概率論在通信系統(tǒng)中的應用

PAGE5概率論在通信系統(tǒng)中的應用學院：班級：學號：班內(nèi)序號：姓名：概率論在通信系統(tǒng)中的應用隨著移動通信的快速大規(guī)模發(fā)展，通信領域所受到的門限也越來越高，所以目前，如何通過多學科間融合發(fā)展，來促進通信這一現(xiàn)代事業(yè)向前推進，成為了亟待解決的重中之重。而概率論與隨機過程這門數(shù)學類基礎課程，更是與通信密切相關的學科之一。通信領域的信號處理在隨機過程方面有極大的依賴性；由于頻帶帶寬限制，如何通過概率論中的方法合理分配頻段也是今后將要考慮的重點。不難發(fā)現(xiàn)，概率論這門課程在通信領域有的極大的影響力與很強的重要性，因此也有人這樣總結：概率論功底達不到本科的通信就沒法學，隨機過程的功底達不到那通信方面的科研工作也沒法做。概率論在通信中主要應用在信號學，即研究系統(tǒng)在干擾輸入信號系統(tǒng)的時候系統(tǒng)穩(wěn)定性抵抗以及利用干擾進行信號傳播。實際系統(tǒng)的干擾信號很多時候都可以研究出來其分布，系統(tǒng)在這些干擾的作用下如何保證穩(wěn)定性，控制超調(diào)量，通過編碼的改進控制錯誤的擴散性等問題是很關鍵性的問題。另外有些通信方式要借助一些特定的人為干擾，例如高斯白噪聲（熱噪聲）。通信按照傳統(tǒng)的理解就是信息的傳輸。在當今高度信息化的社會，信息和通信已成為現(xiàn)代社會的“命脈”。信息一種資源，只有通過廣泛地傳播與交流，才能產(chǎn)生利用價值，促進社會成員之間的合作，推動社會生產(chǎn)力的發(fā)展，創(chuàng)造出巨大的經(jīng)濟效益。在通信系統(tǒng)的分析中，隨機過程是非常重要的數(shù)學工具，因為通信系統(tǒng)中的信號與噪聲都具有一定的隨機性，需要用隨機過程來描述。在自然界中，有一種現(xiàn)象，在發(fā)生之前只能知道該現(xiàn)象的各種可能性的發(fā)生結果，但是卻無法確認具體將發(fā)生哪一個結果，這就是隨機現(xiàn)象。例如，有n臺性能完全相同的通信機，其工作條件也相同，用n部記錄儀，記錄各部通信機的輸出噪聲波形。測試的結果表明，在其中并不能找到兩個完全相同的波形。研究可以發(fā)現(xiàn)，通信機輸出的噪聲電壓隨時間的變化時不可預知的，這是一個隨機過程。而發(fā)送信號必須有一定的不可預知性，或者說隨機性，否則就失去了傳輸?shù)膬r值。另外，介入系統(tǒng)中的干擾與噪聲，信道特性的起伏，也是隨機變化的。本學期《通信電子電路》課程中接觸到的熱噪聲就是這樣的一個例子，熱噪聲是由電阻性元器件中的電子因熱運動而產(chǎn)生的。另一個例子是在進行移動通信時，電磁波的傳播路徑不斷變化，接收信號也是隨機變化的。因此，通信中的信源，噪聲以及信號傳輸特性都可使用隨機過程來描述。隨機過程是一類隨時間作隨機變化的過程，它不能用確切的時間函數(shù)描述。隨機過程可以從兩個不同的角度來說明。一個角度是把隨機過程看成對應不同隨機試驗結果的時間過程的集合。比如在剛剛結束的模擬電子電路實驗中，利用擴音器原理實現(xiàn)信號放大。而如果不加入外加信號，并且將示波器的分度調(diào)到最小，可以看到，示波器上顯示的波形是一個隨時間不規(guī)則變化的信號波形。由所學的原理可知，在不考慮實驗器材精密程度的前提下，這個不規(guī)則的信號很有可能就是由于系統(tǒng)內(nèi)電阻的熱噪產(chǎn)生的。另外一個角度來看，隨機過程是隨機變量概念的延伸。換句話說，隨機過程在任意時刻的值是一個隨機變量。因此，我們又可以把隨機過程看作是在時間進程中處于不同時刻的隨機變量的集合。這個角度更適合對隨機過程理論進行精確的數(shù)學描述，也能更好地應用于通信系統(tǒng)。下面，讓我們主要根據(jù)隨高斯機過程來看一看這一學科在通信領域的應用。目前，高斯隨機過程被廣泛的應用于構建通信仿真系統(tǒng)中信號、噪聲和干擾的模型，在很多物理問題中的隨機現(xiàn)象都可以用高斯隨機過程進行滿意的近似，如利用中心極限定理，散彈噪聲過程就是用高斯過程近似的。高斯過程最重要的用途就是模擬和分析通信系統(tǒng)中熱噪聲的影響，當熱噪聲強度足夠大時，就可以掩蓋弱信號，并使系統(tǒng)對這些弱信號的識別變得極其困難。正態(tài)隨機過程，也稱高斯隨機過程，是通信領域中最重要也是最常見的一種過程。在實踐中觀察到的大多數(shù)噪聲都是高斯型的，例如，通信系統(tǒng)中的主要噪聲，即熱噪聲，就是一種高斯隨機過程。如果過程的任意n維（n=1,2,3……）分布均服從正態(tài)分布，剛稱它為正態(tài)過程或高斯過程。其n維正態(tài)概率刻度函數(shù)表示如下EQ\o\ac(○,1)式中：，；為歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即EQ\o\ac(○,2)為行列式中元素bjk的代數(shù)余因子；bjk歸一化的協(xié)方差函數(shù)，即EQ\o\ac(○,3)通常情況下，通信信道中的噪聲均值a=0。因此，在噪聲均值為零時，噪聲的平均功率等于噪聲的方差。即有Pn=R(0)=D[n(t)]=σ2。這個結論是非常有用的，在通信系統(tǒng)的性能分析中，常常會通過求自相關函數(shù)或方差的方法來計算噪聲的功率。重要性質(zhì)：（1）由式EQ\o\ac(○,1)可以看出，高斯過程的n維分布只依賴各個隨機變量的均值、方差和歸一化協(xié)方差。因此，對于高斯過程，只需要研究它的數(shù)字特征就可以了。（2）廣義平穩(wěn)的高斯過程也是嚴平穩(wěn)的。因為，若高斯過程是廣義平穩(wěn)的，即其均值與時間無關，協(xié)方差函數(shù)只與時間間隔有關，而與時間起點無關，則它的n維分布也與時間起點無關，幫它也是嚴平穩(wěn)的。所以，高斯過程若是廣義平穩(wěn)的，則也嚴平穩(wěn)。（3）如果高斯過程在不同時刻的取值是不相關的，即對所有，有，這時式1簡化為EQ\o\ac(○,4)這表明，如果高斯過程在不同時刻的取值是不相關的，那么它們也是統(tǒng)計獨立的。（4）高斯過程經(jīng)過線性變換后生成的過程仍是高斯過程。也可以說，若線性系統(tǒng)的輸入為高斯過程，則系統(tǒng)輸出也是高斯過程。以上幾個性質(zhì)在對高斯過程進行數(shù)學處理與計算時下分有用。比如，在分析一個過程通過線性系統(tǒng)的情況時，若是非高斯過程，輸入過程的統(tǒng)計特性并不能簡單地推出輸出過程的統(tǒng)計特性。而對于高斯過程，根據(jù)輸入過程的統(tǒng)計特性并不能簡單地推出輸出過程的統(tǒng)計特性。而對于高斯過程，根據(jù)性質(zhì)（4）可知線性時不變系統(tǒng)的輸出過程也是高斯過程，又由性質(zhì)（1）可知，高斯過程的完全統(tǒng)計描述只需要它的數(shù)字特征，即均值與相關函數(shù)，所以剩下的工作就是簡單地求出輸出過程的均值和相關函數(shù)。如果高斯過程在任一時刻上的取值是一個正態(tài)分布的隨機變量，也稱高斯隨機變量，其一維概率密度函數(shù)為EQ\o\ac(○,5)其中，和都分別為高斯隨機變量的均值和方差。在通信系統(tǒng)的性能分析中，常需要計算高斯隨機變量小于或等于某一取值的概率，它等于概率密度的積分。我們把正態(tài)分布的概率密度的積分定義為正態(tài)分布函數(shù)，它可表示為：EQ\o\ac(○,6)這個積分無法用閉合形式計算，我們一般把這個積分式與可以在數(shù)學手冊上查出函數(shù)值的一些特殊函數(shù)聯(lián)系起來計算其值。例如，對上式進行變量代換，令新積分變量，則有EQ\o\ac(○,7)式中表示誤差函數(shù)，其定義為，它是自變量遞增的函數(shù)，且有，，。也可以用互補誤差函數(shù)表示，即EQ\o\ac(○,8)式中：它是自變量遞減函數(shù)，且有，，。對于，互補誤差函數(shù)與高斯概率密度函數(shù)曲線尾部下面積成正比。當x大時（實際應用中只要），互補誤差函數(shù)可以近似為EQ\o\ac(○,9)另一種經(jīng)常用于表示高斯曲線尾部下的面積的函數(shù)記為Q(x)，其定義為EQ\o\ac(○,10)借助該函數(shù)可以計算概率。由以上式子我們可以得：利用互補誤差函數(shù)的性質(zhì)，不難得到Q（x）函數(shù)的性質(zhì)：，及。在今后分析通信系統(tǒng)的搞噪聲性能時，經(jīng)常會用到以上幾個特性簡明的函數(shù)，并且可以通過查Q（x）函數(shù)表或erf（x）函數(shù)表求出函數(shù)值。在沒有函數(shù)表的情況下，還可以利用誤差函數(shù)的近似公式求出函數(shù)值。以上就是高斯隨機過程的一些主要理論解釋及簡要概述其在哪方面應用于通信領域。由于筆者能力有限，部分專業(yè)知識和概率更深層次的理解還不能達到一定的要求，所以只分析高斯隨機過程這一概率的基礎重要知識點的通信相關，對于其它兩門學科間的聯(lián)系與交叉，會在今后的學習中慢慢理解與體會?？偠灾?，要建構通信系統(tǒng)隨機過程的模型以及實現(xiàn)對通信系統(tǒng)性能的評估