2021-2022年高中數(shù)學(xué)第四章圓的方程3.12空間直角坐標(biāo)系5作業(yè)含解析新人教版必修2202202261124

PAGEPAGE7空間直角坐標(biāo)系、空間兩點間的距離公式基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．下列命題中錯誤的是()A．在空間直角坐標(biāo)系中，在x軸上的點的坐標(biāo)一定是(0，b，c)B．在空間直角坐標(biāo)系中，在yOz平面上的點的坐標(biāo)一定是(0，b，c)C．在空間直角坐標(biāo)系中，在z軸上的點的坐標(biāo)可記作(0,0，c)D．在空間直角坐標(biāo)系中，在xOz平面上的點的坐標(biāo)是(a,0，c)[答案]A[解析]空間直角坐標(biāo)系中，在x軸上的點的坐標(biāo)是(a,0,0)．2．在空間直角坐標(biāo)系中，點M(3,0,2)位于()A．y軸上 B．x軸上C．xOz平面內(nèi) D．yOz平面內(nèi)[答案]C[解析]由x＝3，y＝0，z＝2可知點M位于xOz平面內(nèi)．3．在空間直角坐標(biāo)系中，點P(2,3，－5)到原點的距離是()A．6 B．10C．eq\r(38) D．eq\r(34)[答案]C[解析]由兩點間距離公式得eq\r(2－02＋3－02＋－5－02)＝eq\r(38).4．在空間直角坐標(biāo)系中，已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，點P在z軸上，且滿足|PA|＝|PB|，則P點坐標(biāo)為()A．(3,0,0) B．(0,3,0)C．(0,0,3) D．(0,0，－3)[答案]C[解析]設(shè)P(0,0，z)，則有eq\r(12＋－22＋z－12)＝eq\r(22＋22＋z－22)，解得z＝3.5．點P(－1,2,3)關(guān)于xOz平面對稱的點的坐標(biāo)是()A．(1,2,3) B．(－1，－2,3)C．(－1,2，－3) D．(1，－2，－3)[答案]B6．已知點A(－3,1,5)與點B(4,3,1)，則AB的中點坐標(biāo)是()A．(eq\f(7,2)，1，－2) B．(eq\f(1,2)，2,3)C．(－12,3,5) D．(eq\f(1,3)，eq\f(4,3)，2)[答案]B二、填空題7．如圖所示，在長方體OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，M是OB1與BO1的交點，則[答案](1，eq\f(3,2)，1)[解析]由長方體性質(zhì)可知，M為OB1中點，而B1(2,3,2)，故M(1，eq\f(3,2)，1)．8．在△ABC中，已知A(－1,2,3)，B(2，－2,3)，C(eq\f(1,2)，eq\f(5,2)，3)，則AB邊上的中線CD的長是________.[答案]eq\f(5,2)[解析]AB中點D坐標(biāo)為(eq\f(1,2)，0,3)，|CD|＝eq\r(\f(1,2)－\f(1,2)2＋\f(5,2)－02＋3－32)＝eq\f(5,2).三、解答題9．已知點A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，若點P(x,0，z)滿足PA⊥AB，PA⊥AC，試求點P的坐標(biāo)．[解析]因為PA⊥AB，所以△PAB是直角三角形，所以|PB|2＝|PA|2＋|AB|2，即(x＋1)2＋(z＋1)2＝x2＋1＋z2＋1＋1＋1，整理得x＋z＝1 ①同理，由PA⊥AC得|PC|2＝|PA|2＋|AC|2，即(x－2)2＋1＋(z－1)2＝x2＋1＋z2＋4＋1，整理得2x＋z＝0 ②由①②解得x＝－1，z＝2，所以點P的坐標(biāo)為P(－1,0,2)．10．長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，點M是B1C1的中點，點N是(1)寫出點D，N，M的坐標(biāo)；(2)求線段MD，MN的長度．[分析](1)D是原點，先寫出A，B，B1，C1的坐標(biāo)，再由中點坐標(biāo)公式得M，N的坐標(biāo)；(2)代入空間中兩點間距離公式即可．[解析](1)因為D是原點，則D(0,0,0)．由AB＝BC＝2，D1D＝3，得A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,3)，C1(0,2,3)．∵N是AB的中點，∴N(2,1,0)．同理可得M(1,2,3)．(2)由兩點間距離公式，得|MD|＝eq\r(1－02＋2－02＋3－02)＝eq\r(14)，|MN|＝eq\r(1－22＋2－12＋3－02)＝eq\r(11).能力提升一、選擇題1．點A(－1,2,1)在x軸上的投影點和在xOy平面的上投影點的坐標(biāo)分別為()A．(－1,0,1)，(－1,2,0) B．(－1,0,0)，(－1,2,0)C．(－1,0,0)，(－1,0,0) D．(－1,2,0)，(－1,2,0)[答案]B[解析]點A(－1,2,1)在x軸上的投影點的橫坐標(biāo)是－1，縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)都為0，故為(－1,0,0)．點A(－1,2,1)在xOy平面上的投影點的橫、縱坐標(biāo)不變且豎坐標(biāo)是0，故為(－1,2,0)．2．正方體不在同一平面上的兩頂點A(－1,2，－1)、B(3，－2,3)，則正方體的體積是()A．16 B．192C．64 D．48[答案]C[解析]|AB|＝eq\r(3＋12＋－2－22＋3＋12)＝4eq\r(3)，∴正方體的棱長為eq\f(4\r(3),\r(3))＝4.∴正方體的體積為43＝64.3．已知△ABC的頂點坐標(biāo)分別為A(1，－2,11)、B(4,2,3)、C(6，－1,4)，則△ABC是()A．直角三角形 B．鈍角三角形C．銳角三角形 D．等腰三角形[答案]A[解析]由兩點間距離公式得|AB|＝eq\r(89)，|AC|＝eq\r(75)，|BC|＝eq\r(14)，滿足|AB|2＝|AC|2＋|BC|2.4．△ABC的頂點坐標(biāo)是A(3,1,1)，B(－5,2,1)，C(－eq\f(8,3)，2,3)，則它在yOz平面上射影圖形的面積是()A．4 B．3C．2 D．1[答案]D[解析]△ABC的頂點在yOz平面上的射影點的坐標(biāo)分別為A′(0,1,1)，B′(0,2,1)，C′(0,2,3)，△ABC在yOz平面上的射影是一個直角三角形A′B′C′，容易求出它的面積為1.二、填空題5．已知P(eq\f(3,2)，eq\f(5,2)，z)到直線AB中點的距離為3，其中A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，則z＝________.[答案]0或－4[解析]利用中點坐標(biāo)公式可得AB中點C(eq\f(1,2)，eq\f(9,2)，－2)，因為|PC|＝3，所以eq\r(\f(3,2)－\f(1,2)2＋\f(5,2)－\f(9,2)2＋[z－－2]2)＝3，解得z＝0或z＝－4.6．在空間直角坐標(biāo)系中，正方體ABCD—A1B1C1D1的頂點A(3，－1,2)，其中心M[答案]eq\f(2\r(39),3)[解析]|AM|＝eq\r(3－02＋－1－12＋2－22)＝eq\r(13)，∴對角線|AC1|＝2eq\r(13)，設(shè)棱長x，則3x2＝(2eq\r(13))2，∴x＝eq\f(2\r(39),3).三、解答題7.如圖所示，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，過點B1作B1E⊥BD1于點E，求A、E[解析]根據(jù)題意，可得A(a,0,0)、B(a，a,0)、D1(0,0，a)、B1(a，a，a)．過點E作EF⊥BD于F，如圖所示，則在Rt△BB1D1中，|BB1|＝a，|BD1|＝eq\r(3)a，|B1D1|＝eq\r(2)a，所以|B1E|＝eq\f(a·\r(2)a,\r(3)a)＝eq\f(\r(6)a,3)，所以Rt△BEB1中，|BE|＝eq\f(\r(3),3)a由Rt△BEF∽Rt△BD1D，得|BF|＝eq\f(\r(2),3)a，|EF|＝eq\f(a,3)，所以點F的坐標(biāo)為(eq\f(2a,3)，eq\f(2a,3)，0)，則點E的坐標(biāo)為(eq\f(2a,3)，eq\f(2a,3)，eq\f(a,3))．由兩點間的距離公式，得|AE|＝eq\r(a－\f(2a,3)2＋0－\f(2a,3)2＋0－\f(a,3)2)＝eq\f(\r(6),3)a，所以A、E兩點之間的距離是eq\f(\r(6),3)a.8．如下圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，點P在面對角線A1B上，點Q在面對角線B1(1)當(dāng)點P是面對角線A1B的中點，點Q的面對角線B1C上運(yùn)動時，求|PQ(2)當(dāng)點Q是面對角線B1C的中點，點P在面對角線A1B上運(yùn)動時，求|PQ(3)當(dāng)點P在面對角線A1B上運(yùn)動，點Q在面對角線B1C上運(yùn)動時，求|PQ[分析]建立直角坐標(biāo)系后，表示出相關(guān)點的坐標(biāo).(1)確定點P坐標(biāo)，根據(jù)條件設(shè)出點Q坐標(biāo)，表示出|PQ|，用二次函數(shù)求最值．(2)確定點Q坐標(biāo)，根據(jù)條件設(shè)出點P坐標(biāo)，表示出|PQ|，用二次函數(shù)求最值．(3)設(shè)出P，Q兩點坐標(biāo)，表示出|PQ|，利用配方后非零數(shù)的和平方最小的條件確定P，Q的坐標(biāo)．[解析]由已知，以頂點D為坐標(biāo)原點，以DA，DC，DD1所在的直線為x軸，y軸，z軸建立如右圖所示的空間直線坐標(biāo)系Dxyz.∵正方體ABCD－A1B1C1D1∴可得點A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，B(1,1,0)，C(0,1,0)．(1)∵點P是面對角線A1B的中點，∴由射影的概念可得P(1，eq\f(1,2)，eq\f(1,2))．又點Q在面對角線B1C∴可設(shè)點Q(b,1，b)，b∈[0,1]．由兩點間的距離公式得|PQ|＝eq\r(1－b2＋\f(1,2)－12＋\f(1,2)－b2)＝eq\r(2b2－3b＋\f(3,2))＝eq\r(2b－\f(3,4)2＋\f(3,8)).∴當(dāng)b＝eq\f(3,4)時，|PQ|取得最小值eq\f(\r(6),4)，此時點Q(eq\f(3,4)，1，eq\f(3,4))．(2)∵點Q是面對角線B1C∴由射影的概念可得Q(eq\f(1,2)，1，eq\f(1,2))．又點P在面對角線A1B上運(yùn)動，∴可設(shè)點P(1，a,1－a)，a∈[0,1]．由兩點間的距離公式得|PQ|＝eq\r(1－\f(1,2)2＋a－12＋1－a－\f(1,2)2)＝eq\r(\f(1,2)2＋a－12＋\f(1,2)－a2)＝eq\r(2a2－3a＋\f(3,2))＝eq\r(2a－\f(3,4)2＋\f(3,8)).∴當(dāng)a＝eq\f(3,4)時，|PQ|取得最小值eq\f(\r(6),4)，此時點P(1，eq\f(3,4)，eq\f(1,4))．(3)∵點P在面對角線A1B上運(yùn)動，點Q在面對角線B1C∴可設(shè)點P(1，a,1－a)，Q(b,1，b)，a，b∈[0,1]．由兩點間的距離公式得|PQ|＝eq\r(1－b2＋a－1