2022年山西省陽泉市東回中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析

2022年山西省陽泉市東回中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.一個(gè)樣本容量為的樣本數(shù)據(jù)，它們組成一個(gè)公差不為的等差數(shù)列，若，且成等比數(shù)列，則此樣本的中位數(shù)是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A2.已知函數(shù)滿足，，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)最多有

A.

B.

C.

D.參考答案：D略3.已知偶函數(shù)y=f（x）對于任意的滿足f'（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f'（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式中成立的是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．【分析】設(shè)g（x）=，則可判斷g（x）在[0，）上單調(diào)遞增，利用g（x）的單調(diào)性，結(jié)合f（x）的奇偶性即可判斷．【解答】解：設(shè)g（x）=，則g′（x）=＞0，∵對于任意的滿足f'（x）cosx+f（x）sinx＞0，∴g（x）在[0，）上是增函數(shù)，∴g（0）＜g（）＜g（）＜g（），即f（0）＜＜＜，∴f（）＞f（），f（0）＜f（），f（）＜f（），又f（x）是偶函數(shù)，∴f（﹣）＞f（），f（﹣）＞f（﹣），f（0）＜f（﹣），故選D．4.如圖是某班50們學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖，其中成績分組區(qū)間是：，則圖中的值等于（

）A．0.012

B．0.018

C．0.024

D．0.016參考答案：C試題分析：由圖得，解得．故選C．考點(diǎn)：頻率分布直方圖．【方法點(diǎn)睛】由樣本頻率分布直方圖，分別估計(jì)總體的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的方法：（1）眾數(shù)：最高矩形下端中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（2）中位數(shù)：直方圖面積平分線與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（3）平均數(shù)：每個(gè)小矩形的面積與小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的乘積之和.利用直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)均為近似值，往往與實(shí)際數(shù)據(jù)得出的不一致．但它們能粗略估計(jì)其眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)．本題主要考查由樣本頻率分布直方圖，估計(jì)總體的平均數(shù)以及古典概率，屬于基礎(chǔ)題．5.設(shè)x∈Z，集合A是奇數(shù)集，集合B是偶數(shù)集．若命題p：?x∈A，2x∈B，則（）A．￢p：?x∈A，2x∈B B．￢p：?x?A，2x∈B C．￢p：?x∈A，2x?B D．￢p：?x?A，2x?B參考答案：C【考點(diǎn)】命題的否定；特稱命題．【分析】“全稱命題”的否定一定是“存在性命題”據(jù)此可解決問題．【解答】解：∵“全稱命題”的否定一定是“存在性命題”，∴命題p：?x∈A，2x∈B的否定是：￢p：?x∈A，2x?B．故選C．6.f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，對?x1∈－1,2，?x0∈－1,2，使g(x1)＝f(x0)，則a的取值范圍是()A．

B．C．3，＋∞)D．(0,3參考答案：A7.

已知是球表面上的點(diǎn)，，，，，則球的表面積等于（

）A.2

B.3

C.4

D.

參考答案：C8.已知是三次函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且,則的取值范圍是

（）

A.

B.

C.

D.參考答案：A9.已知函數(shù)f（x）=，若f（a）=0，則實(shí)數(shù)a的值等于(

)A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1或3參考答案：C【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】利用分段函數(shù)，建立方程，即可求出實(shí)數(shù)a的值．【解答】解：當(dāng)a＞0時(shí)，f（a）=lga=0，∴a=1；當(dāng)a≤0時(shí)，f（a）=a+3=0，∴a=﹣3，綜上，a=1或﹣3．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．10.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又存在極值的是

(

)

A.

B. C.

D.參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若函數(shù)在(0,+∞)上僅有一個(gè)零點(diǎn)，則a=__________．參考答案：【分析】令，并將其化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求得其極大值，令等于這個(gè)極大值，解方程求得的值.【詳解】令并化簡得，，構(gòu)造函數(shù)，，由于，故函數(shù)在上導(dǎo)數(shù)小于零，遞減，在上導(dǎo)數(shù)大于零，遞增，由，，當(dāng)，有,當(dāng)時(shí)，，且時(shí)，,函數(shù)在處取得極大值也是最大值為，又，所以當(dāng)時(shí)，只有，解得.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題，考查構(gòu)造函數(shù)法，考查極值、最值的求法，屬于中檔題.12.設(shè)則的值等于__參考答案：13.函數(shù)y=tan（x﹣）的單調(diào)遞增區(qū)間是．參考答案：（﹣+kπ，+kπ），k∈Z考點(diǎn)： 正切函數(shù)的圖象．專題： 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析： 根據(jù)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求出函數(shù)y=tan（x﹣）的單調(diào)遞增區(qū)間．解答： 解：根據(jù)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，令﹣+kπ＜x﹣＜+kπ，k∈Z；得：﹣+kπ＜x＜+kπ，k∈Z，∴函數(shù)y=tan（x﹣）的單調(diào)遞增區(qū)間是（﹣+kπ，+kπ），k∈Z．故答案為：（﹣+kπ，+kπ），k∈Z．點(diǎn)評： 本題考查了正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)利用正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，列出不等式，求出解集來．14.已知奇函數(shù)f（x）=，則f（﹣2）的值為．參考答案：﹣8【考點(diǎn)】3T：函數(shù)的值．【分析】由f（x）為R上的奇函數(shù)可得f（0）=0，從而可得a值，設(shè)x＜0，則﹣x＞0，由f（﹣x）=﹣f（x）得3﹣x﹣1=﹣f（x），由此可得f（x），即g（x），即可求得f（﹣2）．【解答】解：因?yàn)槠婧瘮?shù)f（x）的定義域?yàn)镽，所以f（0）=0，即30﹣a=0，解得a=1，設(shè)x＜0，則﹣x＞0，f（﹣x）=﹣f（x），即3﹣x﹣1=﹣f（x），所以f（x）=﹣3﹣x+1，即g（x）=﹣3﹣x+1，所以f（﹣2）=g（﹣2）=﹣32+1=﹣8．故答案為：﹣8．15.如圖，的等腰直角三角形與正三角形所在平面互相垂直，是線段的中點(diǎn)，則與所成角的大小為

參考答案：16.直線的縱截距是

。參考答案：-117.已知定義在R上函數(shù)f（x）滿足f（﹣x）+f（x）=0，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=1+ax，若f（﹣1）=﹣，則實(shí)數(shù)a=．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)解析式的求解及常用方法．【分析】由題意，f（﹣x）=﹣f（x），f（1）=，利用當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=1+ax，建立方程，即可求出a的值．【解答】解：由題意，f（﹣x）=﹣f（x），f（1）=，∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=1+ax，∴1+a=，∴．故答案為．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)R，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．

（1）求的解析式；

（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)是正整數(shù)，用表示前個(gè)正整數(shù)的積，即．求證：．參考答案：解（1）∵，

∴.

∵直線的斜率為，且曲線過點(diǎn)，

∴即解得.

所以

（2）由（1）得當(dāng)時(shí)，恒成立即，等價(jià)于.令，則.

令，則.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故.從而，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，故.

因此，當(dāng)時(shí)，恒成立，則.

∴的取值范圍是.

（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，（時(shí)），又時(shí)也成立，所以當(dāng)時(shí)，，于是，，，

，

略19.已知函數(shù)f（x）=+lnx﹣1（a是常數(shù)，e≈=2.71828）．（1）若x=2是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（2）當(dāng)a=1時(shí)，方程f（x）=m在x∈[，e2]上有兩解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）求證：n∈N*，ln（en）＞1+．參考答案：【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（1）先根據(jù)x=2是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)求出a的值，然后利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，從而可求出切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)f（x）的最小值，以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，結(jié)合圖象可得m的取值范圍；（3）等價(jià)于，若a=1時(shí)，由（2）知f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，可證得，從而可得結(jié)論．【解答】解：（1）．因?yàn)閤=2是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，所以a=2，則f（x）=，則f（1）=1，f'（1）=﹣1，所以切線方程為x+y﹣2=0；（2）當(dāng)a=1時(shí)，，其中x∈[，e2]，當(dāng)x∈[，1）時(shí)，f'（x）＜0；x∈（1，e2]時(shí)，f'（x）＞0，∴x=1是f（x）在[，e2]上唯一的極小值點(diǎn)，∴[f（x）]min=f（1）=0．又，，綜上，所求實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|0＜m≤e﹣2}；（3）等價(jià)于，若a=1時(shí)，由（2）知f（x）=在[1，+∞）上為增函數(shù)，當(dāng)n＞1時(shí)，令x=，則x＞1，故f（x）＞f（1）=0，即，∴．故即，即．20.如圖，橢圓C1：+y2=1，x軸被曲線C2：y=x2﹣b截得的線段長等于C1的長半軸長．（1）求實(shí)數(shù)b的值；（2）設(shè)C2與y軸的交點(diǎn)為M，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與C2相交于點(diǎn)A、B，直線MA、MB分別與C1相交于D、E．①證明：?=0；②記△MAB，△MDE的面積分別是S1，S2．若=λ，求λ的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】圓錐曲線的綜合．【分析】（1）確定半長軸為2，利用x軸被曲線C2：y=x2﹣b截得的線段長等于C1的長半軸長，可求b的值；（2）①設(shè)直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，﹣1），可得kMAkMB=﹣1，從而得證；②設(shè)直線的斜率為k1，則直線的方程為y=k1x﹣1，代入拋物線方程可得x2=k1x，從而可得點(diǎn)A的坐標(biāo)、點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而可得S1，同理可得S2，進(jìn)而可得比值，由此可得λ的取值范圍．【解答】（1）解：由題意知：半長軸為2，則有2=2

…（3分）∴b=1

…（4分）（2）①證明：由題意知，直線l的斜率存在，設(shè)為k，則直線的方程為y=kx．與拋物線方程聯(lián)立，消去y可得x2﹣kx﹣1=0，…（6分）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1，x2是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，于是x1+x2=k，x1x2=﹣1．…（7分）又點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，﹣1），所以kMAkMB=×==﹣1…（9分）故MA⊥MB，即MD⊥ME，故

…（10分）②設(shè)直線的斜率為k1，則直線的方程為y=k1x﹣1，代入拋物線方程可得x2=k1x，解得x=0或x=k1，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（k1，）…（12分）同理可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為．于是==直線的方程為y=k1x﹣1，代入橢圓方程，消去y，可得（）x2﹣8k1x=0，解得x=0或x=，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為；

…（14分）同理可得點(diǎn)E的坐標(biāo)于是S2==因此，…（16分）又由點(diǎn)A，B的坐標(biāo)可知，k==，平方后代入上式，所以λ=故λ的取值范圍為[）．

…（18分）【點(diǎn)評】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與拋物線、橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，屬于中檔題．21.（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講（1）已知函數(shù)，求x的取值范圍，使為常函數(shù)；（2）若求的最大值。參考答案：（1）（2）3【知識點(diǎn)】選修4-5不等式選講解析：（1）

………..4分

則當(dāng)時(shí)，為常函數(shù).

………..5分（2）由柯西不等式得:

所以

因此M的最大值為3.【思路點(diǎn)撥】(1)把絕對值不等式化為分段函數(shù)觀察即可求解,(2)由柯西不等式直接求解.22.（13分）已知函數(shù)φ（x）=lnx．（1）若曲線g（x）=φ（x）+﹣1在點(diǎn)（2，g（2））處的切線與直線3x+y﹣1=0平行，求a的值；（2）求證函數(shù)f（x）=φ（x）﹣在（0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)；（3）設(shè)m，n∈R+，且m≠n，求證：＜||．參考答案：考點(diǎn)： 利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．專題： 證明題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析： （1）先求出g（x）的導(dǎo)數(shù)g′（x），求出g′（2），根據(jù)條件得到g′（2）=﹣3，解出a的值；（2）可先求出f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），并化簡整理、因式分解，由條件x＞0，即可判斷導(dǎo)數(shù)的符號，從而得證；（3）設(shè)m＞n＞0，應(yīng)用分析法證明，要證原不等式成立，可以適當(dāng)變形，只需證，然后構(gòu)造函數(shù)h（x）=lnx﹣（x＞1），應(yīng)用導(dǎo)數(shù)說明h（x）在（1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，