統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)知識之?dāng)?shù)據(jù)離散程度描述

統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)知識之?dāng)?shù)據(jù)離散程度描述統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)知識之?dāng)?shù)據(jù)離散程度描述離散程度指標(biāo)的種類很多，下面介紹的是常用的幾種。全距(Range)又稱極差，是指數(shù)據(jù)中最大值和最小值的差值。如果用R表示全距，用Xmax,Xmin，分別表示數(shù)據(jù)的最大值、最小值,則全距公式為：R二Xmax-Xmin。例如，前面提到的兩組數(shù)據(jù)中，第一組數(shù)據(jù)的全距R=21-19=2，第二組數(shù)據(jù)的全距R=25-15=10。通過全距的數(shù)值我們可以確定第二組數(shù)據(jù)的離散程度更大。由此，我們可以記住一個一般性結(jié)論：離散指標(biāo)的數(shù)據(jù)越小，說明數(shù)據(jù)的變異程度就越小;數(shù)值越大，則說明數(shù)據(jù)的.變異程度越大。當(dāng)然，這個結(jié)論只有在同類離散指標(biāo)相比較時才會有意義。全距指標(biāo)的應(yīng)用問題全距指標(biāo)的含義容易理解，計(jì)算也很簡便。因此，在某些場合具有特殊的用途。例如，要說明一個地區(qū)的溫度情況，沒有比用溫差說明更好的指標(biāo)了。在描述一種股票的波動情況時，最高價(jià)和最低價(jià)的差是常使用的特征值。另外，在成品質(zhì)量控制方法中，R控制圖也是全距的一種應(yīng)用。但是，全距在計(jì)算上只與兩個極端值有關(guān)因此它不能反應(yīng)其他數(shù)據(jù)的分散情況，就這一點(diǎn)來說，全距只是一個比較粗糙的測度指標(biāo)。如果需要全面、精確地說明數(shù)據(jù)離散程度時，就不宜使用全距。平均差(MeanAbsoluteDeviation)就是各項(xiàng)數(shù)值與其均值之差絕對值之和的平均數(shù)。用MAD表示平均差，其公式為：所謂離散，是個相對概念，需要用一個標(biāo)準(zhǔn)來衡量。因?yàn)榫凳亲钪匾彩亲畛Ｓ玫闹笜?biāo)，所以就成為衡量離散程度的一個常用標(biāo)準(zhǔn)。方法就是用各項(xiàng)數(shù)據(jù)與與均值相減，通常將這個差值稱為離差(Deviation)。離差數(shù)值的大小就可以說明數(shù)據(jù)的偏離程度。但是，可以證明因?yàn)橄鄬τ诰档恼?、?fù)偏差之和是相等的。為了解決離差正、負(fù)值抵消的問題，統(tǒng)計(jì)學(xué)家使用了絕對值的方法，如平均差，更多使用的是平方的方法，如方差，然后再用平均的方法，消除掉由于數(shù)據(jù)項(xiàng)數(shù)多少給離差值帶來的影響，即從指標(biāo)的含義來看，平均差的數(shù)值代表了所有數(shù)據(jù)離均值的平均距離，使用該數(shù)據(jù)說明數(shù)據(jù)的離散程度，比較容易理解。平均差的應(yīng)用問題雖然平均差簡單易懂，但因?yàn)槭褂昧私^對值，不便于進(jìn)一步計(jì)算所以在實(shí)際應(yīng)用中不如其他離散指標(biāo)應(yīng)用那樣廣泛。但在預(yù)測領(lǐng)域還常常使用該指標(biāo)用于誤差的說明。方差(Variance)就是全部數(shù)據(jù)離差平方的平均數(shù)?？傮w方差表示,計(jì)算公式為：方差克服了平均差絕對值的問題，成為描述離散程度的一個重要指標(biāo)。但是，在方差數(shù)值含義的解釋上卻遇到困難。因?yàn)榉讲畹膯挝皇菙?shù)據(jù)單位的平方，夸大了數(shù)據(jù)的離散程度，使人不易直觀理解數(shù)值意義。因此，通常取方差的算數(shù)平方根作為描述離散程度的指標(biāo)，即標(biāo)準(zhǔn)差(StandardDeviation)。總體標(biāo)準(zhǔn)差的公式表示如下：如果用上面的數(shù)據(jù)計(jì)算，對于這個數(shù)據(jù)，我們就很容易理解它的含義了。=方差、標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用問題總體方差表示，總體標(biāo)準(zhǔn)差用表示，而樣本方差用S2表示，樣本標(biāo)準(zhǔn)差用S表示，不能混淆樣本方差與標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式如下：可以看到，樣本方差及標(biāo)準(zhǔn)差與總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式略有不同。樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差的分母是n-1而不是n。因?yàn)闃颖镜姆讲詈蜆?biāo)準(zhǔn)差在使用中，經(jīng)常作為總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量，分母除以n-1而不是n，可以得到總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差的較好的估計(jì)量。離散系數(shù)(CoefficientOfVariation)就是標(biāo)準(zhǔn)差與均值的比值。一般用V表示。總體的離散系數(shù)表示：樣本的離散系數(shù)表示為離散系數(shù)的應(yīng)用問題離散系數(shù)實(shí)質(zhì)上是標(biāo)準(zhǔn)差相對于均值的大小。因此，如果比較均值不相同的兩組數(shù)據(jù)相對離散程度時，使用離散系數(shù)，要比使用標(biāo)準(zhǔn)差更準(zhǔn)確。例如，假定有甲、乙兩個工人，甲平均每小時生產(chǎn)40個零件，標(biāo)準(zhǔn)差是5件。乙平均每小時生產(chǎn)80個零件，標(biāo)準(zhǔn)差為6件。那么那個工人的穩(wěn)定性比較好呢?根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的定義，標(biāo)準(zhǔn)差越小，離散性就越小，所以甲生產(chǎn)要比乙穩(wěn)定。但是，我們看到乙的標(biāo)準(zhǔn)差雖然比甲略高，但其生產(chǎn)的能力確實(shí)甲的2倍(80/40)。也就是說，6相對于80的變化要小于5相對于40的變化，這個含義就是離散系數(shù)。計(jì)算過程如下：由此可見，乙的離散系數(shù)小于甲，所以乙的生產(chǎn)要比甲相對穩(wěn)定離散系數(shù)是個無名數(shù)，這是它與其他離散指標(biāo)的最大區(qū)別。全距、平均差還有標(biāo)準(zhǔn)差，它們都是有名數(shù)，其單位與原始數(shù)據(jù)的單位一致。離散系數(shù)的這一特點(diǎn)使其不僅可以說明同類事物的相對離散程度，還可以說明不同類