．參考答案：﹣1考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．專題：二項(xiàng)式定理．分析：分別在已知的二項(xiàng)式中取x=0和，得到a0=1，，則答案可求．解答： 由（1﹣3x）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015，取x=0，得a0=1，再取x=，得，∴．故答案為：﹣1．點(diǎn)評(píng)：本題考查了二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是在已知的二項(xiàng)式中對(duì)x值的選取，是基礎(chǔ)題．15.下列說(shuō)法：

①“”的否定是“”；

②函數(shù)的最小正周期是

③命題“函數(shù)處有極值，則”的否命題是真命題；

④上的奇函數(shù)，時(shí)的解析式是，則時(shí)的解析式為其中正確的說(shuō)法是

。參考答案：略16.展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為

．參考答案：略17.已知向量，滿足，，，則

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（13分）已知函數(shù)f（x）=x2+alnx的圖象在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線斜率為10（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；（Ⅱ）判斷方程f（x）=2x根的個(gè)數(shù)，證明你的結(jié)論．參考答案：【考點(diǎn)】：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【專題】：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】：（Ⅰ）由求導(dǎo)公式和法則求出f′（x），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和條件求出a的值；（Ⅱ）由條件設(shè)g（x）=f（x）﹣2x，化簡(jiǎn)后求出函數(shù)g（x）的定義域，求出g′（x）后利用基本不等式判斷出g′（x）＞0，再判斷出g（x）的單調(diào)性，根據(jù)g（1）和g（e）的符號(hào)，判斷出函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即可得到方程f（x）=2x根的個(gè)數(shù)．解：（Ⅰ）由題意得，f（x）=x2+alnx，則，因?yàn)樵邳c(diǎn)P（1，f（1））處的切線斜率為10，所以f′（1）=2+a=10，解得a=8；（Ⅱ）方程f（x）=2x有一個(gè)實(shí)數(shù)根，由（Ⅰ）得，f（x）=x2+8lnx，設(shè)g（x）=f（x）﹣2x=x2+8lnx﹣2x，且定義域是（0，+∞），則≥2=6＞0，所以函數(shù)g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，因?yàn)間（1）=1﹣2=﹣1＜0，g（e）=e2﹣2e+8＞0，所以函數(shù)g（x）在（0，+∞）上有一個(gè)零點(diǎn)，即方程f（x）=2x有一個(gè)實(shí)數(shù)根．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查求導(dǎo)公式和法則，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系，以及方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的相互轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．19.（本小題滿分14分）在中，滿足的夾角為

，M是AB的中點(diǎn)（1）若，求向量的夾角的余弦值（2）若，在AC上確定一點(diǎn)D的位置,使得達(dá)到最小，并求出最小值參考答案：略20.在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線為到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等的動(dòng)點(diǎn)的軌跡，曲線是由曲線繞坐標(biāo)原點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的．（1）求曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，以及曲線的方程；（2）過(guò)定點(diǎn)的直線交曲線于、兩點(diǎn)，已知曲線上存在不同的兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱．問(wèn)：弦長(zhǎng)是否存在最大值？若存在，求其最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：解：（1）設(shè)，由題意，可知曲線為拋物線，并且有，化簡(jiǎn)，得拋物線的方程為：．令，得或，令，得或，所以，曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為和，．

（3分）由題意可知，曲線為拋物線，過(guò)焦點(diǎn)與準(zhǔn)線垂直的直線過(guò)原點(diǎn)，點(diǎn)到的距離為．

（2分）所以是以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為：．

（3分）（2）設(shè)，，由題意知直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，

（1分）則得，所以

①

（2分），設(shè)弦的中點(diǎn)為，則

因?yàn)樵谥本€上，所以，即

②

將②代入①，得，

（4分）設(shè)，則．

（1分）構(gòu)造函數(shù)，．由已知，當(dāng)，即時(shí)，無(wú)最大值，所以弦長(zhǎng)不存在最大值．

（1分）當(dāng)時(shí)，有最大值，即弦長(zhǎng)有最大值

（1分）

略21.設(shè)計(jì)算法求的值．要求畫出程序框圖，寫出用基本語(yǔ)句編寫的程序．參考答案：解析：這是一個(gè)累加求和問(wèn)題，共99項(xiàng)相加，可設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)數(shù)變量，一個(gè)累加變量，用循環(huán)結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)這一算法．程序框圖如下圖所示

22.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G為線段PC上的點(diǎn)，（1）證明：BD⊥平面PAC（2）若G是PC的中點(diǎn)，求DG與平面APC所成的角的正切值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；直線與平面垂直的判定．【分析】（1）推導(dǎo)出PA⊥BD，BD⊥AC，由此能證明BD⊥平面PAC．（2）由PA⊥平面ABCD，得GO⊥面ABCD，∠DGO為DG與平面PAC所成的角，由此能求出DG與平面APC所成的角的正切值．【解答】證明：（1）∵在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，∵AB=BC=2，AD=CD=，