正交實(shí)驗(yàn)舉例20230729

回首頁正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)法正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)法的基本思想正交表正交表試驗(yàn)方案的設(shè)計(jì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的直觀分析正交試驗(yàn)的方差分析常用正交表

1．正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)法的基本思想正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)法，就是使用已經(jīng)造好了的表格--正交表--來安排試驗(yàn)并進(jìn)行數(shù)據(jù)分析的一種方法。它簡單易行，計(jì)算表格化，使用者能夠迅速掌握。下邊通過一個(gè)例子來說明正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)法的基本想法。

[例1]為提高某化工產(chǎn)品的轉(zhuǎn)化率，選擇了三個(gè)有關(guān)因素進(jìn)行條件試驗(yàn)，反應(yīng)溫度(A)，反應(yīng)時(shí)間(B)，用堿量(C)，并確定了它們的試驗(yàn)范圍：

A：80-90℃

B：90-150分鐘

C：5-7％

試驗(yàn)?zāi)康氖歉闱宄蜃覣、B、C對(duì)轉(zhuǎn)化率有什么影響，哪些是主要的，哪些是次要的，從而確定最適生產(chǎn)條件，即溫度、時(shí)間及用堿量各為多少才能使轉(zhuǎn)化率高。試制定試驗(yàn)方案。

這里，對(duì)因子A，在試驗(yàn)范圍內(nèi)選了三個(gè)水平；因子B和C也都取三個(gè)水平：

A：Al＝80℃，A2＝85℃，A3=90℃

B：Bl＝90分，B2＝120分，B3=150分

C：Cl＝5％，C2＝6%，C3＝7%

當(dāng)然，在正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)中，因子可以是定量的，也可以是定性的。而定量因子各水平間的距離可以相等，也可以不相等。這個(gè)三因子三水平的條件試驗(yàn)，通常有兩種試驗(yàn)進(jìn)行方法：(Ⅰ)取三因子所有水平之間的組合，即AlBlC1，A1BlC2，A1B2C1，……，A3B3C3，共有

33=27次

試驗(yàn)。用圖表示就是圖1立方體的27個(gè)節(jié)點(diǎn)。這種試驗(yàn)法叫做全面試驗(yàn)法。

全面試驗(yàn)對(duì)各因子與指標(biāo)間的關(guān)系剖析得比較清楚。但試驗(yàn)次數(shù)太多。特別是當(dāng)因子數(shù)目多，每個(gè)因子的水平數(shù)目也多時(shí)。試驗(yàn)量大得驚人。如選六個(gè)因子，每個(gè)因子取五個(gè)水平時(shí)，如欲做全面試驗(yàn)，則需56＝15625次試驗(yàn)，這實(shí)際上是不可能實(shí)現(xiàn)的。如果應(yīng)用正交實(shí)驗(yàn)法，只做25次試驗(yàn)就行了。而且在某種意義上講，這25次試驗(yàn)代表了15625次試驗(yàn)。圖1全面試驗(yàn)法取點(diǎn)..........(Ⅱ)簡單對(duì)比法，即變化一個(gè)因素而固定其他因素，如首先固定B、C于Bl、Cl，使A變化之：

↗A1

B1C1→A2

↘A3(好結(jié)果)

如得出結(jié)果A3最好，則固定A于A3，C還是Cl，使B變化之：

↗B1

A3C1→B2(好結(jié)果)

↘B3

得出結(jié)果以B2為最好，則固定B于B2，A于A3，使C變化之：

↗C1

A3B2→C2(好結(jié)果)

↘C3

試驗(yàn)結(jié)果以C2最好。于是就認(rèn)為最好的工藝條件是A3B2C2。

這種方法一般也有一定的效果，但缺點(diǎn)很多。首先這種方法的選點(diǎn)代表性很差，如按上述方法進(jìn)行試驗(yàn)，試驗(yàn)點(diǎn)完全分布在一個(gè)角上，而在一個(gè)很大的范圍內(nèi)沒有選點(diǎn)。因此這種試驗(yàn)方法不全面，所選的工藝條件A3B2C2不一定是27個(gè)組合中最好的。其次，用這種方法比較條件好壞時(shí)，是把單個(gè)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)拿來，進(jìn)行數(shù)值上的簡單比較，而試驗(yàn)數(shù)據(jù)中必然要包含著誤差成分，所以單個(gè)數(shù)據(jù)的簡單比較不能剔除誤差的干擾，必然造成結(jié)論的不穩(wěn)定。

簡單對(duì)比法的最大優(yōu)點(diǎn)就是試驗(yàn)次數(shù)少，例如六因子五水平試驗(yàn)，在不重復(fù)時(shí)，只用5+(6-1)×(5-1)＝5+5×4＝25次試驗(yàn)就可以了。

考慮兼顧這兩種試驗(yàn)方法的優(yōu)點(diǎn)，從全面試驗(yàn)的點(diǎn)中選擇具有典型性、代表性的點(diǎn)，使試驗(yàn)點(diǎn)在試驗(yàn)范圍內(nèi)分布得很均勻，能反映全面情況。但我們又希望試驗(yàn)點(diǎn)盡量地少，為此還要具體考慮一些問題。

如上例，對(duì)應(yīng)于A有Al、A2、A3三個(gè)平面，對(duì)應(yīng)于B、C也各有三個(gè)平面，共九個(gè)平面。則這九個(gè)平面上的試驗(yàn)點(diǎn)都應(yīng)當(dāng)一樣多，即對(duì)每個(gè)因子的每個(gè)水平都要同等看待。具體來說，每個(gè)平面上都有三行、三列，要求在每行、每列上的點(diǎn)一樣多。這樣，作出如圖2所示的設(shè)計(jì)，試驗(yàn)點(diǎn)用⊙表示。我們看到，在9個(gè)平面中每個(gè)平面上都恰好有三個(gè)點(diǎn)而每個(gè)平面的每行每列都有一個(gè)點(diǎn)，而且只有一個(gè)點(diǎn)，總共九個(gè)點(diǎn)。這樣的試驗(yàn)方案，試驗(yàn)點(diǎn)的分布很均勻，試驗(yàn)次數(shù)也不多。

當(dāng)因子數(shù)和水平數(shù)都不太大時(shí)，尚可通過作圖的辦法來選擇分布很均勻的試驗(yàn)點(diǎn)。但是因子數(shù)和水平數(shù)多了，作圖的方法就不行了。

試驗(yàn)工作者在長期的工作中總結(jié)出一套辦法，創(chuàng)造出所謂的正交表。按照正交表來安排試驗(yàn)，既能使試驗(yàn)點(diǎn)分布得很均勻，又能減少試驗(yàn)次數(shù)，

圖2正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)圖例

而且計(jì)算分析簡單，能夠清晰地闡明試驗(yàn)條件與指標(biāo)之間的關(guān)系。

用正交表來安排試驗(yàn)及分析試驗(yàn)結(jié)果，這種方法叫正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)法。

2．正交表本書附錄給出了常用的正交表。為了敘述方便，用L代表正交表，常用的有L8(27)，L9(34)，L16(45)，L8(4×24)，L12(211)，等等。此符號(hào)各數(shù)字的意義如下：

L8(27)

7為此表列的數(shù)目（最多可安排的因子數(shù)）

2為因子的水平數(shù)

8為此表行的數(shù)目（試驗(yàn)次數(shù)）

L18(2×37)

有7列是3水平的

有1列是2水平的

L18(2×37)的數(shù)字告訴我們，用它來安排試驗(yàn)，做18個(gè)試驗(yàn)最多可以考察一個(gè)2水平因子和7個(gè)3水平因子。

在行數(shù)為mn型的正交表中(m，n是正整數(shù))，

試驗(yàn)次數(shù)(行數(shù))＝Σ(每列水平數(shù)一1)+l(1)

如L8(27)，

8＝7×(2-1)+l

利用上述關(guān)系式可以從所要考察的因子水平數(shù)來決定最低的試驗(yàn)次數(shù)，進(jìn)而選擇合適的正交表。比如要考察五個(gè)3水平因子及一個(gè)2水平因子，則起碼的試驗(yàn)次數(shù)為

5×(3-1)+1×(2-1)+1＝12（次）

這就是說，要在行數(shù)不小于12，既有2水平列又有3水平列的正交表中選擇，L18(2×37)適合。

正交表具有兩條性質(zhì)：(1)每一列中各數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)都一樣多。(2)任何兩列所構(gòu)成的各有序數(shù)對(duì)出現(xiàn)的次數(shù)都一樣多。所以稱之謂正交表。

例如在L9(34)中(見表1)，各列中的l、2、3都各自出現(xiàn)3次；任何兩列，例如第3、4列，所構(gòu)成的有序數(shù)對(duì)從上向下共有九種，既沒有重復(fù)也沒有遺漏。其他任何兩列所構(gòu)成的有序數(shù)對(duì)也是這九種各出現(xiàn)一次。這反映了試驗(yàn)點(diǎn)分布的均勻性。返回3．試驗(yàn)方案的設(shè)計(jì)安排試驗(yàn)時(shí)，只要把所考察的每一個(gè)因子任意地對(duì)應(yīng)于正交表的一列(一個(gè)因子對(duì)應(yīng)一列，不能讓兩個(gè)因子對(duì)應(yīng)同一列)，然后把每列的數(shù)字"翻譯"成所對(duì)應(yīng)因子的水平。這樣，每一行的各水平組合就構(gòu)成了一個(gè)試驗(yàn)條件(不考慮沒安排因子的列)。

對(duì)于[例1]，因子A、B、C都是三水平的，試驗(yàn)次數(shù)要不少于

3×(3-1)+1＝7(次)

可考慮選用L9(34)。因子A、B、C可任意地對(duì)應(yīng)于L9(34)的某三列，例如A、B、C分別放在l、2、3列，然后試驗(yàn)按行進(jìn)行，順序不限，每一行中各因素的水平組合就是每一次的試驗(yàn)條件，從上到下就是這個(gè)正交試驗(yàn)的方案，見表2。這個(gè)試驗(yàn)方案的幾何解釋正好是圖2。三個(gè)3水平的因子，做全面試驗(yàn)需要33＝27次試驗(yàn)，現(xiàn)用L9(34)來設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案，只要做9次，工作量減少了2／3，而在一定意義上代表了27次試驗(yàn).。

再看一個(gè)用L9(34)安排四個(gè)3水平因子的例子。

[例2]某礦物氣體還原試驗(yàn)中，要考慮還原時(shí)間(A)、還原溫度(B)、還原氣體比例(D)、氣體流速(C)這四個(gè)因子對(duì)全鐵合量X〔越高越好)、金屬化率Y(越高超好)、二氧化鈦含量Z(越低越好)這三項(xiàng)指標(biāo)的影響。希望通過試驗(yàn)找出主要影響因素，確定最適工藝條件。

首先根據(jù)專業(yè)知以確定各因子的水平：

時(shí)間：A1＝3(小時(shí))，A2＝4(小時(shí))，A3＝5(小時(shí))

溫度：B1＝1000(℃)，B2＝1100(℃)，B3＝1200(℃)

流速：Cl＝600(毫升／分)，C2＝400(毫升／分)，

C3＝800(毫升／分)

CO:H2：D1＝1:2，D2＝2:1，D3＝1:1

這是四因子3水平的多指標(biāo)(X、Y、Z)問題，如果做全面試驗(yàn)需34＝81次試驗(yàn)，而用L9(34)來做只要9次。具體安排如表3。

同全面試驗(yàn)比較，工作量少了8／9。由于縮短了試驗(yàn)周期，可以提高試驗(yàn)精度，時(shí)間越長誤差于擾越大。并且對(duì)于多指標(biāo)問題，采用簡單對(duì)比法，往往顧此失彼，最適工藝條

件很難找；而應(yīng)用正交表來設(shè)計(jì)試驗(yàn)時(shí)可對(duì)各指標(biāo)通盤考慮，結(jié)論明確可靠。返回4．試驗(yàn)數(shù)據(jù)的直觀分析

正交表的另一個(gè)好處是簡化了試驗(yàn)數(shù)據(jù)的計(jì)算分折。還是以[例1]為例來說明。按照表2的試驗(yàn)方案進(jìn)行試驗(yàn)，測得9個(gè)轉(zhuǎn)化率數(shù)據(jù)，見表4。

通過9次試驗(yàn)，我們可以得兩類收獲。第一類收獲是拿到手的結(jié)果。第9號(hào)試驗(yàn)的轉(zhuǎn)化率為64，在所做過的試驗(yàn)中最好，可取用之。因?yàn)橥ㄟ^L9(34)已經(jīng)把試驗(yàn)條件均衡地打散到不同的部位，代表性是好的。假如沒有漏掉另外的重要因素，選用的水平變化范圍也合適的話，那么，這9次試驗(yàn)中最好的結(jié)果在全體可能的結(jié)果中也應(yīng)該是相當(dāng)好的了，所以不要輕易放過。

第二類收獲是認(rèn)識(shí)和展望。9次試驗(yàn)在全體可能的條件中(遠(yuǎn)不止33＝27個(gè)組合，在試驗(yàn)范圍內(nèi)還可以取更多的水平組合)只是一小部分，所以還可能擴(kuò)大。精益求精。尋求更好的條件。利用正交表的計(jì)算分折，分辨出主次因素，預(yù)測更好的水平組合，為進(jìn)一步的試驗(yàn)提供有份量的依據(jù)。

其中I、Ⅱ、Ⅲ分別為各對(duì)應(yīng)列（因子）上1、2、3水平效應(yīng)的估計(jì)值，其計(jì)算式是：Ⅰi(Ⅱi,Ⅲi)=第i列上對(duì)應(yīng)水平1（2，3）的數(shù)據(jù)和K1為1水平數(shù)據(jù)的綜合平均=Ⅰ/水平1的重復(fù)次數(shù)Si為變動(dòng)平方和=

[例1]的轉(zhuǎn)化率試驗(yàn)數(shù)據(jù)與計(jì)算分析見表4。

先考慮溫度對(duì)轉(zhuǎn)比率的影響。但單個(gè)拿出不同溫度的數(shù)據(jù)是不能比較的，因?yàn)樵斐蓴?shù)據(jù)差異的原因除溫度外還有其他因素。但從整體上看，80℃時(shí)三種反應(yīng)時(shí)間和三種用堿量全遇到了，86℃時(shí)、90℃時(shí)也是如此。這樣，對(duì)于每種溫度下的三個(gè)數(shù)據(jù)的綜合數(shù)來說，反應(yīng)時(shí)間與加堿量處于完全平等狀態(tài)，這時(shí)溫度就具有可比性。所以算得三個(gè)溫度下三次試驗(yàn)的轉(zhuǎn)化率之和：

80℃：ⅠA＝xl+x2+x3＝31+54+38＝123；

85℃：ⅡA＝x4+x5+x6＝53+49+42＝144；

90℃：ⅢA＝x7+x8+x9＝57+62+64＝183。

分別填在A列下的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三行。再分別除以3，表示80℃、85℃、90℃時(shí)綜合平均意義下的轉(zhuǎn)化率，填入下三行Kl、K2、K3。R行稱為極差，表明因子對(duì)結(jié)果的影響幅度。

同樣地，為了比較反應(yīng)時(shí)間；用堿量對(duì)轉(zhuǎn)化率的影響，也先算出同一水平下的數(shù)據(jù)和IB、ⅡB、ⅢB，Ic、Ⅱc、Ⅲc，再計(jì)算其平均值和極差。都填入表4中；

由此分別得出結(jié)論：溫度越高轉(zhuǎn)化率越好，以90℃為最好，但可以進(jìn)一步探索溫度更好的情況。反應(yīng)時(shí)間以120分轉(zhuǎn)化率最高。用堿量以6％轉(zhuǎn)化率最高。

所以最適水平是A3B2C2。返回5.正交試驗(yàn)的方差分析(一)假設(shè)檢驗(yàn)

在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中假設(shè)檢驗(yàn)的思想方法是：提出一個(gè)假設(shè)，把它與數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)照，判斷是否舍棄它。其判斷步驟如下：

(1)設(shè)假設(shè)H。正確，可導(dǎo)出一個(gè)理論結(jié)論，設(shè)此結(jié)論為R。；

(2)再根據(jù)試驗(yàn)得出一個(gè)試驗(yàn)結(jié)論，與理論結(jié)論相對(duì)應(yīng)，設(shè)為R1；

(3)比較R。與Rl，若R。與Rl沒有大的差異，則沒有理由懷疑H。，從而判定為："不舍棄H。"(采用H。)；若R。與R1有較大差異，則可以懷疑H。，此時(shí)判定為："舍棄H。"。但是，R1／R。比l大多少才能舍棄H。呢？為確定這個(gè)量的界限，需要利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)中關(guān)于F分布的理論。

若yl服從自由度為φ1的χ2分布，y2服從自由度為φ2的χ2分布，并且yl、y2相互獨(dú)立，則（y1/φ1）/(y2/φ2)服從自由度為(φ1，φ2)的F分布。F分布是連續(xù)分布，分布模數(shù)是兩個(gè)自由度(φ1，φ2)。稱φ1為分子自由度，稱φ2為分母自由度。在自由度為(φ1，φ2)的F分布中，某點(diǎn)右側(cè)面積為p，也就是F比此值大的概率為p，把這個(gè)值寫為(p)。若檢驗(yàn)的顯著性水平(或危險(xiǎn)率)給定為α?xí)r，則可以把(α)作為臨界值來檢驗(yàn)假設(shè)。

這里，Se／σ2服從自由度為φe，的χ2分布；當(dāng)H。成立，σ2＝0時(shí)，SA／σ2也服從自由度為φA的χ2分布；又SA與Se相互成立，所以(SA/(φAσ2)/Se/(φeσ2))=VA/Ve服從自由度為(φA，φe)的F分布。這就是假定H。正確時(shí)的理論結(jié)論R。。而試驗(yàn)結(jié)論Rl要與理論結(jié)論R。相比較。由給定的顯著性水平，通常是α＝0．05；分子自由度φ1＝φA＝a-l，分母自由度φ2＝φe=a(n-1)；查F分布表得出(α)。所以H。：αl＝α2=……＝αa＝0(σA2＝0)的檢驗(yàn)是：(顯著性水平α)

FA=VA/Ve>(α)→舍棄H。

FA=VA/Ve≤(α)→不舍棄H。

通常，(α)一般性地表示成Fα（φA,φB）。

假設(shè)因子A對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響不顯著，那么A的兩個(gè)水平的效應(yīng)該表現(xiàn)為相等或相近，即假設(shè)H。：α1＝α2＝0