高中數(shù)學 第一章《統(tǒng)計》用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征 北師大必修3

法門高中教學樓用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征北師大版高中數(shù)學必修3第一章《統(tǒng)計》1.一、教學目標：1、知識與技能：（1）正確理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，學會計算數(shù)據(jù)的標準差。（2）能根據(jù)實際問題的需要合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標準差），并做出合理的解釋。（3）會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征。（4）形成對數(shù)據(jù)處理過程進行初步評價的意識。2、過程與方法：在解決統(tǒng)計問題的過程中，進一步體會用樣本估計總體的思想，理解數(shù)形結合的數(shù)學思想和邏輯推理的數(shù)學方法。3、情感態(tài)度與價值觀：會用隨機抽樣的方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題，認識統(tǒng)計的作用，能夠辨證地理解數(shù)學知識與現(xiàn)實世界的聯(lián)系。二、重點與難點重點：用樣本平均數(shù)和標準差估計總體的平均數(shù)與標準差。難點：能應用相關知識解決簡單的實際問題。三、教學方法：探究歸納，思考交流四、教學過程2.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)3.（一）、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的概念

中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)（或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．

眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．

眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的特征數(shù)，只是描述的角度不同，其中以平均數(shù)的應用最為廣泛.平均數(shù):一組數(shù)據(jù)的算術平均數(shù),即

x=4.

練習:在一次中學生田徑運動會上，參加男子跳高的17名運動員的成績如下表所示：成績(單位:米)1．501．601．651．701．751．801．851．90人數(shù)23234111分別求這些運動員成績的眾數(shù)，中位數(shù)與平均數(shù)

解：在17個數(shù)據(jù)中，1.75出現(xiàn)了4次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，即這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1.75．上面表里的17個數(shù)據(jù)可看成是按從小到大的順序排列的，其中第9個數(shù)據(jù)1.70是最中間的一個數(shù)據(jù)，即這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1.70；5.

這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是答：17名運動員成績的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)依次是1.75（米）、1.70（米）、1.69（米）.6.頻率組距0.10.20.30.40.5O0.511.522.533.544.5月平均用水量(t)例如，在上一節(jié)調查的100位居民的月均用水量的問題中，從這些樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖可以看出，月均用水量的眾數(shù)是2.25t.如圖所示：

（二）、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關系

1、眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，就是最高矩形的中點的橫坐標。7.

2、在樣本中，有50％的個體小于或等于中位數(shù)，也有50％的個體大于或等于中位數(shù)，因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應該相等，由此可以估計中位數(shù)的值。下圖中虛線代表居民月均用水量的中位數(shù)的估計值，此數(shù)據(jù)值為2.03t.頻率組距0.10.20.30.40.5O0.511.522.533.544.5月平均用水量(t)8.說明:

2.03這個中位數(shù)的估計值,與樣本的中位數(shù)值2.0不一樣,這是因為樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖,只是直觀地表明分布的形狀,但是從直方圖本身得不出原始的數(shù)據(jù)內容,所以由頻率分布直方圖得到的中位數(shù)估計值往往與樣本的實際中位數(shù)值不一致.9.下圖顯示了居民月均用水量的平均數(shù):x=1.973頻率組距0.10.20.30.40.5O0.511.522.533.544.5月平均用水量(t)

3、平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”.是直方圖的平衡點.n個樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)由公式:給出10.（三）、三種數(shù)字特征的優(yōu)缺點

1、眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點，但它對其它數(shù)據(jù)信息的忽視使得無法客觀地反映總體特征.如上例中眾數(shù)是2.25t,它告訴我們,月均用水量為2.25t的居民數(shù)比月均用水量為其它數(shù)值的居民數(shù)多,但它并沒有告訴我們多多少.11.

2、中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，它不受少數(shù)幾個極端值的影響，這在某些情況下是優(yōu)點，但它對極端值的不敏感有時也會成為缺點。如上例中假設有某一用戶月均用水量為10t，那么它所占頻率為0.01,幾乎不影響中位數(shù),但顯然這一極端值是不能忽視的。12.

3、由于平均數(shù)與每一個樣本的數(shù)據(jù)有關，所以任何一個樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變，這是眾數(shù)、中位數(shù)都不具有的性質。也正因如此，與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來，平均數(shù)可以反映出更多的關于樣本數(shù)據(jù)全體的信息，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端值的影響較大，使平均數(shù)在估計時可靠性降低。13.

（四）、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的簡單應用例某工廠人員及工資構成如下：人員經(jīng)理管理人員高級技工工人學徒周工資2200250220200100人數(shù)165101（1）指出這個問題中周工資的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)（2）這個問題中，工資的平均數(shù)能客觀地反映該廠的工資水平嗎？為什么？

解：眾數(shù)為200，中位數(shù)為220，平均數(shù)為300。因平均數(shù)為300，由表格中所列出的數(shù)據(jù)可見，只有經(jīng)理在平均數(shù)以上，其余的人都在平均數(shù)以下，故用平均數(shù)不能客觀真實地反映該工廠的工資水平。14.標準差15.

平均數(shù)向我們提供了樣本數(shù)據(jù)的重要信息,但是平均有時也會使我們作出對總體的片面判斷．因為這個平均數(shù)掩蓋了一些極端的情況，而這些極端情況顯然是不能忽的．因此，只有平均數(shù)還難以概括樣本數(shù)據(jù)的實際狀態(tài)．如：有兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲：７８７９５４９１０７４乙：９５７８７６８６７７如果你是教練,你應當如何對這次射擊作出評價?如果看兩人本次射擊的平均成績,由于

兩人射擊的平均成績是一樣的.那么兩個人的水平就沒有什么差異嗎?16.(甲)45678910環(huán)數(shù)頻率0.10.20.3頻率(乙)456789100.10.20.30.4環(huán)數(shù)直觀上看,還是有差異的.如:甲成績比較分散,乙成績相對集中(如上圖所示).因此,我們還需要從另外的角度來考察這兩組數(shù)據(jù).例如:在作統(tǒng)計圖表時提到過的極差.17.甲的環(huán)數(shù)極差=10-4=6乙的環(huán)數(shù)極差=9-5=4.它們在一定程度上表明了樣本數(shù)據(jù)的分散程度,與平均數(shù)一起,可以給我們許多關于樣本數(shù)據(jù)的信息.顯然,極差對極端值非常敏感,注意到這一點,我們可以得到一種“去掉一個最高分,去掉一個最低分”的統(tǒng)計策略.

考察樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小，最常用的統(tǒng)計量是標準差．標準差是樣本平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示．所謂“平均距離”，其含義可作如下理解：18.由于上式含有絕對值，運算不太方便，因此，通常改用如下公式來計算標準差．一個樣本中的個體與平均數(shù)之間的距離關系可用下圖表示:考慮一個容量為2的樣本:19.

顯然,標準差越大,則a越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大;標準差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小.用計算器可算出甲,乙兩人的的成績的標準差由可以知道,甲的成績離散程度大,乙的成績離散程度小.由此可以估計,乙比甲的射擊成績穩(wěn)定.上面兩組數(shù)據(jù)的離散程度與標準差之間的關系可用圖直觀地表示出來.45678910a20.例題1:畫出下列四組樣本數(shù)據(jù)的直方圖,說明它們的異同點.(1)5,5,5,5,5,5,5,5,5;(2)4,4,4,5,5,5,6,6,6;(3)3,3,4,4,5,6,6,7,7;(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8;解:四組樣本數(shù)據(jù)的直方圖是:頻率o123456780.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0S=0.00(1)21.12345678頻率o0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0S=1.490.20.30.40.50.60.70.80.91.0(2)頻率o12345678S=0.82頻率o123456780.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0S=2.8322.四組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是5.0,標準差分別是0.00,0.82,1.49,2.83.雖然它們有相同的平均數(shù),但是它們有不同的標準差,說明數(shù)據(jù)的分散程度是不一樣的.標準差還可以用于對樣本數(shù)據(jù)的另外一種解釋.例如:在關于居民月均用水量的例子中,平均數(shù)標準差s=0.868

所以23.例2甲乙兩人同時生產內徑為25.40mm的一種零件.為了對兩人的生產質量進行評比,從他們生產的零件中各抽出20件,量得其內徑尺寸如下(單位:mm)甲25.46,25.32,25.45,25.39,25.3625.34,25.42,25.45,25.38,25.4225.39,25.43,25.39,25.40,25.4425.40,25.42,25.35,25.41,25.39乙25.40,25.43,25.44,25.48,25.4825.47,25.49,25.49,25.36,25.3425.33,25.43,25.43,25.32,25.4725.31,25.32,25.32,25.32,25.48從生產的零件內徑的尺寸看,誰生產的質量較高?24.分析:每一個工人生產的所有零件的內徑尺寸組成一個總體,由于零件的生產標準已經(jīng)給出(內徑25.40mm),生產質量可以從總體的平均數(shù)與標準差兩個角度來衡量.總體的平均數(shù)與內徑標準尺寸25.00mm的差異在時質量低,差異小時質量高;當總體的平均數(shù)與標準尺寸很接近時,總體的標準差小的時候質量高,標準差大的時候質量低.這樣比較兩人的生產質量只要比較他們所生產的零件內徑尺寸所組成的兩個總體的平均數(shù)與標準差的大小即可.但是這兩個總體的平均數(shù)與標準差都是不知道的,根據(jù)用樣本估計總體的思想,我們可以通過抽樣分別獲得相應的樣體數(shù)據(jù),然后比較這兩個樣本的平均數(shù),標準差,以此作為兩個總體之間的估計值.解:用計算器計算可得:25.

從樣本平均數(shù)看,甲生產的零件內徑比乙生產的更接近內徑標準(25.40mm),但是差異很小;從樣本標準差看,由于從上述例子我們可以看到,對一名工人生產的零件內徑(總體)的質量判斷,與我們抽取的內徑(樣本數(shù)據(jù))直接相關.顯然,我們可以從這名工人生產的零件中獲取許多樣本(為什么?).這樣,盡管總體是同一個,但由于樣本不同,相應的樣本頻率分布與平均數(shù),標準差等都會發(fā)生改變,這就會影響到我們對總體情況的估計.如果樣本的的代表性差