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文檔簡(jiǎn)介

一、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念及性質(zhì)二、相關(guān)系數(shù)的意義三、協(xié)方差矩陣第3.3節(jié)協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)四、小結(jié)1.問題的提出一、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念及性質(zhì)

協(xié)方差2.定義3.73.說明4.協(xié)方差的計(jì)算公式證明cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)例:設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)的概率分布為012P0.80.10.101200.10.20.210.30.10.1求DX,DY.012P0.40.30.3Y01P0.50.5

D(X)=E(X2)-[E(X)]2

例:設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)的概率分布為01200.10.20.210.30.10.1求cov(X,Y),ρ.012P0.80.10.1DX=0.69DY=0.255.協(xié)方差的性質(zhì)

相關(guān)系數(shù)的性質(zhì):證:由方差的性質(zhì)和協(xié)方差的定義知,對(duì)任意實(shí)數(shù)b,有0≤D(Y-bX)=b2D(X)+D(Y)-2b

Cov(X,Y)令,則上式為

D(Y-bX)=

由于方差D(Y)是正的,故必有1-≥0,所以||≤1。2.X和Y獨(dú)立時(shí),

=0,但其逆不真.由于當(dāng)X和Y獨(dú)立時(shí),Cov(X,Y)=0.故=0但由并不一定能推出X和Y獨(dú)立.請(qǐng)看下例.,Cov(X,Y)=0,事實(shí)上,X的密度函數(shù)例2

設(shè)X服從(-1/2,1/2)內(nèi)的均勻分布,而Y=cosX,不難求得存在常數(shù)a,b(b≠0),使P{Y=a+bX}=1,即X和Y以概率1線性相關(guān).因而=0,即X和Y不相關(guān).但Y與X有嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系,即X和Y不獨(dú)立.相關(guān)系數(shù)刻劃了X和Y間“線性相關(guān)”的程度.但對(duì)下述情形,獨(dú)立與不相關(guān)等價(jià)若(X,Y)服從二維正態(tài)分布,則X與Y獨(dú)立X與Y不相關(guān)前面,我們已經(jīng)看到:若X與Y獨(dú)立,則X與Y不相關(guān),但由X與Y不相關(guān),不一定能推出X與Y獨(dú)立.如下例所示例設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)分布,它的概率密度為我們來求X和Y

的相關(guān)系數(shù).已經(jīng)知道(X,Y)的邊緣概率密度為解例三、課堂練習(xí)1、2、1、解2、解三、協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣的應(yīng)用推廣四、小結(jié)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的定義協(xié)方差的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的意義

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的學(xué)科.隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)才會(huì)呈現(xiàn)出來.也就是說,要從隨機(jī)現(xiàn)象中去尋求必然的法則,應(yīng)該研究大量隨機(jī)現(xiàn)象.

研究大量的隨機(jī)現(xiàn)象,常常采用極限形式,由此導(dǎo)致對(duì)極限定理進(jìn)行研究.極限定理的內(nèi)容很廣泛,其中最重要的有兩種:

與大數(shù)定律中心極限定理

四、中心極限定理

在實(shí)際問題中,常常需要考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生總影響.例如:炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差,就受著許多隨機(jī)因素的影響.空氣阻力所產(chǎn)生的誤差,重要的是這些隨機(jī)因素的總影響.如瞄準(zhǔn)時(shí)的誤差,炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等.

觀察表明,如果一個(gè)量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響所造成,而每一個(gè)別因素在總影響中所起的作用不大.則這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布.

自從高斯指出測(cè)量誤差服從正態(tài)分布之后,人們發(fā)現(xiàn),正態(tài)分布在自然界中極為常見.

研究獨(dú)立隨機(jī)變量之和所特有的規(guī)律性問題.

當(dāng)n無限增大時(shí),這個(gè)和的極限分布是什么呢?在什么條件下極限分布會(huì)是正態(tài)分布?

在概率論中,把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做中心極限定理.1432

隨著n的增加,pn(y)的圖形越來越光滑,越來越接近正態(tài)曲線.X01pk1-pp定理(棣莫佛-拉普拉斯定理)

該定理是概率論歷史上的第一個(gè)中心極限定理,針對(duì)的是二項(xiàng)分布,因此稱為‘二項(xiàng)分布的正態(tài)近似’.與第四章介紹的‘二項(xiàng)分布的泊松近似’相比,一般p較小時(shí)用泊松近似,在np>5,n(1-p)>5時(shí),用正態(tài)近似.定理(獨(dú)立同分布下的中心極限定理)

它表明,當(dāng)n充分大時(shí),n個(gè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和近似服從正態(tài)分布.設(shè)X1,X2,…是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,且E(Xi)=,D(Xi)=,

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