微分方程建模

《數(shù)學建?！繁本┙ㄖこ虒W院院級選修課第六章微分方程建模§6.1引例兩個簡單的例子§6.2人口模型

Malthus模型

和Logistic模型

§6.3最優(yōu)捕魚策略模型

1996年全國大學生數(shù)學建模競賽A題

§6.1引例在高等數(shù)學里我們已經(jīng)學過微分方程的內容，微分方程能夠幫助我們獲得兩個變量之間的函數(shù)關系，也即是一個變量隨另一個變量變化的規(guī)律，這正是在許多實際問題中經(jīng)常要解決的問題。微分方程的方法是比較經(jīng)典的，曾經(jīng)在自然科學、工程技術領域里經(jīng)常應用?，F(xiàn)在已經(jīng)滲透到社會科學、經(jīng)濟科學、商業(yè)預測等領域，在這些領域也得到廣泛的應用。例1.速度問題：質量為1g（克）的質點受外力作用作直線運動，這外力和時間成正比，和質點運動的速度成反比。在t=10s時，速度等于50cm/s，外力為4g.cm/s2。問從運動開始經(jīng)過了一分鐘后的速度是多少？分析：求解此問題其實就是要求，以時間t為自變量的速度函數(shù)v(t)。解：設自變量時間為t，質點運動的速度函數(shù)為v＝v(t)。a：質點運動的加速度。m：質點的質量。F：外力為。下面我們來求此速度函數(shù)。為了方便，記：根據(jù)牛頓定律知：由題意知：,其中k為比例常數(shù)。將t=10,v=50,F=4代入上式，有：解得：k=20。即：我們知道速度隨時間的變化率就是加速度a，從而可得：其中m=1,k=20是已知的，t為時間是自變量，速度v是時間t的函數(shù)。所以（*）式是一個微分方程，容易求得通解：（*）代入m=1,k=20,t=10,v=50,得C=500。當t=60時，可求出原題的答案：(cm/s)得到特解：說明：此題求解的關鍵在于明確牛頓定律，明確速度的變化率為加速度，深入理解導數(shù)的意義，這樣可以得到速度函數(shù)v(t)的微分方程。此題求解過程中運用了一些符號，進行了符號推算，這是基本功，應該多加練習提高。在數(shù)學推理時，一般開始時使用一些符號，有了最后的結果時才代入數(shù)值。例2.物體冷卻問題：如果空氣的溫度是20℃，且沸騰的水在20分鐘內冷卻到60℃，那么水溫降到30℃需多長時間？分析：此題要用到水冷卻時所遵循的規(guī)律，也即是牛頓冷卻定律：物體在空氣中的冷卻速度與物體和空氣的溫度差成比例。解：設水冷卻的時間為t，水的溫度為T（隨冷卻時間t而變化，是t的函數(shù)）。根據(jù)牛頓冷卻定律知，物體在空氣中的冷卻速度與物體和空氣的溫度差成比例。記：空氣溫度為m，則：水與空氣的溫度差為(T-m)水在空氣中的冷卻速度為dT/dt由牛頓冷卻定律得到：其中k為比例常數(shù)。m也是常數(shù)，所以這是以為t自變量T為函數(shù)的微分方程。容易求得通解：C為任意常數(shù)。由題中給出的條件，t=0時，T=100℃，及m=20℃，代入通解中得：C=80。再將t=20時T=60℃，及C=80代入通解得：所以得到水的冷卻規(guī)律：由T=30℃求t，即是解方程：解得t=60(分)。故，需60分鐘時間水溫才降到30℃。說明：此題求解需要知道物理知識牛頓物體冷卻定律。要對導數(shù)有較為深入的理解。有了這兩點才能建立起來微分方程?！?.2人口模型一個物種的群體數(shù)量的變化總是按整數(shù)增加或減少的，因此用一個微分方程建立一個物種的增長模型似乎是不可能的。但是，如果一個給定的群體很大，而且突然增加的只是單一的個體，那么，這種變化與給定的群體規(guī)模相比是非常微小的，于是我們假設，大規(guī)模群體數(shù)量隨時間變化是連續(xù)的甚至是可微分的函數(shù)。一：Malthus模型設表示一種給定物種在時刻的總數(shù)，就等于。

r表示該物種的凈增長率(即隨時間的增長數(shù)量與當前數(shù)量的比)，假設這個物種群體是孤立的，沒有外來和流走的情況，這樣r就是該物種出生率與死亡率之差。那么總數(shù)的變化率當我們假設r是常數(shù)時，即它不隨時間或種群總數(shù)而變，就得到下面的一階線性微分方程：（是常數(shù)）此方程被稱為物種群體增長的Malthus模型。的總數(shù)是，則滿足：如果所給物種在時刻解得：1從得出的解可以看到，物種群體總數(shù)的增長如果滿足Malthus模型，其增長規(guī)律是隨時間指數(shù)地增長的，所以Malthus模型也稱為指數(shù)模型。2Malthus模型在物種發(fā)展初期，沒有什么限制的時候是準確的，但是不論何種物種按指數(shù)增長到一定程度后，會受到各種條件的限制，不會按指數(shù)無限地增長下去。說明：Malthus模型是很簡單的，但是它與某種條件下的實際情況是非常一致的。我們以地球上的人口總數(shù)為例來看一看，據(jù)估計1961年地球上的人口總數(shù)為3,060,000,000，人口總數(shù)以2%/年的速度增長。這樣t0=1961,p0=3.06*109,r=0.02,故：用過去的人口總數(shù)來驗證這個公式，發(fā)現(xiàn)在1700～1961年間的人口總數(shù)與公式計算的結果是非常驚人的一致。二：Logistic模型Malthus模型是不全面的，是有缺陷的。Malthus模型沒有考慮物種總量增長到一定規(guī)模后就會受到自然資源和環(huán)境條件的限制，這時就不會按指數(shù)增長了。荷蘭生物數(shù)學家Verhulst考慮到這一問題，并給出了下面的Logistic模型（以人口為例）。設時刻t的人口總數(shù)為p(t),

常數(shù)Pm表示自然資源和環(huán)境條件所能容許的最大人口數(shù)量，人口的凈，（r為常數(shù)），即凈增增長率為的增加而減少，當時，長率隨著凈增長率趨于零，即人口數(shù)量接近或等于Pm時，就不再增長了。

這樣就得到人口數(shù)量的微分方程：給出初始條件容易求得解：這個模型稱為Logistic模型。在Logistic模型里，我們容易看出，時，。當作為對Logistic模型的一種驗證，由Pearl和Reed給出的關于美國的人口增長的模型，他們得到的方程如下：

下表是美國人口的實際數(shù)據(jù)與按上式計算的結果的比較（表中人數(shù)的單位：千人）。1790—1950年美國人口與計算的比較年實際數(shù)計算的數(shù)誤差誤差百分比17903929392900.0180053085336280.5181072407228-12-0.21820963897571191.2183012866131092431.9184017069175064372.61850231922319200.018603144530412-1031-3.3187038558393728142.118805015650177210.018906294862769-179-0.3190075995768708751.21910919729197200.0192010571110755918481.719301227751231243490.3194013166913665349843.81950150697149053-1644-1.1§6.3最優(yōu)捕魚策略模型一．問題這是1996年全國大學生數(shù)學建模競賽A題，原題如下：為了保護人類賴以生存的自然環(huán)境，可再生資源（如漁業(yè)，林業(yè)資源）的開發(fā)必須適度。一種合理，簡化的策略是，在實現(xiàn)可持續(xù)收獲的前提下，追求最大產(chǎn)量或最佳效益。考慮對某種魚的最優(yōu)捕撈策略：假設這種魚分4個年齡組，稱1齡魚，2齡魚，...，4齡魚。各年齡組每條魚的平均重量分別為5.07,11.55,17.86,22.99（克），各年齡組魚的自然死亡率為0.8（1/年），這種魚為季節(jié)性集中產(chǎn)卵繁殖，平均每條4齡魚的產(chǎn)卵量為（個），3齡魚的產(chǎn)卵量為這個數(shù)的一半，2齡魚和1齡魚不產(chǎn)卵，產(chǎn)卵和孵化期為每年的最后4個月，卵孵化并成活為1齡魚，成活率（1齡魚條數(shù)與產(chǎn)卵量n之比）為。漁業(yè)管理部門規(guī)定，每年只允許在產(chǎn)卵孵化期前的8個月內進行捕撈作業(yè)。如果每年投入的捕撈能力（如漁船數(shù)，下網(wǎng)次數(shù)等）固定不變，這時單位時間捕撈量將與各年齡組魚群條數(shù)成正比，比例系數(shù)不妨稱捕撈強度系數(shù)。通常使用13mm網(wǎng)眼的拉網(wǎng)，這種網(wǎng)只能捕撈3齡魚和4齡魚，其兩個捕撈強度系數(shù)之比為0.42:1。漁業(yè)上稱這種方式為固定努力量捕撈。1.建立數(shù)學模型分析如何實現(xiàn)可持續(xù)捕獲（即每年開始捕撈時漁場中各年齡組魚群條數(shù)不變），并且在此前提下得到最高的年收獲量（捕撈總重量）。2.某漁業(yè)公司承包這種魚的捕撈業(yè)務5年，合同要求5年后魚群的生產(chǎn)能力不能受到太大破壞。已知承包時各年齡組魚群的數(shù)量分別為：122，29.7,10.1，3.29(量的捕撈方式，該公司應采取怎樣的策略才能使總收獲量最高。條)，如果仍用固定努二．模型假設魚群總量的增加雖然是離散的，但對大規(guī)模魚群而言，我們可以假設魚群總量的變化隨時間是連續(xù)的。根據(jù)題給條件，我們可以假設魚群每年在8月底瞬間產(chǎn)卵完畢，卵在12月底全部孵化完畢。i齡魚到來年分別長一歲成為i+1齡魚，i=1,2,3.4齡魚在年末留存的數(shù)量占全部數(shù)量的比例很小，可假設全部死亡。持續(xù)捕獲使各年齡組的魚群數(shù)量呈周期變化，周期為1年，可以只考慮魚群數(shù)量在1年內的變化情況。三．問題分析1.符號說明：在t時刻i齡魚的條數(shù)，i=1,2,3,4.:4齡魚捕撈強度系數(shù)：每年產(chǎn)卵量：每年初i齡魚的數(shù)量，i=1,2,3,4.2．對死亡率的理解題中給出魚的自然死亡率為0.8（1/年），我們理解為平均死亡率，是單位時間魚群死亡數(shù)量與現(xiàn)有魚群數(shù)量的比例系數(shù)，由假設知，它是一個與環(huán)境等其它因素無關的常數(shù)。魚群的數(shù)量是連續(xù)變化的，且1，2齡魚在全年及3，4齡魚在后4個月的數(shù)量只與死亡率有關。各齡魚的變化滿足：3．對捕撈強度系數(shù)的理解

單位時間4齡魚捕撈量與4齡魚群總數(shù)成正比，比例系數(shù)即是捕撈強度系數(shù)k，它是一定的，且只在捕撈期內（即每年的前8個月）捕撈3，4齡魚。所以，一方面捕撈強度系數(shù)k決定了3，4齡魚在捕撈期內的數(shù)量變化規(guī)律為：

另一方面決定了t時刻捕撈的3，4齡魚數(shù)量為：和。4．對成活率的理解只有3，4齡魚在每年的8月一次產(chǎn)卵，因此可將每年的產(chǎn)卵量n表示為：題目中已經(jīng)說明了成活率為：所以每年初的1齡魚的數(shù)量為：四．模型建立與求解1．問題1的模型可持續(xù)捕獲要求每年年初漁場中各年齡組魚群條數(shù)都一樣，在這種平衡狀態(tài)下，捕撈強度就影響年收獲量。如何得到最高年收獲量，我們可以得到以下的優(yōu)化模型：用Mathematica軟件編程，可求得一元函數(shù)total(k)，并畫出total(k)函數(shù)的圖形如下：然后求出:k=17.3629時，最高年收獲量為total=3.887075517793442*1011（克），此時每年年初1，2，3，4年齡組魚的數(shù)量分別為：

1.19599376181805*10^115.373946380883635*10^10

2.414669760543935*10^108.39551912331377*10^72．問題2的模型某漁業(yè)公司承包期為5年，已知初始時各年齡組的魚群的數(shù)量，這樣在一定捕撈強度系數(shù)k下，五年的總收獲量就是k的一元函數(shù)total(k)，求