C02 軸向拉伸和壓縮 2

2.4材料拉伸或壓縮時的力學(xué)性能分析構(gòu)件的強(qiáng)度時,除計算應(yīng)力外,還應(yīng)了解材料的力學(xué)性能。2.4.1低碳鋼拉伸時的力學(xué)性能低碳鋼是指含碳量在0.3%以下的碳素鋼。這類鋼材在工程中使用較廣,在拉伸試驗中表現(xiàn)出的力學(xué)性能也最為典型。材料的力學(xué)性能也稱為機(jī)械性質(zhì),是指材料在外力作用下表現(xiàn)出的變形、破壞等方面的特性。它要由實驗來測定。2.4材料拉伸或壓縮時的力學(xué)性能為了便于比較不同材料的試驗結(jié)果,對試樣的形狀、加工精度、加載速度、試驗環(huán)境等,國家標(biāo)準(zhǔn)都有統(tǒng)一規(guī)定。標(biāo)準(zhǔn)圓試樣1.試樣l＝5d

和l＝10d在試樣上取長為l的一段作為試驗段,l稱為標(biāo)距。對圓截面試樣,標(biāo)距l(xiāng)與直徑d兩種比例,即2.4材料拉伸或壓縮時的力學(xué)性能標(biāo)準(zhǔn)矩形試樣對矩形截面標(biāo)準(zhǔn)試樣,則規(guī)定其標(biāo)距l(xiāng)與橫截面面積A的比例,也有兩種和2.4材料拉伸或壓縮時的力學(xué)性能在室溫下,以緩慢平穩(wěn)的加載方式進(jìn)行試驗,稱為常溫靜載試驗,是測定材料力學(xué)性能的基本試驗。2.試驗條件3.試驗儀器液壓式萬能試驗機(jī)液壓式萬能試驗機(jī)底座活動試臺活塞油管2.4材料拉伸或壓縮時的力學(xué)性能4.試驗過程試樣裝在試驗機(jī)上,受到緩慢增加的拉力作用。對應(yīng)著每一個拉力F,試樣標(biāo)距l(xiāng)有一個伸長量Δl。表示F和Δl的關(guān)系的曲線,稱為拉伸圖或F－Δl曲線。試驗過程F－Δl曲線與試樣的尺寸有關(guān)。把拉力F除以試樣橫截面的原始面積A,得出正應(yīng)力s;同時,把伸長量Δl除以標(biāo)距的原始長度l,得到應(yīng)變e。以s為縱坐標(biāo),e為橫坐標(biāo),作圖表示s與e的關(guān)系稱為應(yīng)力－應(yīng)變圖或s－e曲線。s與e的關(guān)系為直線Oa,應(yīng)力s與應(yīng)變e成正比。這就是拉伸或壓縮的胡克定律。1)彈性階段––Oa段E為與材料有關(guān)的比例常數(shù),稱為彈性模量。E的量綱與s相同,常用單位為GPa(1GPa=109Pa)s/e是直線Oa的斜率。直線部分的最高點a所對應(yīng)的應(yīng)力sp稱為比例極限。只有應(yīng)力低于比例極限時,應(yīng)力才與應(yīng)變成正比,材料才服從胡克定律。這時,稱材料是線彈性的。超過比例極限后,從a點到b點,s與e之間的關(guān)系不再是直線,但解除拉力后變形仍可完全消失,這種變形稱為彈性變形。b點所對應(yīng)的應(yīng)力se是材料只出現(xiàn)彈性變形的極限值,稱為彈性極限。a,b兩點非常接近,工程上對彈性極限和比例極限并不嚴(yán)格區(qū)分,而統(tǒng)稱為彈性極限。2)屈服階段––bc段應(yīng)力大于彈性極限,解除拉力,試樣變形的一部分消失(彈性變形)。留下一部分不能消失的變形,稱為塑性變形或殘余變形。應(yīng)力基本保持不變,而應(yīng)變顯著增加的現(xiàn)象稱為屈服或流動。在屈服階段內(nèi)的最高應(yīng)力和最低應(yīng)力分別稱為上屈服極限和下屈服極限。應(yīng)力超過b點增加到某一數(shù)值,應(yīng)變明顯增加,應(yīng)力先是下降,然后作微小的波動,在s-e曲線上出現(xiàn)接近水平線的小鋸齒形線段。上屈服極限的數(shù)值與試樣形狀、加載速度等因素有關(guān),一般是不穩(wěn)定的。下屈服極限則有比較穩(wěn)定的數(shù)值,能夠反應(yīng)材料的性能。通常把下屈服極限稱為屈服極限或屈服點,用ss來表示。表面磨光的試樣屈服時,表面將出現(xiàn)與軸線大致成45o傾角的條紋。這是由于材料內(nèi)部相對滑移形成的,稱為滑移線。因為拉伸時在與桿軸成45o傾角的斜截面上,切應(yīng)力為最大值,可見屈服現(xiàn)象的出現(xiàn)與最大切應(yīng)力有關(guān)。

過屈服階段后,材料又恢復(fù)了抵抗變形的能力,要使它繼續(xù)變形必須增加拉力。這種現(xiàn)象稱為材料的強(qiáng)化。強(qiáng)化階段中的最高點e所對應(yīng)的應(yīng)力sb是材料所能承受的最大應(yīng)力,稱為強(qiáng)度極限或抗拉強(qiáng)度。3)強(qiáng)化階段––ce段過e點后,在試樣的某一局部范圍內(nèi),橫向尺寸突然急劇縮小,形成縮頸現(xiàn)象。4)局部變形階段––ef段由于在縮頸部分橫截面面積迅速減小,使試樣繼續(xù)伸長所需要的拉力也相應(yīng)減少。在s-e圖中,用橫截面原始面積A算出的應(yīng)力s＝F/A隨之下降,降落到f點,試樣被拉斷。d＞5%--塑性材料d＜5%--脆性材料伸長率(延伸率)斷面收縮率5)伸長率和斷面收縮率如把試樣拉到超過屈服極限的d點,然后逐漸卸除拉力,應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系將沿著斜直線dd'回到d'點。斜直線dd'近似地平行于Oa。6)卸載定律及冷作硬化在卸載過程中,應(yīng)力和應(yīng)變按直線規(guī)律變化。這就是卸載定律。拉力完全卸除后,應(yīng)力—應(yīng)變圖中,d'g表示消失了的彈性變形,而Od'表示不再消失的塑性變形。卸載后,如在短期內(nèi)再次加載,則應(yīng)力和應(yīng)變大致上沿卸載時的斜直線d'd變化。直到d點后,又沿曲線def變化?？梢娫谠俅渭虞d時,直到d點以前材料的變形是彈性的,過d點后才開始出現(xiàn)塑性變形。

比較圖中的Oabcdef和d'def兩條曲線,可見在第二次加載時,其比例極限(亦即彈性階段)得到了提高,但塑性變形和伸長率卻有所降低。這種現(xiàn)象稱為冷作硬化。冷作硬化現(xiàn)象經(jīng)退火后又可消除。工程上經(jīng)常利用冷作硬化來提高材料的彈性階段。如起重用的鋼索和建筑用的鋼筋,常用冷拔工藝以提高強(qiáng)度。對某些零件進(jìn)行噴丸處理,使其表面發(fā)生塑性變形,形成冷硬層,以提高零件表面層的強(qiáng)度。但另一方面,零件初加工后,由于冷作硬化使材料變脆變硬,給下一步加工造成困難,且容易產(chǎn)生裂紋,往往就需要在工序之間安排退火,以消除冷作硬化的影響。若試樣拉伸至強(qiáng)化階段后卸載,經(jīng)過一段時間后再受拉,則其線彈性范圍的最大荷載還有所提高,如圖中虛線cb'所示。這種現(xiàn)象稱為冷作時效。冷作時效不僅與卸載后至加載的時間間隔有關(guān),而且與試樣所處的溫度有關(guān)。工程上常用的塑性材料,除低碳鋼外,還有中碳鋼、高碳鋼和合金鋼、鋁合金、青銅、黃銅等。2.4.2其它金屬材料在拉伸時的力學(xué)性能其中有些材料,如Q345鋼,和低碳鋼一樣,有明顯的彈性階段、屈服階段、強(qiáng)化階段和局部變形階段。有些材料,如黃銅H62,沒有屈服階段,但其它三階段卻很明顯。還有些材料,如高碳鋼T10A,沒有屈服階段和局部變形階段,只有彈性階段和強(qiáng)化階段。對沒有明顯屈服極限的塑性材料,可以將產(chǎn)生0.2%塑性應(yīng)變時的應(yīng)力作為屈服指標(biāo),并用s0.2來表示,稱為名義屈服應(yīng)力。各類碳素鋼中,隨含碳量的增加,屈服極限和強(qiáng)度極限相應(yīng)提高,但伸長率降低。例如合金鋼、工具鋼等高強(qiáng)度鋼材,屈服極限較高,但塑性性能卻較差。名義屈服應(yīng)力(規(guī)定非比例伸長應(yīng)力、屈服強(qiáng)度)灰口鑄鐵拉伸時的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系是一段微彎曲線,沒有明顯的直線部分。它在較小的拉應(yīng)力下就被拉斷,沒有屈服和縮頸現(xiàn)象,拉斷前的應(yīng)變很小,伸長率也很小?；铱阼T鐵是典型的脆性材料。2.4.2其它金屬材料在拉伸時的力學(xué)性能鑄鐵拉斷時的最大應(yīng)力即為其強(qiáng)度極限,沒有屈服現(xiàn)象,強(qiáng)度極限sb是衡量強(qiáng)度的唯一指標(biāo)。鑄鐵的s-e圖沒有明顯的直線部分,彈性模量E的數(shù)值隨應(yīng)力的大小而變。脆性材料的抗拉強(qiáng)度很低,所以不宜作為抗拉零件。在工程中鑄鐵的拉應(yīng)力不能很高,在較低的拉應(yīng)力下,可近似地認(rèn)為服從胡克定律。通常取總應(yīng)變?yōu)?.1%時s-e曲線的割線的斜率作為彈性模量,稱為割線彈性模量。鑄鐵經(jīng)球化處理成為球墨鑄鐵后,力學(xué)性能有顯著變化,不但有較高的強(qiáng)度,還有較好的塑性性能。國內(nèi)不少工廠成功地用球墨鑄鐵代替鋼材制造曲軸、齒輪等零件。2.4.3材料壓縮時的力學(xué)性能壓縮試樣通常用圓截面或正方形截面的短柱體,其長度l與橫截面直徑d或邊長b的比值一般規(guī)定為1到3,這樣才能避免試樣在試驗過程中被壓彎。2.4.3材料壓縮時的力學(xué)性能由于壓縮試樣的高度與寬度之間的比值較小,因而試樣兩端的端部影響必將波及整個試樣。此外,試樣受壓后,其橫向尺寸將增大,而試樣的兩端面與試驗機(jī)承壓平臺間的摩擦阻力則阻止其擴(kuò)大。這些因素將使壓縮試樣中的應(yīng)力情況變得較為復(fù)雜,從而使試驗所測定的在壓縮時材料的力學(xué)性能帶有一定的條件性。2.4.3材料壓縮時的力學(xué)性能低碳鋼壓縮時的彈性模量E和屈服極限ss都與拉伸時大致相同。屈服階段以后,試樣越壓越扁,橫截面面積不斷增大,試樣抗壓能力也繼續(xù)增高,因而得不到壓縮時的強(qiáng)度極限。由于可從拉伸試驗測定低碳鋼壓縮時的主要性能,所以不一定要進(jìn)行壓縮試驗。2.4.3材料壓縮時的力學(xué)性能類似情況在一般的塑性材料中也存在。但有些材料(例如鉻鉬硅合金鋼)在拉伸和壓縮時的屈服極限并不相同,因此,對這些材料需要做壓縮試驗,以確定其壓縮屈服極限。2.4.3材料壓縮時的力學(xué)性能脆性材料在壓縮和拉伸時的力學(xué)性能有較大的區(qū)別。50o~55o圖示為灰口鑄鐵在拉伸(虛線)和壓縮(實線)時的s-e曲線,壓縮試樣的l:d＝5:1。比較拉伸和壓縮兩條曲線看出:(1)在壓縮時無論是強(qiáng)度極限還是伸長率都比在拉伸時要大得多,因而這種材料宜用作受壓構(gòu)件;(2)無論在拉伸或壓縮時,其s-e曲線中的直線部分都很短,因此,只能認(rèn)為近似地符合胡克定律。

50o~55o比例極限p彈性模量E彈性極限e屈服極限s強(qiáng)度極限b伸長率d斷面收縮率Y衡量材料力學(xué)性能的主要指標(biāo):溫度和時間對材料力學(xué)性能的影響汽輪機(jī)的葉片長期在高溫中運轉(zhuǎn);液態(tài)氫或液態(tài)氮的容器則在低溫下工作。材料在高溫和低溫下的力學(xué)性能與常溫下并不相同,且往往與作用時間的長短有關(guān)。短期靜載下,溫度對材料力學(xué)性能的影響確定金屬材料在高溫下的性能,可對處于一定溫度下的試件進(jìn)行短期靜載拉伸試驗,例如在15或20分鐘內(nèi)拉斷的試驗。溫度和時間對材料力學(xué)性能的影響在高溫短期靜載下,低碳鋼的ss和E隨溫度的增高而降低。在250℃～300℃之前,隨溫度的升高,d,ψ降低而sb增加;在250℃～300℃之后,隨溫度的升高,d,ψ增加而sb降低。溫度和時間對材料力學(xué)性能的影響在低溫情況下,碳鋼的彈性極限和強(qiáng)度極限都有所提高,但伸長率則相應(yīng)降低。在低溫下,碳鋼傾向于變脆。在高溫下,長期作用載荷將影響材料的力學(xué)性能。試驗結(jié)果表明,如低于一定溫度(例如對碳鋼來說,溫度在300℃～350℃以下),雖長期作用載荷,材料的力學(xué)性能并無明顯的變化。高溫、長期靜載下材料的力學(xué)性能但如高于一定溫度,且應(yīng)力超過某一限度,則材料在這一固定應(yīng)力和不變溫度下,隨著時間的增長,變形將緩慢加大,這種現(xiàn)象稱為蠕變。蠕變變形是塑性變形,卸載后不再消失。在高溫下工作的零件往往因蠕變而引起事故。例如汽輪機(jī)的葉片可能因蠕變發(fā)生過大的塑性變形,以致與輪殼相碰而打碎。圖示曲線是金屬材料在不變溫度和固定應(yīng)力下,蠕變變形‘隨時間’變化的典型曲線。圖中A點所對應(yīng)的應(yīng)變是載荷作用時立刻就得到的應(yīng)變。從A到B蠕變速度(即曲線的斜率)不斷減小,是不穩(wěn)定的蠕變階段。從B到C蠕變速度最小,且接近于常量,是穩(wěn)定的蠕變階段。從C點開始蠕變速度又逐漸增加,是蠕變的加速階段。過D點后,蠕變速度急劇加大以至斷裂。溫度和時間對材料力學(xué)性能的影響高溫下工作的零件,在發(fā)生彈性變形后,如保持其變形總量不變,根據(jù)胡克定律,則零件內(nèi)將保持一定的預(yù)緊力。隨著時間的增長,因蠕變而逐漸發(fā)展的塑性變形將逐步地代替了原來的彈性變形,從而使零件內(nèi)的預(yù)緊力逐漸降低、這種現(xiàn)象稱為松弛?？款A(yù)緊力密封或連接的機(jī)器,往往因松弛而引起漏氣或松脫。例如汽輪機(jī)轉(zhuǎn)子與軸的緊密配合可能因松弛而松脫。對這類問題就需要了解材料有關(guān)蠕變的性質(zhì)。2.5拉伸或壓縮時的強(qiáng)度計算2.5.1失效由脆性材料制成的構(gòu)件,在拉力作用下,當(dāng)變形很小時就會突然斷裂。塑性材料制成的構(gòu)件,在拉斷之前先已出現(xiàn)塑性變形,由于不能保持原有的形狀和尺寸,它已不能正常工作。把斷裂和出現(xiàn)塑性變形統(tǒng)稱為失效。受壓短桿的被壓潰、壓扁同樣也是失效。若機(jī)床主軸變形過大,即使未出現(xiàn)塑性變形,但還是不能保證加工精度,這也是失效,它是剛度不足造成的。受壓細(xì)長桿的被壓彎,則是穩(wěn)定性不足引起的失效。此外,不同的加載方式,如沖擊、交變應(yīng)力等,以及不同的環(huán)境條件,如高溫、腐蝕介質(zhì)等,都可以導(dǎo)致失效。上述這些失效現(xiàn)象都是強(qiáng)度不足造成的。2.5拉伸或壓縮時的強(qiáng)度計算2.5拉伸或壓縮時的強(qiáng)度計算2.5.2極限應(yīng)力脆性材料斷裂時的應(yīng)力是強(qiáng)度極限sb,塑性材料達(dá)到屈服時的應(yīng)力是屈服極限ss,這兩者都是構(gòu)件失效時的極限應(yīng)力,用su表示。脆性材料塑性材料為保證構(gòu)件有足夠的強(qiáng)度,在載荷作用下構(gòu)件的實際應(yīng)力s(以后稱為工作應(yīng)力)應(yīng)低于極限應(yīng)力。強(qiáng)度計算中,以大于1的因數(shù)除極限應(yīng)力,所得結(jié)果稱為許用應(yīng)力,用[s]來表示。對于塑性材料對于脆性材料式中大于1的因數(shù)ns、nb

或n稱為安全因數(shù)。2.5.3許用應(yīng)力把許用應(yīng)力[s]作為構(gòu)件工作應(yīng)力的最高限度,即要求工作應(yīng)力s不超過許用應(yīng)力[s]。于是得構(gòu)件軸向拉伸或壓縮時的強(qiáng)度條件為2.5.4強(qiáng)度條件2.5.5強(qiáng)度計算的三類問題①強(qiáng)度校核②截面沒計③確定許可載荷＊＊＊安全因數(shù)＊＊＊由于一般所指的塑性材料和脆性材料,其劃分界線的依據(jù)不夠確切,因此以材料的屈服極限與抗拉強(qiáng)度之比ss/sb為依據(jù)來選取極限應(yīng)力和安全因數(shù)。比值ss/sb稱為屈強(qiáng)比。對屈強(qiáng)比較低的材料,以屈服極限作為極限應(yīng)力,其安全因數(shù)ns也較低一些,例如在靜載荷作用下的一般零部件,軋件和鍛件的安全因數(shù)取ns＝1.2～2.2,鑄件取nb＝1.6～2.5。對屈強(qiáng)比較高的材料,例如高強(qiáng)度鋼,由于其屈服點已接近于抗拉強(qiáng)度,則取作為極限應(yīng)力,其安全因數(shù)nb也較高一些。例如一般情況下鋼材取nb＝2.0～2.5;鑄件取nb＝4。對脆性材料,取nb＝2.0～3.5。＊＊＊安全因數(shù)＊＊＊

安全因數(shù)的確定是一件復(fù)雜的工作,它受具體構(gòu)件的工作條件影響很大,還有經(jīng)濟(jì)上的考慮。企圖對一種材料規(guī)定統(tǒng)一的安全因數(shù),從而得到統(tǒng)一的許用應(yīng)力,并將它用于設(shè)計各種工作條件不同的構(gòu)件,這是不科學(xué)的。在機(jī)械設(shè)計和建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計中,均傾向于根據(jù)構(gòu)件的材料和具體工作條件,并結(jié)合過去制造同類型構(gòu)件的實踐經(jīng)驗和現(xiàn)實的技術(shù)水平,規(guī)定不同的安全因數(shù)。對于各種不同構(gòu)件的安全因數(shù)和許用應(yīng)力,有關(guān)設(shè)計部門在規(guī)范中有具體的規(guī)定。＊＊＊安全因數(shù)＊＊＊土建工程中的金屬結(jié)構(gòu),基本上承受靜載荷,常用Q235鋼,取n＝1.5。相應(yīng)的許用應(yīng)力[s]＝160MPa。起重機(jī)金屬結(jié)構(gòu),因承受動載荷,安全因數(shù)比土建工程用金屬結(jié)構(gòu)要大些,對Q235鋼,取n＝1.7,其許用應(yīng)力則為[s]＝140MPa。緊連接螺栓的許用應(yīng)力還與其直徑有關(guān)。對小直徑的螺栓,由于擰緊時比大直徑螺栓更易于超載,其許用應(yīng)力要取得小些。例如,在靜載荷下,對碳素鋼螺栓,當(dāng)名義直徑d0＝6mm～16mm時,取[s]＝(0.20～0.25)ss;當(dāng)d0＝16mm～30mm時,取[s]＝(0.25～0.4)ss;當(dāng)d0＝30mm～60mm時,取[s]＝(0.4～0.6)ss。如受動載荷,則再將這些許用應(yīng)力降低1/5～1/3。＊＊＊安全因數(shù)＊＊＊起重用鋼絲繩,由于提升重物時有一加速過程,實際受力比重物大;同時考慮到部分鋼絲的折斷、磨損、銹蝕以及彎曲變形等因素,因此按靜荷拉伸計算時其安全因數(shù)取得較大。對于人力驅(qū)動的起重鋼絲繩,取n＝4.5;機(jī)器驅(qū)動時取n＝5～6;而對于載人用的鋼絲繩則取n＝9。由上可見,對各種不同情況下工作的構(gòu)件,它們的安全因數(shù)或許用應(yīng)力的差別是比較大的,須根據(jù)構(gòu)件的具體情況來確定。＊＊＊安全因數(shù)＊＊＊安全因數(shù)的選取,關(guān)系到構(gòu)件的安全和經(jīng)濟(jì),兩者是矛盾的,應(yīng)適當(dāng)處理,將兩者合理地統(tǒng)一起來。若片面地強(qiáng)調(diào)安全,采用過大的安全因數(shù),就會造成構(gòu)件的尺寸過大,這不僅浪費材料,而且會使設(shè)計出的機(jī)器或結(jié)構(gòu)物粗笨。若不適當(dāng)?shù)貜?qiáng)調(diào)經(jīng)濟(jì),采用過小的安全因數(shù),就會使構(gòu)件尺寸過小,而不能保證構(gòu)件的安全耐用,甚至造成事故。安全因數(shù)也不是固定不變的,隨著工業(yè)技術(shù)的飛速發(fā)展,設(shè)計能力、工藝水平、材料產(chǎn)品質(zhì)量的不斷提高,以及人們對客觀事物的進(jìn)一步認(rèn)識,安全因數(shù)將會取得較小。＊＊＊安全因數(shù)＊＊＊確定安全因數(shù)應(yīng)考慮的因素,一般有以下幾點:(1)材料的素質(zhì),包括材料的均勻程度,質(zhì)地好壞,是塑性的還是脆性的等。(2)載荷情況,包括對載荷的估計是否準(zhǔn)確,是靜載荷還是動載荷等。(3)實際構(gòu)件簡化過程和計算方法的精確程度。(4)零件在設(shè)備中的重要性,工作條件,損壞后造成后果的嚴(yán)重程度,制造和修配的難易程度等。(5)對減輕設(shè)備自重和提高設(shè)備機(jī)動性的要求。＊＊＊安全因數(shù)＊＊＊例如材料的均勻程度較差,分析方法的精度不高,載荷估計粗糙等都是偏于不安全的因素,這時就要適當(dāng)?shù)卦黾影踩驍?shù)的數(shù)值,以補(bǔ)償這些不利因素的影響。又如某些工程結(jié)構(gòu)對減輕自重的要求高,材料質(zhì)地好,而且不要求長期使用。這就不妨適當(dāng)?shù)靥岣咴S用應(yīng)力的數(shù)值?？梢娫诖_定安全因數(shù)時,要綜合考慮多方面的因素,很難作統(tǒng)一的規(guī)定。不過,人類對客觀事物的認(rèn)識總是逐步地從不完善趨向于完善。隨著原材料質(zhì)量的日益提高,制造工藝和設(shè)計方法的不斷改進(jìn),對客觀世界認(rèn)識的不斷深化,安全因數(shù)的選擇必將日益趨向于合理。例:圖示三鉸屋架的主要尺寸如圖所示。它所承受的豎向均布載荷沿水平方向的集度為q＝4.2kN/m,屋架的鋼拉桿直徑d＝16mm,許用應(yīng)力[s]＝170MPa,試校核拉桿的強(qiáng)度。q1.42m0.4m螺栓鋼拉桿8.5m9.3m解:(1)作計算簡圖。由于兩屋面板之間和拉桿與屋面板之間的接頭不堅固,故把屋架的接頭看作鉸接,得屋架的計算簡圖如圖所示。8.5mqABC9.3m(2)求軸力。qABCFAxFAyFBqACFAxFAyFNFCyFCx4.25m4.65m(3)求拉桿橫截面上的應(yīng)力(4)強(qiáng)度校核滿足強(qiáng)度條件,故鋼拉桿在強(qiáng)度方面是安全的。例:起重三鉸架如圖所示。木桿AB的許用應(yīng)力[1]=12MPa,AC為鋼桿,許用應(yīng)力[2]=160MPa,求結(jié)構(gòu)的最大荷載F。解:取節(jié)點A分析,受力如圖鋼桿設(shè)計:80∠20x4FBCA30o木桿設(shè)計:FAFNABFNAC選結(jié)構(gòu)不合理，AC可能失穩(wěn)例:剛性桿ACB由圓桿CD懸掛在C點,B端作用集中力F＝25kN,已知CD桿的直徑d＝20mm,許用應(yīng)力[]＝160MPa,試校核CD桿的強(qiáng)度,并求:（1）結(jié)構(gòu)的許可荷載[F];（2）若F＝50kN,設(shè)計CD桿的直徑。解:求CD桿受力CD桿滿足強(qiáng)度條件。2aaFABDCFABCFNFAyFAx(1)結(jié)構(gòu)的許可荷載[F];2aaFABDCFABCFNFAyFAx結(jié)構(gòu)的許可荷載[F];d＝20mm,[]＝160MPa(2)若F＝50kN,設(shè)計CD桿的直徑。取d＝25mm2aaFABDCFABCFNFAyFAx例:圖示結(jié)構(gòu),AC

為剛性梁,BD為斜撐桿,載荷F可沿梁AC

水平移動。已知梁長為l,節(jié)點A和D間的距離為h。試問:為使斜撐桿的重量最輕,斜撐桿與梁之間的夾角應(yīng)取何值,即確定夾角的最佳角。lhABCDFq解:設(shè)斜撐桿的軸力為FN,載荷F的位置用坐標(biāo)x表示。FACBxqFNFAyFAx顯然,當(dāng)x＝l時,軸力FN最大:則由平衡方程MA(F)

=0,得:FACBxqFNFAyFAx根據(jù)強(qiáng)度要求,斜撐桿所需之最小橫截面面積為:于是得夾角的最佳值為:可見,要使斜撐桿的重量最輕,應(yīng)使其體積最小。由上式得由此得斜撐桿的體積為:例:某工地自制懸臂起重機(jī)如圖所示。撐桿AB為空心鋼管,外徑105mm,內(nèi)徑95mm。鋼索1和2互相平行,且設(shè)鋼索可作為相當(dāng)于直徑d＝25mm的圓桿計算。材料的許用應(yīng)力同為[s]＝60MPa。試確定起重機(jī)的許可吊重。解:分析滑輪A,假設(shè)撐桿AB受壓,軸力為FN;鋼索1受拉,拉力為F1。若不計摩擦力,則鋼索2的拉力F2與吊重W相等,即F2=W。解得選取坐標(biāo)軸x和y如圖所示。列出平衡方程如下:撐桿AB允許的最大軸力為同理鋼索1允許的最大拉力是代入(a)式得相應(yīng)吊重代入(b)式得相應(yīng)吊重比較可知,起重機(jī)的許可吊重應(yīng)為17kN。2.6軸向拉伸或壓縮時的變形直桿在軸向拉力作用下,將引起軸向尺寸的增大和橫向尺寸的縮小。反之,在軸向壓力作用下,將引起軸向的縮短和橫向的增大。FFll1b1b桿件在軸線方向的伸長為桿件在橫向的收縮為縱向應(yīng)變橫向應(yīng)變FFll1b1b工程上使用的大多數(shù)材料,其應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系的初始階段都是線彈性的。即,當(dāng)應(yīng)力不超過材料的比例極限時,應(yīng)力與應(yīng)變成正比,這就是胡克定律?？梢詫懗墒街械膹椥阅Ａ縀隨材料而不同。當(dāng)應(yīng)力不超過比例極限時,桿件的伸長Δl與拉力F和桿件的原長度l成正比,與橫截面面積A成反比。這是胡克定律的另一表達(dá)形式。對長度相同,受力相等的桿件,EA越大則變形Δl越小,所以EA稱為桿件的抗拉(或抗壓)剛度。以上結(jié)果同樣可以用于軸向壓縮的情況,只要把軸向拉力改為壓力,把伸長Δl改為縮短就可以了。試驗結(jié)果表明:當(dāng)應(yīng)力不超過比例極限時,縱向應(yīng)變e與橫向應(yīng)變e'之比的絕對值是一個常數(shù)。m稱為橫向變形因數(shù)或泊松比,是一個量綱一的量。因為當(dāng)桿件軸向伸長時橫向縮小,而軸向縮短時橫向增大,所以e'和e的符號是相反的。e'和e的關(guān)系可以寫成例:圖示為一變截面圓桿ABCD。已知F1=20kN,F2=35kN,F3=35kN。l1=l3=300mm,l2=400mm。d1=12mm,d2=16mm,d3=24mm。E＝210GPa。試求:(1)1-1,2-2,3-3截面的軸力,作軸力圖(2)桿的最大正應(yīng)力max(3)AD桿的變形F1F2F3112233l1l2l3ABCD解:求支座反力FRF1F2F3112233l1l2l3ABCDF1F2F3112233l1l2l3ABCDFR=-50kN(1)求1-1,2-2,3-3截面的軸力,作軸力圖。FRF1F2F3112233l1l2l3ABCDF1FN11122F1FN2F2FR33FN3FN2=-15kN（-）FN1=20kN（+）FN3=-50kN（-）FRF1F2F3112233l1l2l3ABCD50kN15kN20kN軸力圖(2)求桿的最大正應(yīng)力maxAB段:d2=16mmd1=12mmd3=24mmDC段:BC段:max=176.8MPa發(fā)生在AB段。50kN15kN20kN軸力圖d2=16mmd1=12mmd3=24mm(3)求AD桿的變形AB段:BC段:CD段:F1F2F3112233l1l2l3ABCDP1P2P3111111111111l1l2l3ABCD縮短例:圖示桿系由兩根鋼桿1和2組成。已知桿端鉸接,兩桿與鉛垂線均成＝30o的角度,長度均為l＝2m,直徑均為d＝25mm,鋼的彈性模量為E＝210GPa。設(shè)在A點處懸掛一重物F＝100kN,試求A點的位移A。AaaBC①②F解:列平衡方程,求桿的軸力AaaBC①②兩桿的變形為是伸長變形。FAxyFN2FN1FAaaBC①②變形的幾何相容條件是:變形后兩桿仍應(yīng)鉸結(jié)在一起。以兩桿伸長后的長度BA1和CA2為半徑作圓弧相交于A",即為A點的新位置。AA"就是A點的位移。A①②A1Δl1A2Δl2A"A"aaAaaBC①②A①②A1Δl1A2Δl2A"A"aa因變形很小,故可過A1,A2分別做兩桿的垂線,相交于A,可認(rèn)為A'例:圖示三角形架AB和AC桿的彈性模量E=200GPa,求當(dāng)F=130kN時節(jié)點A的位移。A1=2172mm2,A2=2548mm2。ABCF30o2m①②FAFN1FN2xy30o解:取鉸鏈A分析,由平衡方程求得兩桿的軸力1桿受拉,2桿受壓。劉鴻文教材習(xí)題解答ABCF30o2m①②A1Δl1A2Δl2根據(jù)胡克定律求出桿的變形30oA3AA3

為所求A點的位移ABCF30o2m①②A1Δl1A2Δl2A'30oAA1A2Δl1Δl2注意變形圖中桿件的伸長(縮短)與軸力一定要對應(yīng)。3m4mFBCD例:一簡單托架如圖所示,BC桿為圓鋼,橫截面直徑d=20mm。BD桿為8號槽鋼。若[s]＝160MPa,E=200GPa,試校核托架的強(qiáng)度,并求B點的位移。設(shè)F＝60kN。解:由三角形BCD求出BD桿的長度為5m。然后由節(jié)點B的平衡條件求得BC桿的軸力FN1和BD桿的軸力FN2分別為(拉力)(壓力)FBFN2FN1BC桿的橫截面面積為BD桿為8號槽鋼,由型鋼表中查出其橫截面面積為求出BC和BD桿的應(yīng)力分別為可見托架的兩桿都滿足強(qiáng)度要求。3m4mFBCDB1B3根據(jù)虎克定律求出BC和BD兩桿的變形分別為B2這里Δl1為拉伸變形而Δl2為壓縮變形。設(shè)想將托架從節(jié)點B拆開。BC桿伸長變形后變?yōu)锽1C,BD桿壓縮變形后變?yōu)锽2D。分別以C點和D點為圓心,CB1和DB2為半徑作弧相交于B3。B3點即為托架變形后B點的位置。因為變形很小,B1B3和B2B3是兩段極其微小的短弧,因而可用分別垂直于BC和BD的直線段來代替,這兩段直線的交點即為B3。3m4mFBCDB1B2B3B2BB1B4B3用圖解法求B點的位移例:一等直桿受自重及集中力F作用。桿的長度為l,橫截面面積為A,材料的容重為g,彈性模量為E,許用應(yīng)力為[s]。試分析桿的自重對強(qiáng)度的影響,并求桿的伸長。lFmmFxmmAxFN(x)解:FN(x)=F+Ax+F+AlF強(qiáng)度條件為或可見,若桿的l與材料的[]相比很小,則桿的自重影響很小,可略去不計。lFmmFxmmAxFN(x)+F+AlFlFmmFxmmAxFN(x)

AdxFN(x)FN(x)+dFN(x)dxW=Al為桿的自重lPlFmmFxmmAxFN(x)

AdxFN(x)FN(x)+dFN(x)dx圖示結(jié)構(gòu)中,AB為水平放置的剛性桿,桿1,2,3材料相同,其彈性模量E＝210GPa,已知l＝1m,A1＝A2＝100mm2,A3＝150mm2,F＝20kN。試求C點的水平位移和鉛垂位移。解：取剛性桿AB分析FFN2FN1AFN3BCFABC45oDEFABC45oDE1桿和2桿伸長相同，剛性桿AB作平動，C點位移與A點相同。A1A2長為b、內(nèi)徑d＝200mm、壁厚d＝5mm的薄壁圓環(huán),承受p＝2MPa的內(nèi)壓力作用,如圖所示。試求圓環(huán)徑向截面上的拉應(yīng)力。如果材料的E＝2GPa，試求其直徑的改變量Δd。2.如果在計算變形時忽略內(nèi)壓力的影響，則可認(rèn)為薄壁圓環(huán)沿圓環(huán)切向的線應(yīng)變e(周向應(yīng)變)與徑向截面上的正應(yīng)力s

的關(guān)系符合單軸應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律，即解：1.前已求出圓環(huán)徑向截面上的正應(yīng)力此值小于鋼的比例極限(低碳鋼Q235的比例極限sp≈200MPa)。從而有圓環(huán)直徑的改變量(增大)為3.圓環(huán)的周向應(yīng)變e與圓環(huán)直徑的相對改變量ed有如下關(guān)系：2.9軸向拉伸或壓縮的應(yīng)變能固體受外力作用而變形。在變形過程中,