高中數(shù)學蘇教版3第二章概率2．4二項分布 第2章二項分布

二項分布1．理解n次獨立重復試驗的模型及二項分布．(重點)2．能利用二項分布解決一些簡單的實際問題．(難點)[基礎(chǔ)·初探]教材整理二項分布閱讀教材P63～P64“例1”以上部分，完成下列問題．1．n次獨立重復試驗(1)定義：一般地，由n次試驗構(gòu)成，且每次試驗相互獨立完成，每次試驗的結(jié)果僅有兩種對立的狀態(tài)，即A與eq\x\to(A)，每次試驗中P(A)＝p>0.我們將這樣的試驗稱為n次獨立重復試驗，也稱為伯努利試驗．(2)概率計算：在n次獨立重復試驗中，如果每次試驗事件A發(fā)生的概率均為p(0<p<1)，那么在這n次試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率．Pn(k)＝Ceq\o\al(k,n)pkqn－k，k＝0,1,2，…，n.2．二項分布若隨機變量X的分布列為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pkqn－k，其中0＜p＜1，p＋q＝1，k＝0,1,2，…，n，則稱X服從參數(shù)為n，p的二項分布，記作X～B(n，p)．1．獨立重復試驗滿足的條件是________．(填序號)①每次試驗之間是相互獨立的；②每次試驗只有發(fā)生和不發(fā)生兩種情況；③每次試驗中發(fā)生的機會是相同；④每次試驗發(fā)生的事件是互斥的．【解析】由n次獨立重復試驗的定義知①②③正確．【答案】①②③2．一枚硬幣連擲三次，只有一次出現(xiàn)正面的概率為________．【解析】拋擲一枚硬幣出現(xiàn)正面的概率為eq\f(1,2)，由于每次試驗的結(jié)果不受影響，故由獨立重復試驗可知，所求概率為P＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(3,8).【答案】eq\f(3,8)3．已知隨機變量X服從二項分布，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,3)))，則P(X＝2)等于________.【導學號：29440050】【解析】P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(80,243).【答案】eq\f(80,243)[質(zhì)疑·手記]預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：[小組合作型]獨立重復試驗中的概率問題(1)某射手射擊一次，擊中目標的概率是，他連續(xù)射擊三次，且他每次射擊是否擊中目標之間沒有影響，有下列結(jié)論：①他三次都擊中目標的概率是；②他第三次擊中目標的概率是；③他恰好2次擊中目標的概率是2××；④他恰好2次未擊中目標的概率是3××.其中正確結(jié)論的序號是________(把正確結(jié)論的序號都填上)．(2)某氣象站天氣預報的準確率為80%，計算(結(jié)果保留到小數(shù)點后面第2位)：①5次預報中恰有2次準確的概率；②5次預報中至少有2次準確的概率；③5次預報中恰有2次準確，且其中第3次預報準確的概率．【精彩點撥】先判斷“射擊手連續(xù)射擊3次”能否看成，“一次射擊”試驗重復做了三次，同樣，氣象站5次預報準確與否也可看成是5次獨立重復的試驗，結(jié)合二項分布求概率．【自主解答】(1)三次射擊是三次獨立重復試驗，故正確結(jié)論的序號是①②④.【答案】①②④(2)記預報一次準確為事件A，則P(A)＝.5次預報相當于5次獨立重復試驗，2次準確的概率為P＝Ceq\o\al(2,5)××＝2≈，因此5次預報中恰有2次準確的概率約為.②“5次預報中至少有2次準確”的對立事件為“5次預報全部不準確或只有1次準確”，其概率為P＝Ceq\o\al(0,5)×5＋Ceq\o\al(1,5)××＝72≈.所以所求概率為1－P＝1－＝.所以5次預報中至少有2次準確的概率約為.③說明第1,2,4,5次中恰有1次準確．所以概率為P＝Ceq\o\al(1,4)×××＝048≈，所以恰有2次準確，且其中第3次預報準確的概率約為.獨立重復試驗概率求法的三個步驟1．判斷：依據(jù)n次獨立重復試驗的特征，判斷所給試驗是否為獨立重復試驗．2．分拆：判斷所求事件是否需要分拆．3．計算：就每個事件依據(jù)n次獨立重復試驗的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式計算．[再練一題]1．(1)甲、乙兩隊進行排球比賽，已知在一局比賽中甲隊勝的概率為eq\f(2,3)，沒有平局．若進行三局兩勝制比賽，先勝兩局者為勝，甲獲勝的概率為________．(2)在4次獨立重復試驗中，事件A至少發(fā)生1次的概率為eq\f(65,81)，則事件A在1次試驗中出現(xiàn)的概率為________．【解析】(1)“甲獲勝”分兩類：①甲連勝兩局；②前兩局中甲勝一局，并勝最后一局．即P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＋Ceq\o\al(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(20,27).(2)由題意知，Ceq\o\al(0,4)p0(1－p)4＝1－eq\f(65,81)，p＝eq\f(1,3).【答案】(1)eq\f(20,27)(2)eq\f(1,3)二項分布一名學生每天騎自行車上學，從家到學校的途中有5個交通崗，假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是eq\f(1,3).(1)求這名學生在途中遇到紅燈的次數(shù)ξ的分布列；(2)求這名學生在首次遇到紅燈或到達目的地停車前經(jīng)過的路口數(shù)η的分布列．【精彩點撥】(1)首先判斷ξ是否服從二項分布，再求分布列．(2)注意“首次遇到”“或到達”的含義，并明確η的取值．再求η取各值的概率．【自主解答】(1)ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,3)))，ξ的分布列為P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))5－k，k＝0,1,2,3,4,5.(2)η的分布列為P(η＝k)＝P(前k個是綠燈，第k＋1個是紅燈)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))k·eq\f(1,3)，k＝0,1,2,3,4；P(η＝5)＝P(5個均為綠燈)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))5.故η的分布列為η012345Peq\f(1,3)eq\f(2,9)eq\f(4,27)eq\f(8,81)eq\f(16,243)eq\f(32,243)1．本例屬于二項分布，當X服從二項分布時，應(yīng)弄清X～B(n，p)中的試驗次數(shù)n與成功概率p.2．解決二項分布問題的兩個關(guān)注點(1)對于公式P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)必須在滿足“獨立重復試驗”時才能運用，否則不能應(yīng)用該公式．(2)判斷一個隨機變量是否服從二項分布，關(guān)鍵有兩點：一是對立性，即一次試驗中，事件發(fā)生與否兩者必有其一；二是重復性，即試驗是獨立重復地進行了n次．[再練一題]2．在一次數(shù)學考試中，第14題和第15題為選做題．規(guī)定每位考生必須且只需在其中選做一題．設(shè)4名考生選做每道題的可能性均為eq\f(1,2)，且各人的選擇相互之間沒有影響．(1)求其中甲、乙2名考生選做同一道題的概率；(2)設(shè)這4名考生中選做第15題的人數(shù)為ξ名，求ξ的分布列．【解】(1)設(shè)事件A表示“甲選做14題”，事件B表示“乙選做14題”，則甲、乙2名考生選做同一道題的事件為“AB＋eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))”，且事件A，B相互獨立．∴P(AB＋eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(A)P(B)＋P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(1,2).(2)隨機變量ξ的可能取值為0,1,2,3,4，且ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2))).∴P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))4－k＝Ceq\o\al(k,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4(k＝0,1,2,3,4)．∴隨機變量ξ的分布列為ξ01234Peq\f(1,16)eq\f(1,4)eq\f(3,8)eq\f(1,4)eq\f(1,16)[探究共研型]獨立重復試驗與二項分布綜合應(yīng)用探究1王明在做一道單選題時，從A，B，C，D四個選項中隨機選一個答案，他做對的結(jié)果數(shù)服從二項分布嗎？兩點分布與二項分布有何關(guān)系？【提示】做一道題就是做一次試驗，做對的次數(shù)可以為0次、1次，它服從二項分布．兩點分布就是一種特殊的二項分布，即是n＝1的二項分布．探究2王明做5道單選題，每道題都隨機選一個答案，那么他做對的道數(shù)服從二項分布嗎？為什么？【提示】服從二項分布．因為每道題都是隨機選一個答案，結(jié)果只有兩個：對與錯，并且每道題做對的概率均相等，故做5道題可以看成“一道題”重復做了5次，做對的道數(shù)就是5次試驗中“做對”這一事件發(fā)生的次數(shù)，故他做對的“道數(shù)”服從二項分布．探究3王明做5道單選題，其中2道會做，其余3道均隨機選一個答案，他做對的道數(shù)服從二項分布嗎？如何判斷一隨機變量是否服從二項分布？【提示】不服從二項分布．因為會做的兩道題做對的概率與隨機選取一個答案做對的概率不同，不符合二項分布的特點，判斷一個隨機變量是否服從二項分布關(guān)鍵是看它是否是n次獨立重復試驗，隨機變量是否為在這n次獨立重復試驗中某事件發(fā)生的次數(shù)，滿足這兩點的隨機變量才服從二項分布，否則就不服從二項分布．甲乙兩隊參加奧運知識競賽，每隊3人，每人回答一個問題，答對者為本隊贏得一分，答錯得零分．假設(shè)甲隊中每人答對的概率均為eq\f(2,3)，乙隊中3人答對的概率分別為eq\f(2,3)，eq\f(2,3)，eq\f(1,2)，且各人回答正確與否相互之間沒有影響．用ξ表示甲隊的總得分．(1)求隨機變量ξ的分布列；(2)用A表示“甲、乙兩個隊總得分之和等于3”這一事件，用B表示“甲隊總得分大于乙隊總得分”這一事件，求P(AB【精彩點撥】(1)由于甲隊中每人答對的概率相同，且正確與否沒有影響，所以ξ服從二項分布，其中n＝3，p＝eq\f(2,3)；(2)AB表示事件A、B同時發(fā)生，即甲、乙兩隊總得分之和為3且甲隊總得分大于乙隊總得分．【自主解答】(1)由題意知，ξ的可能取值為0,1,2,3，且p(ξ＝0)＝Ceq\o\al(0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))3＝eq\f(1,27)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,3)eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))2＝eq\f(2,9)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(4,9)，P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\f(8,27).所以ξ的分布列為ξ0123Peq\f(1,27)eq\f(2,9)eq\f(4,9)eq\f(8,27)(2)用C表示“甲得2分乙得1分”這一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”這一事件，所以AB＝C＋D，且C，D互斥，又P(C)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×\f(1,3)×\f(1,2)＋\f(1,3)×\f(2,3)×))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,3)×\f(1,3)×\f(1,2)))＝eq\f(10,34)，P(D)＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)×\f(1,3)×\f(1,2)))＝eq\f(4,35)，由互斥事件的概率公式得P(AB)＝P(C)＋P(D)＝eq\f(10,34)＋eq\f(4,35)＝eq\f(34,35)＝eq\f(34,243).對于概率問題的綜合題，首先，要準確地確定事件的性質(zhì)，把問題化歸為古典概型、互斥事件、獨立事件、獨立重復試驗四類事件中的某一種；其次，要判斷事件是A＋B還是AB，確定事件至少有一個發(fā)生，還是同時發(fā)生，分別運用相加或相乘事件公式，最后，選用相應(yīng)的求古典概型、互斥事件、條件概率、獨立事件、n次獨立重復試驗的概率公式求解.[再練一題]3．為拉動經(jīng)濟增長，某市決定新建一批重點工程，分為基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類，這三類工程所含項目的個數(shù)分別占總數(shù)的eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,6).現(xiàn)有3名工人獨立地從中任選一個項目參與建設(shè)．(1)求他們選擇的項目所屬類別互不相同的概率；(2)記ξ為3人中選擇的項目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程或產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程的人數(shù)，求ξ的分布列．【解】記第i名工人選擇的項目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程分別為事件Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3.由題意知A1，A2，A3相互獨立，B1，B2，B3相互獨立，C1，C2，C3相互獨立，Ai，Bj，Ck(i，j，k＝1,2,3且i，j，k互不相同)相互獨立，用P(Ai)＝eq\f(1,2)，P(Bj)＝eq\f(1,3)，P(Ck)＝eq\f(1,6).(1)他們選擇的項目所屬類別互不相同的概率．P＝3!P(A1B2C3)＝6P(A1)P(B2)P(C3)＝6×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,6).(2)法一：設(shè)3名工人中選擇的項目屬于民生工程的人數(shù)為η，由已知，η～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,3)))，且ξ＝3－η，所以P(ξ＝0)＝P(η＝3)＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3＝eq\f(1,27)，P(ξ＝1)＝P(η＝2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝eq\f(2,9)，P(ξ＝2)＝P(η＝1)＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(4,9)，P(ξ＝3)＝P(η＝0)＝Ceq\o\al(0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\f(8,27).故ξ的分布列是ξ0123peq\f(1,27)eq\f(2,9)eq\f(4,9)eq\f(8,27)法二：記第i名工人選擇的項目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程或產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程分別為事件Di，i＝1,2,3.由已知，D1，D2，D3相互獨立，且P(Di)＝P(Ai∪Ci)＝P(Ai)＋P(Ci)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3)，所以ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,3)))，即P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3－k，k＝0,1,2,3.故ξ的分布列是ξ0123peq\f(1,27)eq\f(2,9)eq\f(4,9)eq\f(8,27)[構(gòu)建·體系]1．已知Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,3)))，則P(Y＝4)＝________.【解析】由Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,3)))可知，P(Y＝4)＝Ceq\o\al(4,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(20,243).【答案】eq\f(20,243)2．小王通過英語聽力測試的概率是eq\f(1,3)，他連續(xù)測試3次，那么其中恰有1次獲得通過的概率是________．【解析】P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))2＝eq\f(4,9).【答案】eq\f(4,9)3．下列說法正確的是________．(填序號)①某同學投籃的命中率為，他10次投籃中命中的次數(shù)X是一個隨機變量，且X～B(10,；②某福彩的中獎概率為p，某人一次買了8張，中獎張數(shù)X是一個隨機變量，且X～B(8，p)；③從裝有5個紅球、5個白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球為止，則摸球次數(shù)X是隨機變量，且X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(1,2))).【解析】①②顯然滿足獨立重復試驗的條件，而③雖然是有放回地摸球，但隨機變量X的定義是直到摸出白球為止，也就是說前面摸出的一定是紅球，最后一次是白球，不符合二項分布的定義．【答案】①②4．設(shè)X～B(4，p)，且P(X＝2)＝eq\f(8,27)，那么一次試驗成功的概率p等于________.【導學號：29440051】【解析】P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,4)p2(1－p)2＝eq\f(8,27)，即p2(1－p)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2·eq\b\lc\(\rc\)