li協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)中心極限定理

一、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念及性質(zhì)二、相關(guān)系數(shù)的意義三、協(xié)方差矩陣第3.3節(jié)協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)四、小結(jié)1.問題的提出一、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念及性質(zhì)

協(xié)方差2.定義3.73.說明4.協(xié)方差的計算公式證明cov(X,Y)=E(XY)－E(X)E(Y)例:設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)的概率分布為012P0.80.10.101200.10.20.210.30.10.1求DX,DY.012P0.40.30.3Y01P0.50.5

D(X)=E(X2)－[E(X)]2

例:設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)的概率分布為01200.10.20.210.30.10.1求cov(X,Y),ρ.012P0.80.10.1DX=0.69DY=0.255.協(xié)方差的性質(zhì)

相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：證:由方差的性質(zhì)和協(xié)方差的定義知,對任意實數(shù)b,有0≤D(Y-bX)=b2D(X)+D(Y)-2b

Cov(X,Y)令，則上式為

D(Y-bX)=

由于方差D(Y)是正的,故必有1-≥0,所以||≤1。2.X和Y獨立時，

=0，但其逆不真.由于當(dāng)X和Y獨立時，Cov(X,Y)=0.故=0但由并不一定能推出X和Y獨立.請看下例.，Cov(X,Y)=0，事實上，X的密度函數(shù)例2

設(shè)X服從(-1/2,1/2)內(nèi)的均勻分布,而Y=cosX,不難求得存在常數(shù)a,b(b≠0），使P{Y=a+bX}=1，即X和Y以概率1線性相關(guān).因而=0，即X和Y不相關(guān).但Y與X有嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，即X和Y不獨立.相關(guān)系數(shù)刻劃了X和Y間“線性相關(guān)”的程度.但對下述情形，獨立與不相關(guān)等價若(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則X與Y獨立X與Y不相關(guān)前面，我們已經(jīng)看到：若X與Y獨立，則X與Y不相關(guān)，但由X與Y不相關(guān)，不一定能推出X與Y獨立.如下例所示例設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)分布，它的概率密度為我們來求X和Y

的相關(guān)系數(shù).已經(jīng)知道（X,Y）的邊緣概率密度為解例三、課堂練習(xí)1、2、1、解2、解三、協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣的應(yīng)用推廣四、小結(jié)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的定義協(xié)方差的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的意義

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的學(xué)科.隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗時才會呈現(xiàn)出來.也就是說，要從隨機(jī)現(xiàn)象中去尋求必然的法則，應(yīng)該研究大量隨機(jī)現(xiàn)象.

研究大量的隨機(jī)現(xiàn)象，常常采用極限形式，由此導(dǎo)致對極限定理進(jìn)行研究.極限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重要的有兩種:

與大數(shù)定律中心極限定理

四、中心極限定理

在實際問題中，常常需要考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生總影響.例如：炮彈射擊的落點與目標(biāo)的偏差，就受著許多隨機(jī)因素的影響.空氣阻力所產(chǎn)生的誤差，重要的是這些隨機(jī)因素的總影響.如瞄準(zhǔn)時的誤差，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等.

觀察表明，如果一個量是由大量相互獨立的隨機(jī)因素的影響所造成，而每一個別因素在總影響中所起的作用不大.則這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布.

自從高斯指出測量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見.

研究獨立隨機(jī)變量之和所特有的規(guī)律性問題.

當(dāng)n無限增大時，這個和的極限分布是什么呢？在什么條件下極限分布會是正態(tài)分布？

在概率論中，把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做中心極限定理.1432

隨著n的增加,pn(y)的圖形越來越光滑,越來越接近正態(tài)曲線.X01pk1－pp定理(棣莫佛－拉普拉斯定理）

該定理是概率論歷史上的第一個中心極限定理，針對的是二項分布，因此稱為‘二項分布的正態(tài)近似’.與第四章介紹的‘二項分布的泊松近似’相比，一般p較小時用泊松近似，在np>5,n(1－p）>5時，用正態(tài)近似.定理（獨立同分布下的中心極限定理）

它表明，當(dāng)n充分大時，n個獨立同分布的隨機(jī)變量之和近似服從正態(tài)分布.設(shè)X1,X2,…是獨立同分布的隨機(jī)變量序列，且E(Xi)=，D(Xi)=，