2023屆北京市西城區(qū)第十四中高三最后一模數(shù)學(xué)試題含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知（為虛數(shù)單位，為的共軛復(fù)數(shù)），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）.A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．甲乙兩人有三個(gè)不同的學(xué)習(xí)小組，，可以參加，若每人必須參加并且僅能參加一個(gè)學(xué)習(xí)小組，則兩人參加同一個(gè)小組的概率為（）A．B．C．D．3．已知，，，則()A． B． C． D．4．已知函數(shù)在上可導(dǎo)且恒成立，則下列不等式中一定成立的是（）A．、B．、C．、D．、5．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A．45 B．42 C．25 D．366．關(guān)于的不等式的解集是，則關(guān)于的不等式的解集是（）A． B．C． D．7．的展開(kāi)式中的系數(shù)是（）A．160 B．240 C．280 D．3208．某程序框圖如圖所示，若輸出的，則判斷框內(nèi)為（）A． B． C． D．9．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，則該橢圓的離心率是（）A． B． C． D．10．如圖在直角坐標(biāo)系中，過(guò)原點(diǎn)作曲線的切線，切點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)分別作、軸的垂線，垂足分別為、，在矩形中隨機(jī)選取一點(diǎn)，則它在陰影部分的概率為（）A． B． C． D．11．已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P橢圓上，且，若，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．12．若2m＞2n＞1，則（）A． B．πm﹣n＞1C．ln（m﹣n）＞0 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在長(zhǎng)方體中，，E，F(xiàn)，G分別為的中點(diǎn),點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)，若直線平面EFG，則線段長(zhǎng)度的最小值是________________.14．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，則________.15．已知拋物線的焦點(diǎn)為，斜率為的直線過(guò)且與拋物線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若在第一象限，那么_______________．16．設(shè)、分別為橢圓：的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)作斜率為1的直線，交于、兩點(diǎn)，則________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（1）求；（2）若，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，且，求的面積.18．（12分）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，，角為銳角，的面積為.（1）求角的大?。唬?）求的值.19．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為()，將曲線向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到曲線.（1）求曲線的普通方程和極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)，求的取值范圍.20．（12分）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為.（1）寫(xiě)出圓C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，，求的值.21．（12分）萬(wàn)眾矚目的第14屆全國(guó)冬季運(yùn)動(dòng)運(yùn)會(huì)（簡(jiǎn)稱(chēng)“十四冬”）于2020年2月16日在呼倫貝爾市盛大開(kāi)幕，期間正值我市學(xué)校放寒假，寒假結(jié)束后，某校工會(huì)對(duì)全校100名教職工在“十四冬”期間每天收看比賽轉(zhuǎn)播的時(shí)間作了一次調(diào)查，得到如圖頻數(shù)分布直方圖：（1）若將每天收看比賽轉(zhuǎn)播時(shí)間不低于3小時(shí)的教職工定義為“冰雪迷”，否則定義為“非冰雪迷”，請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖補(bǔ)全列聯(lián)表；并判斷能否有的把握認(rèn)為該校教職工是否為“冰雪迷”與“性別”有關(guān)；（2）在全?！氨┟浴敝邪葱詣e分層抽樣抽取6名，再?gòu)倪@6名“冰雪迷”中選取2名作冰雪運(yùn)動(dòng)知識(shí)講座.記其中女職工的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，22．（10分）已知關(guān)于的不等式解集為（）.（1）求正數(shù)的值；（2）設(shè)，且，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

設(shè)，由，得，利用復(fù)數(shù)相等建立方程組即可.【詳解】設(shè)，則，所以，解得，故，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，涉及到共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的模等知識(shí)，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道容易題.2、A【解析】依題意，基本事件的總數(shù)有種，兩個(gè)人參加同一個(gè)小組，方法數(shù)有種，故概率為.3、B【解析】

利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將數(shù)據(jù)和做對(duì)比，即可判斷.【詳解】由于，，故.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬基礎(chǔ)題.4、A【解析】

設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)和題設(shè)條件，得到，得出函數(shù)在R上單調(diào)遞增，得到，進(jìn)而變形即可求解.【詳解】由題意，設(shè)，則，又由，所以，即函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則，即，變形可得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，以及利用單調(diào)性比較大小，其中解答中根據(jù)題意合理構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了構(gòu)造思想，以及推理與計(jì)算能力，屬于中檔試題.5、D【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可知,進(jìn)而代入等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式即可.【詳解】由題,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì),考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和.6、A【解析】

由的解集，可知及，進(jìn)而可求出方程的解，從而可求出的解集.【詳解】由的解集為，可知且，令，解得，，因?yàn)?，所以的解集為，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力與推理能力，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

首先把看作為一個(gè)整體，進(jìn)而利用二項(xiàng)展開(kāi)式求得的系數(shù)，再求的展開(kāi)式中的系數(shù)，二者相乘即可求解.【詳解】由二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可得的第項(xiàng)為，令，則，又的第為，令，則，所以的系數(shù)是.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式指定項(xiàng)的系數(shù)，掌握二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】程序在運(yùn)行過(guò)程中各變量值變化如下表：KS是否繼續(xù)循環(huán)循環(huán)前11第一圈24是第二圈311是第三圈426是第四圈557是第五圈6120否故退出循環(huán)的條件應(yīng)為k>5?本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：使用循環(huán)結(jié)構(gòu)尋數(shù)時(shí)，要明確數(shù)字的結(jié)構(gòu)特征，決定循環(huán)的終止條件與數(shù)的結(jié)構(gòu)特征的關(guān)系及循環(huán)次數(shù)．尤其是統(tǒng)計(jì)數(shù)時(shí)，注意要統(tǒng)計(jì)的數(shù)的出現(xiàn)次數(shù)與循環(huán)次數(shù)的區(qū)別．9、A【解析】

聯(lián)立直線方程與橢圓方程，解得和的坐標(biāo)，然后利用向量垂直的坐標(biāo)表示可得，由離心率定義可得結(jié)果.【詳解】由，得，所以，.由題意知，所以，.因?yàn)?所以,所以.所以，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與橢圓的交點(diǎn)，考查了向量垂直的坐標(biāo)表示，考查了橢圓的離心率公式，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

設(shè)所求切線的方程為，聯(lián)立，消去得出關(guān)于的方程，可得出，求出的值，進(jìn)而求得切點(diǎn)的坐標(biāo)，利用定積分求出陰影部分區(qū)域的面積，然后利用幾何概型概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】設(shè)所求切線的方程為，則，聯(lián)立，消去得①，由，解得，方程①為，解得，則點(diǎn)，所以，陰影部分區(qū)域的面積為，矩形的面積為，因此，所求概率為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查定積分的計(jì)算以及幾何概型，同時(shí)也涉及了二次函數(shù)的切線方程的求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.11、C【解析】

不妨設(shè)在第一象限，故，根據(jù)得到，解得答案.【詳解】不妨設(shè)在第一象限，故，，即，即，解得，（舍去）.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的離心率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.12、B【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合特殊值進(jìn)行辨析.【詳解】若2m＞2n＞1＝20，∴m＞n＞0，∴πm﹣n＞π0＝1，故B正確；而當(dāng)m，n時(shí)，檢驗(yàn)可得，A、C、D都不正確，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)指數(shù)冪的大小關(guān)系判斷參數(shù)的大小，根據(jù)參數(shù)的大小判定指數(shù)冪或?qū)?shù)的大小關(guān)系，需要熟練掌握指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合特值法得出選項(xiàng).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

如圖，連接，證明平面平面EFG.因?yàn)橹本€平面EFG，所以點(diǎn)P在直線AC上.當(dāng)時(shí).線段的長(zhǎng)度最小，再求此時(shí)的得解.【詳解】如圖，連接，因?yàn)镋，F(xiàn)，G分別為AB，BC，的中點(diǎn)，所以，平面，則平面.因?yàn)?，所以同理得平面，?所以平面平面EFG.因?yàn)橹本€平面EFG，所以點(diǎn)P在直線AC上.在中，，故當(dāng)時(shí).線段的長(zhǎng)度最小，最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查空間位置關(guān)系的證明，考查立體幾何中的軌跡問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.14、【解析】

利用正弦定理將邊化角，即可容易求得結(jié)果.【詳解】由正弦定理可知，，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化，屬基礎(chǔ)題.15、2【解析】

如圖所示，先證明，再利用拋物線的定義和相似得到.【詳解】由題得,.因?yàn)?所以,過(guò)點(diǎn)A、B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為M，N，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E,設(shè)|BF|=m，|AF|=n，則|BN|=m，|AM|=n，所以|AE|=n-m，因?yàn)?所以|AB|=3(n-m)，所以3(n-m)=n+m，所以.所以.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的定義，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.16、【解析】

由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出焦點(diǎn)的坐標(biāo)，寫(xiě)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出弦長(zhǎng)，利用定義可得，進(jìn)而求出。【詳解】由知，焦點(diǎn)，所以直線：，代入得，即，設(shè)，，故由定義有，，所以。【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義、橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、以及直線與橢圓位置關(guān)系中弦長(zhǎng)的求法，注意直線過(guò)焦點(diǎn)，位置特殊，采取合適的弦長(zhǎng)公式，簡(jiǎn)化運(yùn)算。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

(1)利用正弦定理邊化角,再利用余弦定理求解即可.(2)為為的中線,所以再平方后利用向量的數(shù)量積公式進(jìn)行求解,再代入可解得,再代入面積公式求解即可.【詳解】（1）由,可得,由余弦定理可得,故.（2）因?yàn)闉榈闹芯€,所以,兩邊同時(shí)平方可得,故.因?yàn)?所以.所以的面積.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用正余弦定理與面積公式求解三角形的問(wèn)題,同時(shí)也考查了向量在解三角形中的運(yùn)用,屬于中檔題.18、（1）；（2）7.【解析】分析：（1）由三角形面積公式和已知條件求得sinA的值，進(jìn)而求得A；（2）利用余弦定理公式和（1）中求得的A求得a．詳解：（1）∵，∴，∵為銳角，∴；（2）由余弦定理得：.點(diǎn)睛：本題主要考查正弦定理邊角互化及余弦定理的應(yīng)用與特殊角的三角函數(shù)，屬于簡(jiǎn)單題.對(duì)余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時(shí)還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.19、（1）的極坐標(biāo)方程為，普通方程為；（2）【解析】

（1）根據(jù)三角函數(shù)恒等變換可得，，可得曲線的普通方程，再運(yùn)用圖像的平移得依題意得曲線的普通方程為，利用極坐標(biāo)與平面直角坐標(biāo)互化的公式可得方程；（2）法一：將代入曲線的極坐標(biāo)方程得，運(yùn)用韋達(dá)定理可得，根據(jù)，可求得的范圍；法二:設(shè)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)，為直線的傾斜角)，代入曲線的普通方程得，運(yùn)用韋達(dá)定理可得，根據(jù)，可求得的范圍；【詳解】（1），，即曲線的普通方程為，依題意得曲線的普通方程為，令，得曲線的極坐標(biāo)方程為；（2）法一：將代入曲線的極坐標(biāo)方程得，則，，，異號(hào)，，，；法二:設(shè)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)，為直線的傾斜角)，代入曲線的普通方程得，則，，，異號(hào)，，.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程，極坐標(biāo)方程與平面直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)化，求解幾何量的取值范圍，關(guān)鍵在于明確極坐標(biāo)系中極徑和極角的幾何含義，直線的參數(shù)方程，參數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.20、（1）；（2）20【解析】

（1）利用即可得到答案；（2）利用直線參數(shù)方程的幾何意義，.【詳解】解：（1）由，得圓C的直角坐標(biāo)方程為，即.（2）將直線l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得，即，設(shè)兩交點(diǎn)A，B所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，從而，則.【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)方程與普通方程的互化、直線參數(shù)方程的幾何意義等知識(shí)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道容易題.21、（1）列聯(lián)表見(jiàn)