二項分布與超幾何分布專題訓練

二項分布與超幾何分布專題訓練一、知識梳理知識點一n重伯努利試驗及其特征n重伯努利試驗的概念將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗.n重伯努利試驗的共同特征同一個伯努利試驗重復做n次.各次試驗的結(jié)果相互獨立.知識點二二項分布一般地，在n重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1),用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X=k)=Cnpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…，n.稱隨機變量X服從二項分布，記作X?B(n,p).知識點三二項分布的均值與方差若X?B(n,p)，則E(X)=np，D(X)=np(1-p).知識點四超幾何分布定義：一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品，從N件產(chǎn)品中隨機抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為r.P(X=k)=CkMCN-M，k=m，m+1,m+2,其中n,N,MEN*,MWN,nWN,m=max{0,n—N+M},r=min{n,M}r.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布.2?均值：E(X)=N?二、題型歸納】考點一：超幾何與二項分布概念的辨析【例1-1】下列隨機變量中，服從超幾何分布的有 .(填序號)在10件產(chǎn)品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，記取到的次品數(shù)為X；從3臺甲型彩電和2臺乙型彩電中任取2臺，記X表示所取的2臺彩電中甲型彩電的臺數(shù)；一名學生騎自行車上學，途中有6個交通崗，記此學生遇到紅燈數(shù)為隨機變量X.【例1-2】下列例子中隨機變量E服從二項分布的有 .隨機變量E表示重復拋擲一枚骰子n次中出現(xiàn)點數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)；某射手擊中目標的概率為0.9,從開始射擊到擊中目標所需的射擊次數(shù)E；有一批產(chǎn)品共有N件，其中M件為次品,采用有放回抽取方法，E表示n次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù)(M〈N)；有一批產(chǎn)品共有N件，其中M件為次品，采用不放回抽取方法，E表示n次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù).【考點精練】一個袋中有6個同樣大小的黑球，編號為1,2,3,4,5,6,還有4個同樣大小的白球，編號為7,8,9,10.現(xiàn)從中任取4個球，有如下幾種變量：X表示取出的最大號碼；X表示取出的最小號碼；取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，X表示取出的4個球的總得分；X表示取出的黑球個數(shù).這四種變量中服從超幾何分布的是（）A.①② B.③④ C.①②④ D.①②③④2?下列隨機事件中的隨機變量X服從超幾何分布的是（ ）將一枚硬幣連拋3次，記正面向上的次數(shù)為X從7男3女共10名學生干部中隨機選出5名學生干部，記選出女生的人數(shù)為XC?某射手的射擊命中率為0.8,現(xiàn)對目標射擊1次，記命中的次數(shù)為XD.盒中有4個白球和3個黑球，每次從中摸出1個球且不放回，記第一次摸出黑球時摸取的次數(shù)為X3?下列例子中隨機變量服從二項分布的個數(shù)為（ ）某同學投籃的命中率為0?6,他10次投籃中命中的次數(shù)￡；某射手擊中目標的概率為0.9,從開始射擊到擊中目標所需的射擊次數(shù)￡；從裝有5個紅球，5個白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球為止，摸到白球時的摸球次數(shù)￡；有一批產(chǎn)品共有N件，其中M件為次品，采用不放回抽取方法，￡表示n次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù)A.0B.1A.0B.1C.2D.34?下列選項中的隨機變量不服從兩點分布的是（ ）拋擲一枚骰子，所得點數(shù)X某射擊手射擊一次，擊中目標的次數(shù)XC.從裝有除顏色外其余均相同的5C.從裝有除顏色外其余均相同的5個紅球，3個白球的袋中任取1個球，設(shè)X1,取出白球<0,取出紅球D.某醫(yī)生做一次手術(shù)，手術(shù)成功的次數(shù)X考點二：二項分布的均值與方差【例2】?已知隨機變量:，耳滿足2C+H=9，且匚?B（8,p）,E（匚）二2，則e（q）,D（q）分別是（ ）A.5,3B.5,6A.5,3B.5,6C.8,3D.8,6【考點精練】(1、1?設(shè)隨機變量X,Y滿足：Y=3X-1,X?B2,-，則V(Y)=()V3丿A.4 B.5 C.6 D.72?設(shè)隨機變量B(2,p),q~B(4,p)，若P(￡>1)=9，則P(q>2)的值為( )9A.3281cA.3281c65D.16813?已知隨機變量X?B（5,0.2），隨機變量Y=5X+10，則（ ）A.E（Y）=5 B.E（Y）=10 C.D（Y）=20 D.D（Y）=30考點三：二項分布【例3】很多新手拿到駕駛證后開車上路，如果不遵守交通規(guī)則，將會面臨扣分的處罰，為讓廣大新手了解駕駛證扣分新規(guī)定，某市交警部門結(jié)合機動車駕駛?cè)擞羞`法行為一次記12分、6分、3分、2分的新規(guī)定設(shè)置了一份試卷（滿分100分），發(fā)放給新手解答，從中隨機抽取了12名新手的成績，成績以莖葉圖表示如圖所示，并規(guī)定成績低于95分的為不合格，需要加強學習，成績不低于95分的為合格.687288955667891000（1） 求這12名新手的平均成績與方差；（2） 將頻率視為概率，根據(jù)樣本估計總體的思想，若從該市新手中任選4名參加座談會，用X表示成績合格的人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望.【考點精練】影響青少年近視形成的因素有遺傳因素和環(huán)境因素，主要原因是環(huán)境因素學生長時期近距離的用眼狀態(tài)，加上不注意用眼衛(wèi)生、不合理的作息時間很容易引起近視除了學習，學生平時愛看電視、上網(wǎng)玩電子游戲、不喜歡參加戶外體育活動，都是造成近視情況日益嚴重的原因為了解情況，現(xiàn)從某地區(qū)隨機抽取16名學生，調(diào)查人員用對數(shù)視力表檢查得到這16名學生的視力狀況的莖葉圖（以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉），如圖.學生視力測試結(jié)果6 6 6 7 7 7S12（1） 寫出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù).（2） 若視力測試結(jié)果不低于5.0,則稱為“好視力”?從這16名學生中隨機選取3名，求至少有2名學生是“好視力”的概率；以這16名學生中是“好視力”的頻率代替該地區(qū)學生中是“好視力”的概率若從該地區(qū)學生（人數(shù)較多）中任選3名，記X表示抽到“好視力”學生的人數(shù)，求X的分布列.甲、乙二人進行定點投籃比賽，已知甲、乙二人每次投進的概率均為丄，兩人各投1次稱為一輪投籃.2（1） 求乙在前3次投籃中，恰好投進2個球的概率；（2） 設(shè)前3輪投籃中，甲與乙進球個數(shù)差的絕對值為隨機變量g,求g的分布列與期望.某部門在同一上班高峰時段對甲、乙兩地鐵站各隨機抽取了50名乘客，統(tǒng)計其乘車等待時間（指乘客

從進站口到乘上車的時間，乘車等待時間不超過40分鐘)?將統(tǒng)計數(shù)據(jù)按［5,10),110,15),［15,20)，…,［35,40］分組，制成頻率分布直方圖：假設(shè)乘客乘車等待時間相互獨立.在上班高峰時段，從甲站的乘客中隨機抽取1人，記為A;從乙站的乘客中隨機抽取1人，記為B.用頻率估計概率，求乘客A，B乘車等待時間都小于20分鐘的概率；在上班高峰時段，從甲站乘車的乘客中隨機抽取3人，X表示乘車等待時間小于20分鐘的人數(shù)，用頻率估計概率，求隨機變量X的分布列與數(shù)學期望.考點四：超幾何分布【例4】某班利用課外活動時間舉行了一次“函數(shù)求導比賽”活動，為了解本次比賽中學生的總體情況,從中抽取了甲、乙兩個小組的樣本分數(shù)的莖葉圖如圖所示11葉11葉6872 4 6 981391Z(1)分別求出甲、乙兩個小組成績的平均數(shù)與方差，并判斷哪個小組的成績更穩(wěn)定?(2)從甲組同學成績不低于70分的人中任意抽取3人，設(shè)X表示所抽取的3名同學的得分在［70,80)的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望.【考點精練】2020年5月28日，十三屆全國人大三次會議表決通過了《中華人民共和國民法典》，自2021年1月1日起施行?它被稱為“社會生活的百科全書”，是新中國第一部以法典命名的法律，在法律體系中居于基礎(chǔ)性地位，也是市場經(jīng)濟的基本法某中學培養(yǎng)學生知法懂法，組織全校學生學習《中華人民共和國民法典》并組織知識競賽.為了解學習的效果，現(xiàn)從高一，高二兩個年級中各隨機抽取20名學生的成績(單位:分)，繪制成如圖所示的莖葉圖：~s^r TO高二8 9 8 63612697 6 5 00734 5 7 99 6 11呂0 2 5 7 8 87 7 110913 3 5 89根據(jù)學生的競賽成績，將其分為四個等級:測試成績(單位：分)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)等級合格中等良好優(yōu)秀從樣本中任取2名同學的競賽成績，在成績?yōu)閮?yōu)秀的情況下，求這2名同學來自同一個年級的概率；現(xiàn)從樣本中成績?yōu)榱己玫膶W生中隨機抽取3人座談，記X為抽到高二年級的人數(shù)，求X的分布列，數(shù)學期望與方差.為慶祝2021年中國共產(chǎn)黨成立100周年，某校高二年級舉行“黨史知識你我答”活動，共有10個班，每班選5名選手參加了預賽，預賽滿分為150分，現(xiàn)預賽成績?nèi)拷橛?0分到140分之間?將成績結(jié)果按如下方式分成五組：第一組b0,100)，第二組1100,110)，…，第五組1130,140]?按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示.若成績大于或等于100分且小于120分認為是良好的，求參賽學生在這次活動中成績良好的人數(shù)；若從第一五組中共隨機取出兩個成績，記X為取得第一組成績的個數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望.已知袋中裝有5個白球，2個黑球，3個紅球，現(xiàn)從中任取3個球.求恰有一個白球的方法種數(shù)；求至少有一個紅球的方法種數(shù)；設(shè)隨機變量X為取出3球中黑球的個數(shù)，求X的概率分布及數(shù)學期望.考點五：二項分布與超幾何分布的綜合【例5】袋中有6個白球、3個黑球，從中隨機地連續(xù)抽取2次，每次取1個球.若每次抽取后都放回，設(shè)取到黑球的次數(shù)為X,求X的分布列；若每次抽取后都不放回，設(shè)取到黑球的個數(shù)為Y,求Y的分布列.【考點精練】某校從高三年級中選拔一個班級代表學校參加“學習強國知識大賽”，經(jīng)過層層選拔，甲、乙兩個班級進入最后決賽，規(guī)定回答1道相關(guān)問題做最后的評判選擇由哪個班級代表學校參加大賽.每個班級4名選手，現(xiàn)從每個班級4名選手中隨機抽取2人回答這個問題.已知這4人中，甲班級有3人可以正確回答3這道題目，而乙班級4人中能正確回答這道題目的概率均為二，甲、乙兩班級每個人對問題的回答都是相4互獨立、互不影響的.求甲、乙兩個班級抽取的4人都能正確回答的概率.設(shè)甲、乙兩個班級被抽取的選手中能正確回答題目的人數(shù)分別為X，Y，求隨機變量X，Y的期望E(X)，E(Y)和方差D(X)，D(Y),并由此分析由哪個班級代表學校參加大賽更好.PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5pm的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物，我國PM2.5標準采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值，即PM2.5日均值在35pg/m3以下空氣質(zhì)量為一級；在35?75pg/m3之間空氣質(zhì)量為二級；在75pg/m3以上空氣質(zhì)量為污染?某市生態(tài)環(huán)境局從該市2021年上半年每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機抽取15天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值如莖葉圖所示(十位為莖，個位為葉)?PM2.5日均值(pg/m 從這15天的數(shù)據(jù)中任取1天，求這天空氣質(zhì)量達到一級的概率； 從這15天的數(shù)據(jù)中任取1天，求這天空氣質(zhì)量達到一級的概率； 從這15天的數(shù)據(jù)中任取3天的數(shù)據(jù)，記g表示其中空氣質(zhì)量達到一級的天數(shù)，求g的分布列和數(shù)學期望； 以這15天的PM2.5的日均值來估計一年的空氣質(zhì)量情況(一年按365天來計算)，則一年中大約有多少天的空氣質(zhì)量達到一級？某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位：克)，質(zhì)量的分組區(qū)間為(490,495]，(495，500],…,(510，515].由此得到樣本的頻285371 4 344563879863925根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量；在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)X為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求X的分布列；從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)Y為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列.考點六：二項分布與超幾何分布與其他知識綜合【例6】某企業(yè)為檢驗某種設(shè)備生產(chǎn)的零件質(zhì)量，現(xiàn)隨機選取20個零件進行檢驗，分出合格品和次品?設(shè)每個零件是次品的概率為P(0<P<1)，且相互獨立.若20個零件中恰有2個次品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點p；0若合格品又分為一等品和二等品，每個零件是二等品的概率為是一等品概率的2倍.已知生產(chǎn)一個一等品可獲利100元，生產(chǎn)一個二等品可獲利30元，生產(chǎn)一個次品會虧損40元，當每個零件平均獲利低于20元時，需對設(shè)備進行技術(shù)升級.當P滿足什么條件時，企業(yè)需對該設(shè)備進行技術(shù)升級？【考點精練】某商城玩具柜臺五一期間促銷，購買甲、乙系列的盲盒，并且集齊所有的產(chǎn)品就可以贈送節(jié)日送禮，現(xiàn)有甲、乙兩個系列盲盒，每個甲系列盲盒可以開出玩偶A,A，A中的一個，每個乙系列盲盒可以開出1 2 3玩偶B1，B2中的一個.記事件E:一次性購買n個甲系列盲盒后集齊玩偶A，A，A玩偶；事件F：—次性購買n個乙系n 1 2 3 n列盲盒后集齊B1，B2玩偶；求概率P(三)及P(佇)；某禮品店限量出售甲、乙兩個系列的盲盒，每個消費者每天只有一次購買機會，且購買時，只能選2擇其中一個系列的一個盲盒.通過統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)：第一次購買盲盒的消費者購買甲系列的概率為亍，購買乙系1 1 3列的概率為-；而前一次購買甲系列的消費者下一次購買甲系列的概率為；，購買乙系列的概率為匚，前3 4 4一次購買乙系列的消費者下一次購買甲系列的概率為1，購買乙系列的概率為1；如此往復，記某人第n次22購買甲系列的概率為Q.n求｛q｝的通項公式；n若每天購買盲盒的人數(shù)約為100，且這100人都已購買過很多次這兩個系列的盲盒，試估計該禮品店每天應準備甲、乙兩個系列的盲盒各多少個.由于“新冠肺炎”對抵抗力差的人的感染率相對更高，特別是老年人群體，因此某社區(qū)在疫情控制后，及時給老年人免費體檢，通過體檢發(fā)現(xiàn)“高血糖，高血脂，高血壓”，即“三高”老人較多為此社區(qū)根據(jù)醫(yī)