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第三章《動量定理與動量守恒定律》
3.1.1質(zhì)量為2kg的質(zhì)點的運動學(xué)方程為(t為時間,單位為s;長度單位為m),求質(zhì)點受恒力而運動,并求力的方向大小。解:作業(yè)問題3.4.5質(zhì)量為的斜面可在光滑的水平面上滑動,斜面傾角為質(zhì)量為求運動員相對斜面的加速度及其對斜面的壓力。的運動員與斜面之間亦無摩擦,解,隔離體:對于:
對于聯(lián)立求解:
3.5.2質(zhì)量為m的質(zhì)點在平面內(nèi)運動,質(zhì)點的運動學(xué)方程為證明作用于質(zhì)點的合力總指向原點。為正常數(shù),證明:∵
∴作用于質(zhì)點的合力總指向原點。3.5.4桌面上疊放著兩塊木板,質(zhì)量各為如圖所示。和桌面間的摩擦系數(shù)為,和間的靜摩擦系數(shù)為問沿水平方向用多大的力才能把下面的木板抽出來。解,
對于:
對于:和發(fā)生相對運動的條件是:3.5.6在圖示的裝置中兩物體的質(zhì)量各為。物體之間及物體與桌面間的摩擦系數(shù)都為。求在力的作用下兩物體的加速度及繩內(nèi)張力。不計滑輪和繩的質(zhì)量及軸承摩擦,繩不可伸長。解,對于
對于:m1m2α3.5.5yN2a2xN1'=N1αm2gαx'N1a'f*=m1a2y'm1gα以相對地面向右作加速直線運動的斜面為參考系(非慣性系,設(shè)斜面相對地的加速度為a2),取m1為研究對象,其受力及運動情況如左圖所示,其中N1為斜面對人的支撐力,f*為慣性力,a'即人對斜面的加速度,方向顯然沿斜面向下,選如圖所示的坐標(biāo)系o'-x'y',應(yīng)用牛頓第二定律建立方程:
再以地為參考系,取m2為研究對象,其受力及運動情況如右圖所示,選圖示坐標(biāo)o-xy,應(yīng)用牛頓第二定律建立方程:(1)、(2)、(3)聯(lián)立,即可求得:
3.5.6在圖示的裝置中兩物體的質(zhì)量各為物體之間及物體與桌面間的摩擦系數(shù)都為求在力F的作用下兩物體的加速度及繩內(nèi)張力。不計滑輪和繩質(zhì)量及軸承摩擦,繩不可伸長。m1m2F解:以地為參考系,隔離m1,m2,受力及運動情況如圖示,其中:
f1N1m1gTaFN2m2gTaN1f1f2f1=μN1=μm1g,f2=μN2=μ(N1+m2g)=μ(m1+m2)g.
在水平方向?qū)蓚€質(zhì)點應(yīng)用牛二定律:
①+②可求得:
將a代入①中,可求得:
3.5.12沿鉛直向上發(fā)射玩具火箭的推力隨時間變化如圖所示。火箭質(zhì)量為2kg,t=0時處于靜止。求火箭發(fā)射后的最大速率和最大高度(注意,推力>重力才起動)。t(s)F(N)9820
解:根據(jù)推力F-t圖像,可知F=4.9t(t≤20),令F=mg,即4.9t=2×9.8,t=4s
因此,火箭發(fā)射可分為三個階段:
t=0—4s為第一階段,由于推力小于重力,火箭靜止,
v=0,y=0;t=4—20s為第二階段,火箭作變加速直線運動,
設(shè)t=20s時,y=y1,v=vmax
;t≥20s為第三階段,
YY2Y10火箭只受重力作用,作豎直上拋運動,設(shè)達(dá)最大高度時的坐標(biāo)y=y2.第二階段的動力學(xué)方程為:
F-mg=mdv/dtYY2Y10第三階段運動學(xué)方程令v=0,由(1)求得達(dá)最大高度y2時所用時間
(t-20)=32,代入(2)中,得y2-y1=5030y2=ymax=5030+1672=6702(m)3.5.15汽車質(zhì)量為1.2×10kN,在半徑為100m的水平圓形彎道上行駛。公路內(nèi)外側(cè)傾斜150,沿公路取自然坐標(biāo),汽車運動學(xué)方程為自t=5s開始勻速運動。問公路面作用于汽車與前進方向垂直的摩擦力是由公路內(nèi)側(cè)指向外側(cè)還是由外側(cè)指向內(nèi)側(cè)?解,以地面為參照系。汽車受力如圖,摩擦力的方向設(shè)為沿路面指向內(nèi)側(cè)。f為正,表示假設(shè)摩擦力的方向與實際的方向相同,指向內(nèi)側(cè)。3.6.2升降機A內(nèi)有一裝置如圖示。懸掛的兩物體的質(zhì)量各為,且若不計滑輪及繩質(zhì)量,不計軸承處摩擦,繩不可伸長,求當(dāng)升降機以加速度方向向下)運動時u,兩物體的加速度各是多少?繩內(nèi)的張力是多少?解:以升降機為參考系,隔離m1,m2,受力及運動情況如圖示,T為繩中張力,f1*=m1a,f2*=m2a,a1'=a2'=a'為m1、m2相對升降機的加速度.·以向下為正方向,由牛頓二定律,有:設(shè)m1、m2的加速度分別為a1、a2,根據(jù)相對運動的加速度公式,寫成標(biāo)量式:,將a’代入,求得:
3.7.2一個質(zhì)量為m的質(zhì)點在其位置矢量為求質(zhì)點的動量。平面上運動,解:質(zhì)點速度:質(zhì)點動量:大?。悍较颍号cx軸夾角為θ,tgθ=py/px=-ctgωt·b/a3.7.3自動步槍連發(fā)時每分鐘可射出120發(fā)子彈,每顆子彈質(zhì)量為7.9g,出口速率為735m/s,求射擊時所需的平均力。解:槍射出每法子彈所需時間:Δt=60/120=0.5s,對子彈應(yīng)用動量定理:3.7.6質(zhì)量四個質(zhì)點形成的質(zhì)心坐標(biāo)順次為質(zhì)心位于的位置。解:由質(zhì)心定義式:3.8.3氣球下懸軟梯,總質(zhì)量為M,軟梯上站一質(zhì)量為m的人,共同在氣球所受浮力F作用下加速上升。人以相對于軟梯的加速度am上升,問氣球加速度如何?解,(1)質(zhì)心運動定理系統(tǒng)受外力:重力、浮力設(shè)氣球的加速度a,則(2)質(zhì)點的動量定理3.8.570kg重的人和210kg重的小船最初處于靜止。后來人從船后向船頭勻速走了3.2m停下來。問船向哪個方向運動,移動了幾米?不計船所受的阻力。解,以地面為參照系,人的前進方向為坐標(biāo)軸的正方向系統(tǒng)水平方向動量守恒。3.8.6炮車固定在車廂內(nèi),最初均處于靜止。向右發(fā)射一枚彈丸,車廂則向左運動。彈丸射在對面墻上后隨即順墻壁落下。問此過程中車廂移動的距離是多少?已知炮車和車廂總質(zhì)量為M,彈丸質(zhì)量為m,炮口到對面墻上的距離為L。不計鐵軌作用于車廂的阻力。解,以地面為參照系,水平向右為坐標(biāo)軸正方向。系統(tǒng)在水平方向動量守恒。設(shè)彈丸的速度為v,車廂的速度為V,車廂移動的距離為s,運動的時間為t,則得由質(zhì)心運動定理:水平方向系統(tǒng)的質(zhì)心不動。3.9.1一枚手榴彈投出方向與水平面成45o,投出的速率為25m/s,在剛要接觸與發(fā)射點同一水平面的目標(biāo)時爆炸,設(shè)分成質(zhì)量相等的三塊,一塊以速度v3
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