化工應(yīng)用數(shù)學(xué) 4第四章 量綱分析

第四章

量綱分析任課老師：程道建副教授

E-mail:chengdj@精品資料§1.單位(dānwèi)和量綱

單位：度量同一(tóngyī)物理量的大小。如長度有m、cm、mm，時間有h、min、s。量綱（因次）：物理量的種類。如長度用[L]，時間[T],質(zhì)量［M］，無論量的大小都用同一符號表示。量綱分析精品資料基本量綱：相互獨(dú)立的量綱，相互之間不能導(dǎo)出，而其它量的量綱可由基本量導(dǎo)出。一般取長度［L］、時間(shíjiān)［T］、質(zhì)量［M］、溫度［Θ］導(dǎo)出量綱：其它物理量的量綱可由基本量綱導(dǎo)出，例如(lìrú)速度量綱［］，面積［］，壓強(qiáng)［］精品資料單位(dānwèi)、量綱、基本量綱、導(dǎo)出量綱舉例任何物理量都有量綱，基本量綱用大寫字母表示，如下表表1基本量綱每個基本量綱都有一個基本單位，該基本單位與單位制有關(guān)。下表為兩種主要單位制表2國際(guójì)單位制和英制單位基本量綱符號基本量綱符號

長度物質(zhì)的量

質(zhì)量電荷

時間光照度

溫度基本量綱國際單位制(SI)英制基本量綱國際單位制(SI)英制長度，米，英尺，溫度，攝氏度，或開爾文，華氏度，或蘭金溫度，質(zhì)量，千克，磅質(zhì)量，時間，秒，秒，物質(zhì)的量，摩爾，摩爾，不同單位制之間有嚴(yán)格的轉(zhuǎn)換方法去年考題：寫出任意5個基本單位及量綱精品資料為了便于描述物理量，復(fù)合單位應(yīng)運(yùn)而生，例如和。下表列出了常用前綴表3復(fù)合單位的前綴最后一種(yīzhǒnɡ)單位是導(dǎo)出單位。它是基本單位的衍生物并具有特定的名稱。如下表表4導(dǎo)出單位與量綱前綴符號乘數(shù)(數(shù)值)前綴符號乘數(shù)(數(shù)值)兆微千納厘皮毫物理量量綱SI單位物理量量綱SI單位體積壓力(=力/面積)速度加速度能量動量()力()

(牛頓)瓦特單位、量綱(liànɡɡānɡ)、基本量綱(liànɡɡānɡ)、導(dǎo)出量綱(liànɡɡānɡ)舉例去年考題：推導(dǎo)五個導(dǎo)出單位及量綱精品資料量綱(liànɡɡānɡ)一致性:求和關(guān)系中的各量必須具有相同的量綱(liànɡɡānɡ)例：總能量=動能+勢能(1)(2)(3)符號[=]表示“具有……的量綱(liànɡɡānɡ)”。2.求和關(guān)系中的各量必須具有相同的單位

兩條基本規(guī)則方程中各項可同時(tóngshí)用m、cm、mm但量綱都是［L］。去年考題：量綱一致性推導(dǎo)及無因次數(shù)群推導(dǎo)精品資料例子.鐘擺的量綱分析下面用量綱分析的方法得到鐘擺運(yùn)動的數(shù)學(xué)描述(鐘擺模型如右圖)表5鐘擺參數(shù)希望利用小鐘擺模并由物理參數(shù)預(yù)測擺動周期。我們(wǒmen)假設(shè)有下方程的形式的函數(shù)(4)或(5)由之前講到的兩條基本規(guī)則可知，上面函數(shù)的每一項必須為時間量綱。這就意味著式(5)應(yīng)該和質(zhì)量無關(guān)，因為沒有能消除質(zhì)量量綱的互補(bǔ)項！這樣，函數(shù)簡化為(6)物理量符號量綱物理量符號量綱擺動周期重力加速度鐘擺長度擺幅無()鐘擺質(zhì)量精品資料如果長度出現(xiàn)在式(6)中，則必須用除以消除長度量綱，即(7)也就是說，如果長度出現(xiàn)在式(6)中，那么必然以的形式出現(xiàn)。這樣式(6)變?yōu)?8)又(9)

且，是無量綱的，因此(10)上式中量綱不能為函數(shù)提供任何信息。接下來，我們只需要測定不同和時鐘擺的行為了，而不需要去花費(fèi)時間考慮質(zhì)量的影響。這說明量綱分析縮短了實驗的進(jìn)程。而且，對實驗數(shù)據(jù)的分析時，我們有理由相信可在固定擺幅的情況下將對作圖，這說明量綱分析簡化(jiǎnhuà)了數(shù)據(jù)分析過程。通過實驗測定發(fā)現(xiàn)，當(dāng)擺幅較小時(),周期與擺幅無關(guān)，也就是說和之間為線性關(guān)系，斜率為。因此，任何擺鐘運(yùn)動由以下簡單的函數(shù)形式(11)

精品資料§2.量綱分析法量綱分析法是將物理現(xiàn)象所涉及的物理量組成無量綱綜合量。利用定理使無量綱綜合量構(gòu)成函數(shù)(hánshù)關(guān)系，該關(guān)系式反映了物理量之間的內(nèi)在規(guī)律，并使自變量的個數(shù)減到最少。精品資料無量綱綜合量：由n個物理量組合成的無量綱數(shù)稱之。用表示(biǎoshì)。例如：表示無量(wúliàng)綱綜合量，解出有理數(shù)m可得項。精品資料白金漢定理：設(shè)某個物理現(xiàn)象與n個物理量有關(guān)q1,q2,,qn，這n個物理量的函數(shù)關(guān)系(guānxì)為F(q1,q2,,qn)=0。若這n個物理量的基本量綱為m個，則這n個物理量可組成（n-m）個無量綱數(shù)1,2,,n-m，這些無量綱數(shù)也存在函數(shù)關(guān)系(guānxì)F(1,2,,n-m)=0。去年(qùnián)考題：無因次數(shù)群推導(dǎo)（2題，25分）精品資料例子.步行的量綱分析由于人的構(gòu)造是相似的，因此應(yīng)當(dāng)可以根據(jù)一些物理參數(shù)用量綱分析的方法(fāngfǎ)預(yù)測人的速度。通過分析，下標(biāo)列出一些可能與人的步行速度相關(guān)的物理量表6步行參數(shù)現(xiàn)在用量綱分析來指導(dǎo)步行數(shù)據(jù)的測量和分析。先回想一下鐘擺的分析思路：以上的分析過程簡單直觀，但是只是針對此類簡單問題。下面介紹一種通用方法(fāngfǎ)——無量綱分析法。把式(11)寫成(12)上式就是一個無量綱的式子。參數(shù)符號量綱參數(shù)符號量綱速度重力腿長步長質(zhì)量量綱分析實驗測定/數(shù)據(jù)分析精品資料一個無量綱的項稱為數(shù)群?，F(xiàn)在要尋找一個能夠描述步行的數(shù)群。如下(13)式中是待定參數(shù)。式(13)的量綱表達(dá)式為(14)由于必須是無量綱的，所以有(15)從上式可知，質(zhì)量對步行過程無貢獻(xiàn)()。上式剩2個方程4個未知數(shù)，有無窮的組合能滿足方程。因此必須指定一些情況。引入白金漢定律：(16)因此，在此例中。為了確定這2個無因(wúyīn)次數(shù)群，還需以下規(guī)則

無因次數(shù)(cìshù)群數(shù)目()=參數(shù)個數(shù)-量綱數(shù)目(方程數(shù)目)對于每個數(shù)群，必須選擇一個“核心變量”精品資料核心變量(biànliàng)是指出現(xiàn)在一個數(shù)群中的參數(shù)。它是一個無因次數(shù)群的核心。我們的目的是:尋找一個用無因次數(shù)群表示的函數(shù)形式。如(17)現(xiàn)在，和這兩個數(shù)群。這兩個數(shù)群分別以速度和步長為核心變量(biànliàng)。:該無因次數(shù)群包含而不包含。因此的指數(shù)項必須為0，即。任選一數(shù)作為的指數(shù)()。故得(18)所以(19)

上式的平方就是該數(shù)群的傳統(tǒng)形式(弗勞數(shù))，且取該數(shù)群的平方不會影響分析結(jié)果。我們采用傳統(tǒng)形式，即

(20)精品資料：該無因次數(shù)群包含而不包含。同上面的分析有和。故得(21)所以(22)我們決定，將含步長的無因次數(shù)群作為含速度無因次數(shù)群的函數(shù)(反過來也一樣):(23)

(24)對上式的解釋:對比步長是對比速度的函數(shù)。也就是說，平方按進(jìn)行了比例縮放，步長按腿長進(jìn)行了比例縮放。通過這些縮放(動態(tài)比例縮放)，使得所有步行者都滿足式(24)——普適關(guān)聯(lián)式。也就是說，按照同樣方法縮放步長，則一個(yīɡè)8in與一個(yīɡè)6in的人，他們的步行可能是動態(tài)相似的。對比步長與對比速度之間的確定關(guān)系不能從量綱分析中得到，這需要實驗的測定以及數(shù)據(jù)分析。例如，做的關(guān)于的圖。步行者的弗勞常數(shù)越大，則步行速度就越快。精品資料例：不可壓粘性流體在水平(shuǐpíng)直管中作定常運(yùn)動，其壓力損失與下列因素有關(guān)，試用定理確定的規(guī)律。1）由題意假定(jiǎdìng)函數(shù)關(guān)系式：精品資料2）寫出無量(wúliàng)綱方程：取基本量綱為長度［L］、時間(shíjiān)［T］質(zhì)量［M］由定理可知，可寫出(n-m)=4個無量綱量即無量綱方程為3）取獨(dú)立變量選直徑d、速度V、密度ρ為獨(dú)立變量精品資料獨(dú)立變量的量綱(liànɡɡānɡ)分別為：其它(qítā)幾個變量的量綱為：精品資料4）寫出量綱(liànɡɡānɡ)方程利用量綱和諧原理(yuánlǐ)，方程兩邊量綱應(yīng)相等解得：令：精品資料同理：精品資料令：解得：精品資料精品資料同理5）組成(zǔchénɡ)無量綱函數(shù)關(guān)系式精品資料達(dá)西公式(gōngshì)精品資料考試題目(tímù)舉例精品資料量綱分析設(shè)計工具無因次數(shù)群之間的相互關(guān)系即設(shè)計工具。前面介紹到的對比步長與的關(guān)系對于機(jī)器人是一種設(shè)計工具。根據(jù)量綱分析開發(fā)設(shè)計工具的過程如下圖:無因次數(shù)群之間的關(guān)聯(lián)式很多，我們沒必要記住所有的關(guān)聯(lián)式，而重要的是，要知道如何應(yīng)用動態(tài)相似原理(yuánlǐ)來建立新的設(shè)計工具。量綱分析及實驗查圖設(shè)計工具(例如雷諾數(shù)和弗勞德數(shù)之間的關(guān)聯(lián)式)過程的屋里描述(如流體在管內(nèi)流動)動態(tài)相似原理過程特征(如流體類型，管徑及管長)過程性能預(yù)測量綱分析工具的建立和應(yīng)用過程示意圖精品資料例子1固體球在流體中運(yùn)動的量綱分析現(xiàn)在將量綱分析應(yīng)用于另一種現(xiàn)象:球的終端速度。例如：a.水中淤泥的沉降。泥水澄清需要多長時間。b.空氣中的灰塵。公司煙囪的灰塵會落在自己公司的地界上、附近城鎮(zhèn)，還是落入海中？核冬天能持續(xù)多久？c.在流體中拖動一個球需要什么力？在這些例子中，顆粒要么太小，要么終端速度太慢(核冬天預(yù)計可持續(xù)),這樣直接測量實際過程是不現(xiàn)實的。所以，考慮對一個方便可測的系統(tǒng)進(jìn)行測定，并利用量綱分析將實驗結(jié)果縮放到我們感興趣但又無法進(jìn)行實驗的實際過程。確定球在流體中的物理參數(shù)。通過分析得到如下參數(shù)表：表7球在流體中運(yùn)動的有關(guān)參數(shù)備注1：球的密度歸結(jié)到浮力當(dāng)中了，流體的質(zhì)量(zhìliàng)歸結(jié)到流體密度當(dāng)中了。備注2：黏度量綱的計算：剪應(yīng)力/面積參數(shù)符號量綱參數(shù)符號量綱終端速度流體黏度球直徑流體密度浮力重力加速度精品資料現(xiàn)在確定這些無因次數(shù)群，任何數(shù)群都具有一般形式(xíngshì)(25)(26)同樣有，(27)根據(jù)白金漢定律:。需要選定3個核心變量。選擇核心變量的原則：a.我們想知道什么？因變量是速度。b.在實驗中，我們打算改變哪些參數(shù)?通過分析可以選出3個核心變量，但此例中選擇傳統(tǒng)的核心變量，即，，和。下面來推導(dǎo)數(shù)群。精品資料:包含,但不包含另外兩個核心變量。同理有，和。故有(28)所以(29)即，浮力按照流體密度進(jìn)行了縮放，不妨稱為(chēnɡwéi)對比浮力。:包含,但不包含另外兩個核心變量。同理有，和。故有(30)所以(31)精品資料所以(32)上式的倒數(shù)即是弗勞德數(shù)。上式取倒數(shù)不會(bùhuì)影響分析結(jié)果，而且取倒數(shù)便于與類似的系統(tǒng)進(jìn)行分析比較，所以式(32)采用其倒數(shù)形式慣性力/重力(33)：數(shù)群包含，但不包含另兩個核心變量。同理有，和。故有(34)

所以，(35)

取上式的倒數(shù)并不會(bùhuì)影響分析結(jié)果，上式變?yōu)?/p>

(36)

精品資料式(36)也許是最著名的無因次數(shù)群——雷諾數(shù)。與上面的弗勞德數(shù)一樣，雷諾數(shù)也可以表示為兩個力之比慣性力/黏性力(37)到這里之后，量綱分析不能給我們帶來更多的東西了?，F(xiàn)在需要通過實驗(shíyàn)測定和數(shù)據(jù)分析才能得出對比浮力、弗勞德數(shù)和雷諾數(shù)之間的關(guān)系。下面直接給出相關(guān)結(jié)果:a.當(dāng)時，球體在流體中處于層流區(qū)域，函數(shù)形式為:(斯托克斯定律)(38)b.當(dāng)時，球體在流體中處于過渡流區(qū)域，函數(shù)形式為:(39)c.當(dāng)時，球體在流體中處于湍流區(qū)域，函數(shù)形式為:

(牛頓阻力定律)(40)精品資料如何運(yùn)用式(38)-(40)解決實際問題呢？例：要計算直徑1微米(wēimǐ)的固體顆粒在50千米的高空下落到地面時所用的時間t。且

假設(shè)，該系統(tǒng)處在層流區(qū)域，即。則用式(38)來計算，即用斯科托斯定律來計算，這里直接給出速度結(jié)果(41)所以(42)現(xiàn)在計算雷諾數(shù)，可知，因此可以應(yīng)用斯科托斯定律。

根據(jù)假設(shè)的區(qū)域選擇適當(dāng)?shù)姆匠逃嬎愠鏊俣龋⒆罱K求出雷諾數(shù)，看是否與假設(shè)吻合假設(shè)所計算系統(tǒng)的雷諾數(shù)所處的區(qū)域精品資料例子2動態(tài)放大—阿拉斯加管線前面實例，都是先通過量綱分析，然后實驗，最終得出函數(shù)關(guān)系式，用函數(shù)關(guān)系式外推到量綱相似的一些現(xiàn)象。如果我們不想得到具體的函數(shù)關(guān)系，還可以采用什么方法來分析呢？我們可以通過模型體系上的一次實驗來預(yù)測該實際體系在“這些特定條件”的行為，“這些特定條件”就是動態(tài)相似原理告訴(ɡàosù)我們的“模型體系與實際體系無因次數(shù)群的大小必須相等”?，F(xiàn)在，我們來考察阿拉斯加輸油管線的一臺泵，如右圖所示。假定每1000m安裝一個泵，希望其流率為。問每臺泵必須提供多大壓力?即(43)如果建立一個全尺寸的模型來測定壓力降是不現(xiàn)實的。我們來搭建一個模型裝置，僅在模型裝置上做一次實驗。我們令模型系統(tǒng)與阿拉斯加管線系統(tǒng)的無因次數(shù)群值相等，這樣，兩個系統(tǒng)就是動態(tài)相似的。以下是步驟：a.導(dǎo)出管內(nèi)流體流動的無因次數(shù)群；b.令實際系統(tǒng)和模型系統(tǒng)的無因次數(shù)群相等。精品資料步驟(a1):通過分析(fēnxī)，我們得到以下參數(shù)表表8管內(nèi)流體流動的參數(shù)步驟(a2):寫出無因次數(shù)群的通式(44)(45)所以(46)參數(shù)符號量綱參數(shù)符號量綱壓力降速度管長黏度管徑密度精品資料步驟(a3):根據(jù)白金漢定律:。需要選定3個核心變量。步驟(a4):選擇與3個數(shù)群對應(yīng)的3個核心變量我們要求的一個參數(shù)。這是可以(kěyǐ)調(diào)節(jié)的一個參數(shù)。這是流體的一種性質(zhì)。正如前面介紹的一樣，選擇一套適合的核心變量是有章可循的。規(guī)則1：系統(tǒng)的所有量綱必須體現(xiàn)在核心變量中規(guī)則2：核心變量之間不能形成一個無因次數(shù)群步驟(a5):導(dǎo)出數(shù)群:包含而不包含其他兩核心變量。從而有(47)解得(48)

精品資料上式即歐拉數(shù)，它是化學(xué)工程中的一個常用數(shù)群。摩擦力/慣性力(49):包含而不包含其他的兩個核心變量(biànliàng)，從而有(50)解得(51):包含而不含其他的兩個核心變量(biànliàng)，從而有(52)精品資料解得(53)上式的倒數(shù)就是雷諾數(shù)的變形。慣性力/黏性力(54)的大小表征了流體(liútǐ)流動的特征。雷諾數(shù)和直接導(dǎo)出的式(53)一樣都可以作為第三個無因次數(shù)群。為了方便起見，就用雷諾數(shù)作為第三個無因次數(shù)群。現(xiàn)在，設(shè)計一個模型系統(tǒng)來預(yù)測實際系統(tǒng)的特性。為此這兩個系統(tǒng)中無因次數(shù)群的大小必須相同，即(55)這就是動態(tài)相似性。

去年(qùnián)考題：量綱分析設(shè)計（1題，15分）精品資料現(xiàn)在設(shè)計一個室內(nèi)操作的模型裝置系統(tǒng)。通過(tōngguò)適當(dāng)大小的玻璃管內(nèi)水的流動過程來模擬阿拉斯加管線的實際情況。先將流率轉(zhuǎn)化為SI制。(56)現(xiàn)在計算平均流速。

(57)所以平均流速為(58)該系統(tǒng)的參數(shù)見下表表9管內(nèi)流體流動的參數(shù)流率=流速x管橫截面積參數(shù)符號阿拉斯加系統(tǒng)室內(nèi)裝置系統(tǒng)參數(shù)符號阿拉斯加系統(tǒng)室內(nèi)裝置系統(tǒng)壓力降？待測速度待計算管長1000m待計算流體黏度

(油)

(水)管徑1m0.003m(內(nèi)徑)流體密度(油)

(水)精品資料如何來計算玻璃管長和水的流速呢？令無因次數(shù)群相等。由來計算。(59)利用來計算(60)和都是合理的。如果其中一個結(jié)果不合理，可以選用其它(qítā)的流體或不同的管徑。精品資料現(xiàn)在，通過模型裝置系統(tǒng)來測定。在該系統(tǒng)中，應(yīng)有多大體積流？

(61)靠調(diào)節(jié)模型裝置的閥門來達(dá)到指定流率(此例中式達(dá)到式(61)指定的流率)。再在距離3m的玻璃管上鉆兩個孔，并按上垂直(chuízhí)管，通過測量兩垂直(chuízhí)管中水柱的高度差來測定模型系統(tǒng)的壓力降。本例中高度差為2.9cm，轉(zhuǎn)換為SI單位有(62)現(xiàn)在使用歐拉數(shù)來求得實際系統(tǒng)中的壓力降(63)

由上可知，實際體系的壓力降可以從模型上的一次實驗結(jié)果得到。然而，并沒有得到函數(shù)關(guān)系。因此，如果實際系統(tǒng)任一參數(shù)發(fā)生了變化，就必須做一次新的實驗才行。精品資料例子3流體在管內(nèi)流動上節(jié)導(dǎo)出了流體在管內(nèi)流動的三個數(shù)群：摩擦力/慣性力(64)

對比長度(65)慣性力/黏性力(66)對于實際管道，還需要另外一個參數(shù)，即管粗糙度。粗糙度是管道材料的一種固有性質(zhì)。玻璃管比水泥排水管更光滑。管內(nèi)污垢的積累也會形成粗糙度。由于粗糙度變化很大，因此(yīncǐ)沒有一種精確的表征方法。描述粗糙度的一個靈敏參數(shù)是管壁凸出物的平均高度。為了更合理的表征粗糙度，應(yīng)該用管徑來歸一化，即。因為，1mm的粗糙度對直徑1m的管道無足輕重()，但對直徑1cm的管子()將是重要的。在研究球體終端速度時，將兩個數(shù)群組合可以形成一個復(fù)合的無因次數(shù)群——摩擦因子(67)精品資料對流體在管內(nèi)流動的類似分析發(fā)現(xiàn)，歐拉數(shù)與對比長度也可以組合出一個稱作摩擦(mócā)因子的無因次數(shù)群。范寧摩擦(mócā)因子由下式給出(68)在高雷諾數(shù)區(qū)域，粗糙度使摩擦(mócā)因子增加，該區(qū)域是湍流。精品資料熱流體B涼流體B冷流體A溫流體A熱換器例子4流體(liútǐ)在管內(nèi)流動傳熱在前面的很多過程設(shè)計中已經(jīng)包含換熱氣裝置了，換熱器的一般形式如下圖熱換器一般都是“管殼”式的。經(jīng)過分析，考察流體(liútǐ)在管內(nèi)流動傳熱過程需要的參數(shù)包括前面介紹到的表(8)描述管內(nèi)流體(liútǐ)流動的參數(shù)，同時應(yīng)包括有關(guān)傳熱有關(guān)的參數(shù)

表10管內(nèi)流體(liútǐ)流動的傳熱參數(shù)參數(shù)符號單位(SI)量綱參數(shù)符號單位(SI)量綱傳熱速率熱容溫差導(dǎo)熱系數(shù)精品資料下面來簡單解釋上表各參數(shù)。正如密度差是球體在流體中升降的推動力一樣，溫差是傳熱的推動力一樣，溫差是傳熱的推動力。熱容是流體吸收熱量的能力；溫度升高是由于吸收能量造成的。導(dǎo)熱系數(shù)(xìshù)是能量的傳遞系數(shù)(xìshù)，或傳熱阻力的倒數(shù)；導(dǎo)熱系數(shù)(xìshù)高意味著傳熱阻力小。類似地，球體在流體中運(yùn)動的阻力是流體的黏度。通常將傳熱速率與溫差和管的表面積結(jié)合起來得到傳熱系數(shù)(xìshù):(69)根據(jù)這些參數(shù)，我們可以得到4個無因次數(shù)群，其中3個為雷諾數(shù)=慣性力/黏性力(70)

斯坦頓數(shù)=傳熱的熱量/熱容量(71)

普朗特數(shù)=動量/熱通量(72)第4個無因次數(shù)群包含壓力降。然而實驗表明，第4個無因次數(shù)群是多余的。精品資料雷諾數(shù)表示流體流動的動力學(xué)，斯坦頓數(shù)表示熱量流動的動力學(xué)，普朗特數(shù)表征了流動過程中被加熱物質(zhì)的性質(zhì)。給定3個無因次數(shù)群后，就可以作圖。例如，我們(wǒmen)可取(流體類型)為參量，將(傳熱動力學(xué))對(流體流動動力學(xué))作圖。通過作圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，這樣就能分析出這3個無因次數(shù)群的函數(shù)關(guān)系。這里就不再贅述了。精品資料例子5氣體壓縮因子前面已經(jīng)將量綱分析應(yīng)用于換熱器設(shè)備。量綱分析還能應(yīng)用于一些基本系統(tǒng)，例如純氣體物質(zhì)。理想氣體模型(如高溫低壓氣體模型)已經(jīng)被熟知，它服從理想氣體定律。如果要擴(kuò)展到理想氣體范圍之外，就需要測量特定氣體的性質(zhì)，然后作圖分析，建立相關(guān)模型。但如果沒有實驗數(shù)據(jù)，該怎么做才能建立非理想氣體模型？是否所有(suǒyǒu)氣體的行為都能用一條通用曲線表示呢？量綱分析提供了建立氣體通用曲線的基礎(chǔ)。通過