浙教版2023年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第5章分式5.5第1課時(shí)分式方程及其解法練習(xí)(含答案)

5.5分式方程第1課時(shí)分式方程及其解法知識(shí)點(diǎn)1分式方程的定義只含分式，或分式和整式，并且分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．1．下列方程中，哪些是整式方程？哪些是分式方程？(1)eq\f(x－4,0.2)－eq\f(x＋3,0.5)＝1.6；(2)2－eq\f(6－x,2)＝2x；(3)eq\f(8,x2－1)＋1＝eq\f(x＋8,x－1)；(4)x＋3＋eq\f(1,x＋1)＝4＋eq\f(1,x－1).知識(shí)點(diǎn)2解分式方程解分式方程的步驟：(1)分式方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程；(2)解這個(gè)整式方程，得出未知數(shù)的值；(3)檢驗(yàn)所得到的值是不是原分式方程的根；(4)寫(xiě)出答案．使分式方程的分母為零的根是增根，增根使分式方程無(wú)意義，應(yīng)該舍去．[注意]檢驗(yàn)是解分式方程的一個(gè)十分重要的步驟，切不可省略．2．解分式方程eq\f(2,x－3)＝eq\f(3,x)的步驟：(1)去分母，方程兩邊同乘________，得整式方程____________；(2)解這個(gè)整式方程，得x＝________；(3)檢驗(yàn)：把x＝________代入最簡(jiǎn)公分母x(x－3)，得x(x－3)________(填“＝0”或“≠0”)，所以x＝________是原分式方程的解．探究一解分式方程[教材例2變式題]解下列方程：(1)eq\f(2,x)＝eq\f(3,x＋1)；(2)eq\f(x,3x－1)＝2－eq\f(1,1－3x)；(3)eq\f(x,x－1)－eq\f(2,x2－1)＝1.[歸納總結(jié)]解分式方程時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：①不要忘記驗(yàn)根；②去分母時(shí)不要漏乘整式項(xiàng)；③當(dāng)分式的分子是多項(xiàng)式時(shí)，去分母后不要忘記添括號(hào)．探究二利用分式方程的增根求字母系數(shù)的值[教材例題補(bǔ)充題]若關(guān)于x的分式方程eq\f(2,x－3)＋eq\f(x＋m,3－x)＝2有增根，則m的值是()A．m＝－1B．m＝0C．m＝3D．m＝0或m＝3[歸納總結(jié)]利用分式方程的增根求待定字母的值，可按如下步驟進(jìn)行：(1)先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程；(2)令最簡(jiǎn)公分母為0確定增根；(3)將增根代入所得的整式方程，求出待定字母的值．探究三利用分式方程根的取值范圍確定字母系數(shù)的取值范圍[教材例題補(bǔ)充題][2023·荊州]若關(guān)于x的分式方程eq\f(m－1,x－1)＝2的解為非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是()A．m>－1B．m≥1C．m>－1且m≠1D．m≥－1且m≠1[歸納總結(jié)]確定根的取值范圍時(shí)，要去掉使分式方程產(chǎn)生增根的情況．[反思]下面是小馬虎同學(xué)解分式方程的步驟，你認(rèn)為他的解法正確嗎？如果不正確，請(qǐng)指出錯(cuò)在哪里，然后寫(xiě)出正確答案．解方程：eq\f(2x,2x－1)＝1－eq\f(2,x＋2).解：原方程可化為eq\f(2x,2x－1)＝eq\f(x＋2,x＋2)－eq\f(2,x＋2)，即eq\f(2x,2x－1)＝eq\f(x,x＋2).方程兩邊約去x，得eq\f(2,2x－1)＝eq\f(1,x＋2).去分母，得2x＋4＝2x－1.所以此方程無(wú)解．一、選擇題1．在方程eq\f(x＋5,3)＝7，－eq\f(3,x)＝2，eq\f(x＋1,2)－eq\f(x－1,3)＝4，eq\f(3x－9,x)＝1中，分式方程有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)2．把分式方程eq\f(2,x＋4)＝eq\f(1,x)轉(zhuǎn)化為一元一次方程時(shí)，方程兩邊需同乘()A．xB．2xC．x＋4D．x(x＋4)3．2023·濟(jì)寧解分式方程eq\f(2,x－1)＋eq\f(x＋2,1－x)＝3時(shí)，去分母后正確的為()A．2＋(x＋2)＝3(x－1)B．2－x＋2＝3(x－1)C．2－(x＋2)＝3D．2－(x＋2)＝3(x－1)4．若x＝3是關(guān)于x的分式方程eq\f(a－2,x)－eq\f(1,x－2)＝0的根，則a的值是()A．5B．－5C．3D．－35．[2023·常德]分式方程eq\f(2,x－2)＋eq\f(3x,2－x)＝1的解為()A．x＝1B．x＝2C．x＝eq\f(1,3)D．x＝06．分式方程eq\f(1,x－1)－eq\f(2,x＋1)＝eq\f(4,x2－1)的解是()A．x＝0B．x＝－1C．x＝±1D．無(wú)解7．下列分式方程中，有解的是()A.eq\f(x＋1,x2－1)＝0B.eq\f(x2＋1,x－1)＝0C.eq\f(x＋1,x－1)＝1D.eq\f(（x－1）2,x－1)＝18．對(duì)于非零的兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，規(guī)定ab＝eq\f(1,b)－eq\f(1,a).若1(x＋1)＝1，則x的值為()A.eq\f(3,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)二、填空題9．解分式方程eq\f(1,x－1)－eq\f(1,x＋1)＝eq\f(1,x2－1)去分母時(shí)，兩邊都乘______________．10．2023·湖州方程eq\f(2x－1,x－3)＝1的根是x＝________．11．若關(guān)于x的分式方程eq\f(2（x－a）,a（x－1）)＝－eq\f(2,5)的解為x＝3，則a的值為_(kāi)_______．12．已知關(guān)于x的方程eq\f(a,x＋1)－eq\f(3,x2－1)＝1有增根，則a的值等于________．三、解答題13．解分式方程：(1)2023·連云港解方程：eq\f(2,x)－eq\f(1,1＋x)＝0；(2)2023·紹興解分式方程：eq\f(x,x－1)＋eq\f(2,1－x)＝4.14．是否存在實(shí)數(shù)x，使得代數(shù)式eq\f(x－2,x＋2)－eq\f(16,x2－4)的值與代數(shù)式1＋eq\f(4,x－2)的值相等？15．若關(guān)于x的分式方程eq\f(ax,a＋1)－eq\f(2,x－1)＝1的解與方程eq\f(x＋4,x)＝3的解相同，求a的值．16．當(dāng)k取何值時(shí)，關(guān)于x的分式方程eq\f(6,x－1)＝eq\f(x＋k,x（x－1）)－eq\f(3,x)有解？17．若關(guān)于x的分式方程eq\f(x－m,x－1)－eq\f(3,x)＝1無(wú)解，求m的值．1．[規(guī)律探索題]已知：eq\f(1,1×2)＝1－eq\f(1,2)，eq\f(1,2×3)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)，eq\f(1,3×4)＝eq\f(1,3)－eq\f(1,4)，…(1)根據(jù)這個(gè)規(guī)律寫(xiě)出第n個(gè)式子是________________________________________________________________________；(2)利用這個(gè)規(guī)律解方程：eq\f(1,x（x＋1）)＋eq\f(1,（x＋1）（x＋2）)＋…＋eq\f(1,（x＋9）（x＋10）)＝eq\f(1,x＋10).2.閱讀下面一段話：關(guān)于x的分式方程x＋eq\f(1,x)＝c＋eq\f(1,c)的解是x＝c或x＝eq\f(1,c)；關(guān)于x的分式方程x＋eq\f(2,x)＝c＋eq\f(2,c)的解是x＝c或x＝eq\f(2,c)；關(guān)于x的分式方程x＋eq\f(3,x)＝c＋eq\f(3,c)的解是x＝c或x＝eq\f(3,c)；…(1)寫(xiě)出方程x＋eq\f(1,x)＝eq\f(5,2)的解：________；(2)猜想關(guān)于x的分式方程x＋eq\f(m,x)＝c＋eq\f(m,c)(m≠0)的解，并將所得解代入方程檢驗(yàn)．詳解詳析教材的地位和作用本節(jié)是在學(xué)生認(rèn)識(shí)和學(xué)習(xí)了分式及其基本運(yùn)算的基礎(chǔ)上介紹分式方程的解法，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律．通過(guò)對(duì)本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，能讓學(xué)生體驗(yàn)轉(zhuǎn)化這一重要的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)，本節(jié)課的學(xué)習(xí)將為下一節(jié)課的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能1.了解分式方程的概念和增根的概念；2.掌握分式方程的解法，會(huì)解可化為一元一次方程的分式方程，會(huì)對(duì)分式方程進(jìn)行根的檢驗(yàn)過(guò)程與方法通過(guò)分式方程的求解過(guò)程，初步體會(huì)數(shù)學(xué)研究中的轉(zhuǎn)化思想情感、態(tài)度與價(jià)值觀在活動(dòng)中培養(yǎng)學(xué)生樂(lè)于探究、合作學(xué)習(xí)的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生努力尋找解決問(wèn)題的進(jìn)取心，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)解可化為一元一次方程的分式方程難點(diǎn)增根的概念和對(duì)驗(yàn)根必要性的理解易錯(cuò)點(diǎn)解分式方程的過(guò)程中容易忘記檢驗(yàn)【預(yù)習(xí)效果檢測(cè)】1．[解析]分式方程與整式方程的區(qū)別在于分母中是否含有未知數(shù)．解：(1)(2)是整式方程，(3)(4)是分式方程．2．(1)x(x－3)2x＝3(x－3)(2)9(3)9≠09【重難互動(dòng)探究】例1[解析]首先確定各分母的最簡(jiǎn)公分母，然后去分母，解整式方程．解：(1)方程兩邊同時(shí)乘x(x＋1)，得2(x＋1)＝3x，解得x＝2.經(jīng)檢驗(yàn)，x＝2是原分式方程的解．(2)方程兩邊同時(shí)乘(3x－1)，得x＝2(3x－1)＋1，解得x＝eq\f(1,5).經(jīng)檢驗(yàn)，x＝eq\f(1,5)是原分式方程的解．(3)方程兩邊同乘(x－1)(x＋1)，得x(x＋1)－2＝(x－1)(x＋1)．去括號(hào)，得x2＋x－2＝x2－1.移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，得x＝1.檢驗(yàn)：當(dāng)x＝1時(shí)，(x－1)(x＋1)＝0，所以x＝1是原分式方程的增根．所以原方程無(wú)解．例2A[解析]方程兩邊都乘(x－3)，得2－x－m＝2(x－3)．因?yàn)榉质椒匠逃性龈詘＝3，所以2－3－m＝2(3－3)，解得m＝－1.故選A.例3D[解析]去分母，得m－1＝2x－2，解得x＝eq\f(m＋1,2).由題意得eq\f(m＋1,2)≥0且eq\f(m＋1,2)≠1.解得m≥－1且m≠1.故選D.【課堂總結(jié)反思】[反思]小馬虎的解答不正確，錯(cuò)在“方程兩邊約去x”這一步．正解：原方程可化為eq\f(2x,2x－1)＝eq\f(x,x＋2).去分母，得2x(x＋2)＝x(2x－1)．去括號(hào)，得2x2＋4x＝2x2－x.解得x＝0.經(jīng)檢驗(yàn)，x＝0是原方程的解．【作業(yè)高效訓(xùn)練】[課堂達(dá)標(biāo)]1．[解析]B方程－eq\f(3,x)＝2和eq\f(3x－9,x)＝1中的分母含有未知數(shù)，是分式方程．故選B.2．D3.D4.A5.A6.D7．[解析]D選項(xiàng)A中，當(dāng)x＋1＝0時(shí)，x＝－1，而當(dāng)x＝－1時(shí)，分母的值等于0，所以該方程無(wú)解；選項(xiàng)B中，因?yàn)閤取任意值，x2＋1≥0恒成立，所以方程無(wú)解；選項(xiàng)C中，因?yàn)閤取任意值，x＋1的值總不等于x－1的值，所以分式eq\f(x＋1,x－1)的值總不等于1，方程無(wú)解；選項(xiàng)D中，方程的解為x＝2.8．[解析]D由規(guī)定知，1(x＋1)＝1可化為eq\f(1,x＋1)－1＝1，即eq\f(1,x＋1)＝2，解得x＝－eq\f(1,2).∵－eq\f(1,2)＋1≠0，∴符合條件．故選D.9．[答案](x＋1)(x－1)10．[答案]－211．[答案]5[解析]因?yàn)殛P(guān)于x的方程eq\f(2（x－a）,a（x－1）)＝－eq\f(2,5)的解為x＝3，所以eq\f(2（3－a）,a（3－1）)＝－eq\f(2,5)，即eq\f(3－a,2a)＝－eq\f(1,5).解這個(gè)方程得a＝5.經(jīng)檢驗(yàn)，a＝5滿足題意．12．[答案]－eq\f(3,2)[解析]方程兩邊同乘(x＋1)(x－1)，得a(x－1)－3＝(x＋1)(x－1)．∵原方程有增根，∴最簡(jiǎn)公分母(x＋1)(x－1)＝0，∴增根是x＝1或x＝－1.當(dāng)x＝－1時(shí)，a＝－eq\f(3,2)；當(dāng)x＝1時(shí)，a無(wú)解．13．(1)x＝－2(2)x＝eq\f(2,3)14．解：根據(jù)題意，得eq\f(x－2,x＋2)－eq\f(16,x2－4)＝1＋eq\f(4,x－2)，去分母，得(x－2)2－16＝x2－4＋4(x＋2)，去括號(hào)，得x2－4x＋4－16＝x2－4＋4x＋8，移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，得8x＝－16，解得x＝－2.經(jīng)檢驗(yàn)，x＝－2是原方程的增根，故原分式方程無(wú)解．所以不存在滿足條件的實(shí)數(shù)x.15．解：由eq\f(x＋4,x)＝3，得x＝2.∵關(guān)于x的分式方程eq\f(ax,a＋1)－eq\f(2,x－1)＝1的解與方程eq\f(x＋4,x)＝3的解相同，∴把x＝2代入方程eq\f(ax,a＋1)－eq\f(2,x－1)＝1中，得eq\f(2a,a＋1)－eq\f(2,2－1)＝1，即eq\f(2a,a＋1)＝3，解得a＝－3.經(jīng)檢驗(yàn)，a＝－3是方程eq\f(2a,a＋1)－eq\f(2,2－1)＝1的根，∴a＝－3.16．解：eq\f(6,x－1)＝eq\f(x＋k,x（x－1）)－eq\f(3,x)，方程兩邊同乘x(x－1)，得6x＝x＋k－3(x－1)，∴k＝8x－3.∵原分式方程有解，∴x≠0且x－1≠0，即x≠0且x≠1∴8x－3≠3且8x－3≠5，∴當(dāng)k≠－3且k≠5時(shí)，原分式方程有解．17．解：去分母，得x(x－m)－3(x－1)＝x(x－1)，－mx－3x＋3＝－x，整理，得(2＋m)x－3＝0.∵關(guān)于x的分式方程eq\f(x－m,x－1)