第一章緒論數值分析

第一章緒論1.1現代科學計算的一般過程實際問題數學模型數值方法程序設計上機計算結果分析1.1.1對實際工程問題進行建模數學建模：應用有關學科知識和數學理論，將實際工程問題，用精煉準確的數學語言對其關鍵的核心部分進行描述并給出數學模型，這一過程常稱為數學建模。數值計算方法主要討論能用確定的數學解析式描述的實際工程計算問題。什么樣的模型是好的數學模型？符合以下兩條：1）反映問題本質2）便于計算機實踐按數學性質確定型隨機型離散型連續(xù)型按表達式分類：1.1.2對數學問題給出數值計算方法現代計算機簡單的算術運算和邏輯運算

科學和工程計算問題數學模型數值化計算機

數值計算方法不同的數學問題不同的數值計算方法數值計算方法優(yōu)劣的評價標準速度精度1.1.3對數值計算方法進行程序設計

一個好的數值計算方法要通過程序設計，才能在計算機上實踐。程序設計要求用最簡練的計算機語言、最快的速度、最少的存儲和準確的計算結果。這就要求程序設計者不僅要掌握數值計算方法，而且要熟悉并能熟練使用計算機語言，準確無誤地描述每一個算法。1.1.4上機計算并分析結果前面三個階段工作的結果如何？上機計算的結果與工程實際符合？所做研究是否具有推廣價值？1.2現代科學計算的一般過程1.2.1數值計算方法的研究內容數值代數數值逼近微分方程數值解法最優(yōu)化理論與方法線性方程組，矩陣特征值特征向量，非線性方程方程組的數值解法。各種函數逼近問題數值積分數值微分常微分方程偏微分方程1.2.2數值計算方法的特點例1.1

利用克拉姆法則求解線性方程組，當方程組階數n很大，例如n=20,計算機運算速度1億次/秒,大約需算幾十萬年;好方法如高斯消去法不到一分鐘就可以得到結果。另外，有計算結果可靠性問題。這個例子說明研究數值計算方法很有必要，而數值計算方法所研究的正是在計算效率上最佳的或近似最佳的方法，而不是象克拉姆法則這樣的方法。例1.2計算公式一：注意此公式精確成立記為則初始誤差????!!!考察第n步的誤差我們有責任改變。造成這種情況的是不穩(wěn)定的算法/*unstablealgorithm*/迅速積累，誤差呈遞增勢?？梢姵跏嫉男_動公式二：注意此公式與公式一在理論上等價。方法：先估計一個IN

,再反推要求的In(n<<N)?？扇∪】疾旆赐埔徊降恼`差：以此類推，對n<N

有：誤差逐步遞減,這樣的算法稱為穩(wěn)定的算法/*stablealgorithm*/

通過上面的兩個例子我們可以發(fā)現，數值計算方法與純數學有明顯的不同，概括起來有以下幾個特點：第一面向計算機的數值計算方法理論的發(fā)展與計算機技術的發(fā)展密切相關。第二數值計算方法的誤差分析、收斂性與數值穩(wěn)定性分析都是建立在相應的數學理論基礎之上的。第三數值計算方法的可行性。第四需要通過實際去驗證數值計算方法。本課程的理論基礎：微積分，線性代數，常微分方程?？筛鶕n時需要自行選擇授課內容。從實際問題中抽象出數學模型

——模型誤差/*ModelingError*/通過測量得到模型中參數的值

——觀測誤差/*MeasurementError*/求近似解——方法誤差(截斷誤差/*TruncationError*/)機器字長有限——舍入誤差

/*RoundoffError*/1.3計算過程中的誤差及其控制1.3.1誤差的來源與分類1.3.2誤差與有效數字/*ErrorandSignificantDigits*/絕對誤差/*absoluteerror*/其中x為近似值，x*為x的精確值。，例如：工程上常記為，稱為絕對誤差限

/*accuracy*/，的上限記為注：e理論上講是唯一確定的，可能取正，也可能取負。

e>0不唯一，當然e越小越具有參考價值。然而，絕對誤差限的大小不能完全刻畫近似值的精確程度，例如：某量的精確值為其近似值為另一個量的精確值為相應的近似值為這兩個量的絕對誤差限都是，但是顯然的精度要比的精度好。為反映這種近似程度我們引入相對誤差的概念。相對誤差/*relativeerror*/NowIwouldn’tcallitsimple.Say…whatistherelativeerrorof20cm±1cm?Don’ttellmeit’s5%because…Butwhatkindofinformationdoesthat5%giveusanyway?x的相對誤差上限

/*relativeaccuracy*/

定義為Amathematician,aphysicist,andanengineerweretravelingthroughScotlandwhentheysawablacksheepthroughthewindowofthetrain."Aha,"saystheengineer,"IseethatScottishsheepareblack.""Hmm,"saysthephysicist,"YoumeanthatsomeScottishsheepareblack.""No,"saysthemathematician,"AllweknowisthatthereisatleastonesheepinScotland,andthatatleastonesideofthatonesheepisblack!"注：在實際計算中，常用計算相對誤差限那么，與是否反映了同一數量級的誤差？

有效數字/*significantdigits*/用科學計數法，記（其中）。若（即的截取按四舍五入規(guī)則），則稱為有n位有效數字，精確到位。例：問：有幾位有效數字？請證明你的結論。證明：有位有效數字，精確到小數點后第位。43注：0.2300有4位有效數字，而00023只有2位有效。12300如果寫成0.123105，則表示只有3位有效數字。

數字末尾的0不可隨意省去！有效數字與相對誤差的關系

有效數字

相對誤差限已知x

有n位有效數字，則其相對誤差限為相對誤差限有效數字已知x

的相對誤差限可寫為則可見x

至少有n位有效數字。例：為使的相對誤差小于0.001%,至少應取幾位有效數字？解：假設*取到n

位有效數字，則其相對誤差上限為要保證其相對誤差小于0.001%，只要保證其上限滿足已知a1=3，則從以上不等式可解得n>6log6，即n6，應取*=3.14159。1.3.3誤差的傳播/*Spread*/誤差分析的重要性（考察例1.2）誤差的傳播可用微分描述誤差的變化即的微分表示的絕對誤差，的微分表示的相對誤差。?????1.避免相近二數相減例：a1=0.12345，a2=0.12346，各有5位有效數字。而a2

a1=0.00001，只剩下1位有效數字。

幾種經驗性避免方法：當|x|<<1時：1.3.4誤差的控制2.避免大數吃小數例：用單精度計算的根。精確解為算法1：利用求根公式在計算機內，109存為0.11010，1存為0.1101。做加法時，兩加數的指數先向大指數對齊，再將浮點部分相加。即1的指數部分須變?yōu)?010，則：1=0.00000000011010，取單精度時就成為：109+1=0.100000001010+0.000000001010=0.100000001010大數吃小數算法2：先解出再利用注：求和時從小到大相加，可使和的誤差減小。例：按從小到大、以及從大到小的順序分別計算1+2+3+…+40+1093.先化簡再計算，減少步驟，避免誤差積累。一般來說，計算機