CFD計(jì)算流體動(dòng)方程力學(xué)控制

2023/2/41宋立明李志剛李軍能源與動(dòng)力工程學(xué)院葉輪機(jī)械研究所E-Mail:songlm@計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)第二章適用于CFD的控制方程2023/2/42適用于CFD的控制方程引言計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)的控制方程小結(jié)適合CFD使用的控制方程不同形式控制方程基礎(chǔ)知識(shí)物理邊界條件2023/2/43CFD是圍繞流體動(dòng)力學(xué)建立的，流體力學(xué)基本控制方程是CFD的基礎(chǔ)和靈魂，計(jì)算是手段。全部CFD都是基于這些方程的；CFD建模、計(jì)算這些方程具有各種不同的形式，而在CFD領(lǐng)域，方程形式是至關(guān)重要的；對(duì)控制方程組內(nèi)容進(jìn)行啟蒙或鞏固。適用于CFD的控制方程2023/2/44適用于CFD的控制方程引言計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)的控制方程小結(jié)適合CFD使用的控制方程不同形式控制方程基礎(chǔ)知識(shí)物理邊界條件2023/2/45要得到流體流動(dòng)的基本方程，要遵循下面的過程：本節(jié)內(nèi)容寫出一個(gè)基本的物理學(xué)原理將它應(yīng)用于合適的流動(dòng)模型得到表現(xiàn)這一物理原理的方程牛頓第二定律質(zhì)量守恒能量守恒固定無(wú)窮小流體微團(tuán)隨流場(chǎng)流動(dòng)有限控制體固定有限控制體隨流場(chǎng)流動(dòng)無(wú)窮小流體微團(tuán)基礎(chǔ)知識(shí)：流動(dòng)模型2023/2/46空間位置固定的有限控制體，流體流過控制體隨流體流動(dòng)的有限控制體，同一批流體質(zhì)點(diǎn)始終位于同一控制體內(nèi)控制體V控制面SVS微團(tuán)dVV空間位置固定的小微團(tuán)，流體流過微團(tuán)沿流線運(yùn)動(dòng)的無(wú)窮小流體微團(tuán)，其速度等于流線上每一點(diǎn)的當(dāng)?shù)厮俣然A(chǔ)知識(shí)：流動(dòng)模型2023/2/47設(shè)x,y,z軸的單位方向分別用i,j,k表示，則在笛卡爾坐標(biāo)系下，速度向量場(chǎng)可表示為：這里的速度x,y,z方向分別由下式給出：此外，標(biāo)量密度場(chǎng)表示為：基礎(chǔ)知識(shí)：物質(zhì)導(dǎo)數(shù)2023/2/48xzOy12在t1時(shí)刻，圖中1點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)流體微團(tuán)的密度是：在t2時(shí)刻，圖中2點(diǎn)，流體微團(tuán)的密度是：基礎(chǔ)知識(shí)：物質(zhì)導(dǎo)數(shù)2023/2/49在1點(diǎn)做泰勒級(jí)數(shù)展開：除以t2-t1，并忽略高階項(xiàng)，可得：平均密度變化率:代表流體微團(tuán)通過1點(diǎn)時(shí)，流體微團(tuán)密度變化的瞬時(shí)時(shí)間變化率。

:定義為密度的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)?；A(chǔ)知識(shí)：物質(zhì)導(dǎo)數(shù)2023/2/410注意到：因此，當(dāng)t2->t1時(shí),對(duì)（2-1）取極限，得：基礎(chǔ)知識(shí)：物質(zhì)導(dǎo)數(shù)2023/2/411利用笛卡爾坐標(biāo)系下向量算子的定義：式（2-3）可寫為：如：其中：是物質(zhì)導(dǎo)數(shù)，它在物理上是跟蹤一個(gè)運(yùn)動(dòng)的流體微團(tuán)的時(shí)間變化率；叫做當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)，它在物理上是固定點(diǎn)處的時(shí)間變化率；叫做遷移導(dǎo)數(shù)，它在物理上表示由于流體微團(tuán)從流場(chǎng)中的一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到另一點(diǎn)，流場(chǎng)空間不均勻性而導(dǎo)致的時(shí)間變化率?；A(chǔ)知識(shí)：物質(zhì)導(dǎo)數(shù)2023/2/412如果：那么，由全微分給出：由：式（2-8）變?yōu)椋夯A(chǔ)知識(shí)：物質(zhì)導(dǎo)數(shù)2023/2/413VS整個(gè)控制體的體積變化等于在控制體整個(gè)表面對(duì)上式求和：如圖，dS在時(shí)間增量?jī)?nèi)的運(yùn)動(dòng)所導(dǎo)致的控制體體積的改變：基礎(chǔ)知識(shí)：速度散度2023/2/414對(duì)（2-11）的右邊應(yīng)用向量分析中的散度定理，得：假設(shè)控制體收縮到一個(gè)非常微小的體積，則（2-12）可以寫為：兩邊除以，得到控制體體積變化的時(shí)間變化率：基礎(chǔ)知識(shí)：速度散度2023/2/415或：假設(shè)足夠小，以至于在整個(gè)上都相等，那么當(dāng)收縮到零時(shí)，我們有：上式左邊為速度散度，右邊就是速度散度的物理意義，即是每單位體積流動(dòng)著的流體微團(tuán)，體積隨時(shí)間變化的變化率?；A(chǔ)知識(shí)：速度散度2023/2/416適用于CFD的控制方程引言計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)的控制方程小結(jié)適合CFD使用的控制方程不同形式控制方程：連續(xù)方程基礎(chǔ)知識(shí)物理邊界條件2023/2/417寫出一個(gè)基本的物理學(xué)原理將它應(yīng)用于合適的流動(dòng)模型得到表現(xiàn)這一物理原理的方程牛頓第二定律質(zhì)量守恒能量守恒固定無(wú)窮小流體微團(tuán)隨流場(chǎng)流動(dòng)有限控制體固定有限控制體隨流場(chǎng)流動(dòng)無(wú)窮小流體微團(tuán)連續(xù)方程應(yīng)用質(zhì)量守恒原理，分別采用四個(gè)流動(dòng)模型來(lái)推導(dǎo)出流動(dòng)控制方程（連續(xù)性方程）。2023/2/418S對(duì)于一個(gè)形狀任意、大小有限的控制體。該控制體空間位置固定，其邊界為控制面。流體穿過控制面，流過固定的控制體。假設(shè)某一點(diǎn)的流動(dòng)速度為V，表面微元的面積向量為dS。仍用表示有限控制體內(nèi)的一個(gè)體積微元。將質(zhì)量守恒的物理學(xué)原理應(yīng)用于這個(gè)控制體，意味著：

通過控制面S流出控制體的凈質(zhì)量流量=控制體內(nèi)質(zhì)量減少的時(shí)間變化率或：B=C特點(diǎn)：形狀和體積不發(fā)生變化，質(zhì)量可能改變。連續(xù)方程：空間位置固定的控制體2023/2/419控制體內(nèi)總質(zhì)量為：通過控制面S流出整個(gè)控制體的質(zhì)量?jī)袅髁康扔谠赟上對(duì)式（2-16）表示的所有質(zhì)量微元求和。這個(gè)求和運(yùn)算稱為一個(gè)面積分，在物理上就代表了式（2-15）的左邊，即：體積內(nèi)質(zhì)量的增加率為：通過面積dS的質(zhì)量流量微元為：2023/2/419連續(xù)方程：空間位置固定的控制體2023/2/420相反的，體積內(nèi)質(zhì)量的減少率是上式的負(fù)數(shù)，即：因而，將式（2-17）和式（2-18）帶入式（2-15b），得：方程（2-19）是連續(xù)性方程的積分形式，這種形式稱為守恒形式。由空間位置固定的流動(dòng)模型直接導(dǎo)出的控制方程就定義為守恒型方程。連續(xù)方程：空間位置固定的控制體2023/2/421考慮圖2-2a右邊所示的流動(dòng)模型(一個(gè)隨流體運(yùn)動(dòng)的有限大小的控制體)：S若為當(dāng)?shù)孛芏?，則有限控制體的總質(zhì)量由下式給出：物質(zhì)導(dǎo)數(shù)：流體微團(tuán)隨流體運(yùn)動(dòng)時(shí)，其任何屬性對(duì)時(shí)間的變化率。由于有限控制體是由無(wú)數(shù)個(gè)無(wú)窮小流體微團(tuán)組成，并具有固定不變的總質(zhì)量，那么這些不變質(zhì)量總的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)等于零：特點(diǎn)：質(zhì)量不變、形狀和體積一般會(huì)發(fā)生變化。連續(xù)方程：隨流體運(yùn)動(dòng)的控制體2023/2/422O空間位置固定的無(wú)窮小微團(tuán)模型：形狀和體積固定。連續(xù)方程：位置固定的微團(tuán)2023/2/423如果定義凈流出量為正，x方向的凈流出量為：y方向的凈流出量為：z方向的凈流出量為：從而，流出微團(tuán)的凈流出量為：無(wú)窮小微團(tuán)內(nèi)流體的總質(zhì)量為，因此：連續(xù)方程：位置固定的微團(tuán)2023/2/424質(zhì)量守恒的物理學(xué)原理應(yīng)用于圖2-7中所示的固定微團(tuán)時(shí)，可用下面這句話來(lái)表述：流出微團(tuán)的凈質(zhì)量流量必須等于微團(tuán)內(nèi)質(zhì)量的減少。定義質(zhì)量的減少為負(fù)，可以得到：或：方程（2-24）方括號(hào)里的式子就是。這樣，方程（2-24）變?yōu)椋悍匠蹋?-25）是連續(xù)方程的偏微分方程形式。它是基于空間位置固定的無(wú)窮小微團(tuán)模型。微團(tuán)的無(wú)窮小是方程具有偏微分形式的原因。而微團(tuán)空間位置固定的事實(shí)決定了方程具有式（2-25）給出的微分形式，這種形式稱為守恒形式。連續(xù)方程：位置固定的微團(tuán)空間位置固定的流動(dòng)模型直接導(dǎo)出的控制方程定義為守恒型方程。2023/2/425隨流體運(yùn)動(dòng)的無(wú)窮小流微團(tuán)，其速度等于流線上每一點(diǎn)的當(dāng)?shù)厮俣取特點(diǎn)：流體微團(tuán)有固定質(zhì)量，但它的形狀和體積會(huì)在它向下游運(yùn)動(dòng)時(shí)變化。將這個(gè)流體微團(tuán)固定的質(zhì)量和可變的體積分別用和表示，有：由微團(tuán)質(zhì)量守恒，有：綜合方程（2-26）和（2-27），得：連續(xù)方程：隨流體運(yùn)動(dòng)的微團(tuán)2023/2/426或：將式（2-14）代入方程（2-28）后得到：方程是連續(xù)性方程的另一種偏微分方程形式，它是基于隨流體運(yùn)動(dòng)的無(wú)窮小流體微團(tuán)推導(dǎo)出來(lái)的。與前面一樣，微團(tuán)的無(wú)窮小是方程具有偏微分形式的原因。而微團(tuán)隨流體運(yùn)動(dòng)的事實(shí)則決定了方程具有式（2-29）給出的為微分形式，這種形式被稱為非守恒形式。連續(xù)方程：隨流體運(yùn)動(dòng)的微團(tuán)由隨流體運(yùn)動(dòng)模型直接導(dǎo)出的控制方程定義為非守恒性方程。2023/2/427空間位置固定的無(wú)窮小微團(tuán)非守恒型積分形式路徑A路徑B路徑C路徑D非守恒型微分形式連續(xù)方程的不同形式及其不同流動(dòng)模型之間的關(guān)系空間位置固定的有限控制體隨流體運(yùn)動(dòng)質(zhì)量不變的有限控制體隨流體運(yùn)動(dòng)質(zhì)量不變的無(wú)窮小微團(tuán)守恒型積分形式守恒型微分形式連續(xù)方程：不同方程之間的轉(zhuǎn)換2023/2/428首先，考察如何從積分方程形式得到偏微分方程形式，也就是證明路徑C。由于推導(dǎo)方程（2-19）所用的控制體空間位置是固定的，方程（2-19）中積分的積分限是常數(shù)，因此時(shí)間導(dǎo)數(shù)可以置于積分號(hào)內(nèi)：應(yīng)用向量分析中的散度定理，方程（2-30）中的面積分可以表達(dá)為體積為：重復(fù)一下方程（2-19），即：路徑C連續(xù)方程：不同方程之間的轉(zhuǎn)換2023/2/429將方程（2-31）代入方程（2-30），我們得到：或：因?yàn)橛邢蘅刂企w是在空間任意選取的，方程（2-32）中積分等于零的唯一可能就是被積函數(shù)在控制體內(nèi)處處為零。于是，從方程（2-32）中可以得到：方程（2-33）正好就是偏微分方程形式的連續(xù)方程。路徑C連續(xù)方程：不同方程之間的轉(zhuǎn)換2023/2/430接下來(lái)，將守恒形式變?yōu)榉鞘睾阈问?，即證明路徑B：將方程（2-34）代入方程（2-33），得：方程（2-36）恰好就是非守恒形式的偏微分方程。方程（2-35）左邊兩項(xiàng)為密度的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)，因此方程變?yōu)椋簩?duì)于標(biāo)量與向量乘積的散度，由向量恒等式：路徑B連續(xù)方程：不同方程之間的轉(zhuǎn)換2023/2/431最后，對(duì)積分方程進(jìn)行同樣的變換，證明路徑A：圖中右邊所示方程為：因?yàn)槲镔|(zhì)導(dǎo)數(shù)表示運(yùn)動(dòng)物體隨時(shí)間變化的變化率，而方程中體積分的積分限由同樣的運(yùn)動(dòng)微團(tuán)確定，所以物質(zhì)導(dǎo)數(shù)可以寫到積分號(hào)之內(nèi)。這樣，方程可以寫為：將導(dǎo)數(shù)進(jìn)行展開：路徑A連續(xù)方程：不同方程之間的轉(zhuǎn)換2023/2/432方括號(hào)里的項(xiàng)，物理意義就是“單位體積的無(wú)窮小流體微團(tuán)體積的時(shí)間變化率”?；仡櫵俣壬⒍鹊奈锢硪饬x，可以知道這一項(xiàng)就是速度的散度。這樣，方程（2-38）成為：根據(jù)物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的定義，式（2-39）的第一項(xiàng)可以展開為：將式（2-40）代入式（2-39），并把所有的項(xiàng)寫成一個(gè)體積分，得到：對(duì)第二項(xiàng)除以再乘以：連續(xù)方程：不同方程之間的轉(zhuǎn)換2023/2/433由此，方程變?yōu)椋鹤詈?，使用向量分析中?lián)系面積分與體積分的散度定理：最終變?yōu)椋悍匠蹋?-43）實(shí)際上就是左邊守恒形式的積分方程。由向量恒等式（2-34），方程（2-41）中的后兩項(xiàng)可以寫為：路徑A連續(xù)方程：不同方程之間的轉(zhuǎn)換2023/2/434空間位置固定的無(wú)窮小微團(tuán)非守恒型積分形式路徑A路徑B路徑C路徑D非守恒型微分形式連續(xù)方程的不同形式及其不同流動(dòng)模型之間的關(guān)系空間位置固定的有限控制體隨流體運(yùn)動(dòng)質(zhì)量不變的有限控制體隨流體運(yùn)動(dòng)質(zhì)量不變的無(wú)窮小微團(tuán)守恒型積分形式守恒型微分形式連續(xù)方程：不同方程之間的轉(zhuǎn)換2023/2/435積分形式與微分形式有著實(shí)質(zhì)性的區(qū)別：路徑C積分形式的方程比微分形式的方程更基礎(chǔ)、更重要。連續(xù)方程：積分形式與微分形式積分形式允許在（空間位置）固定的控制體內(nèi)出現(xiàn)間斷；微分形式的控制方程假定流動(dòng)參數(shù)是可微的，從而必須是連續(xù)的。2023/2/436適用于CFD的控制方程引言計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)的控制方程小結(jié)適合CFD使用的控制方程不同形式控制方程：動(dòng)量方程基礎(chǔ)知識(shí)物理邊界條件2023/2/437寫出一個(gè)基本的物理學(xué)原理將它應(yīng)用于一個(gè)合適的流動(dòng)模型得到表現(xiàn)這一物理原理的一個(gè)方程隨流體流動(dòng)無(wú)窮小流體微團(tuán)應(yīng)用牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，采用隨流體運(yùn)動(dòng)的無(wú)窮小流體微團(tuán)來(lái)推導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)控制方程（動(dòng)量方程）。V牛頓第二定律動(dòng)量方程2023/2/438僅考慮x方向，x方向須滿足方程：流體微團(tuán)受力來(lái)源：力=質(zhì)量×加速度體積力表面力重力（引力）電磁力壓力粘性力正應(yīng)力切應(yīng)力體積力：將作用在單位質(zhì)量流體微團(tuán)上的體積力記做，其x方向分量為；流體微團(tuán)的體積為dxdydz；作用在流體微團(tuán)上的體積力的x方向分量：外部流體推動(dòng)微團(tuán)產(chǎn)生，以摩擦方式作用于表面。流體微團(tuán)周圍的流體施加。動(dòng)量方程2023/2/439兩個(gè)約定：表面力：繪制流體微團(tuán)受到x方向的表面力注意力的方向！動(dòng)量方程用表示j方向的應(yīng)力作用在垂直于i軸的平面上；速度的三個(gè)分量u、v、w的正的增量與坐標(biāo)軸的正向一致。2023/2/440x方向總的表面力：流體微團(tuán)的加速度就是速度變化的時(shí)間變化率，加速度的x方向分量就等于u的時(shí)間變化率，即：x方向總的力：運(yùn)動(dòng)的流體微團(tuán)質(zhì)量固定不變，即：動(dòng)量方程2023/2/441x方向的動(dòng)量方程為：動(dòng)量方程y方向的動(dòng)量方程為：z方向的動(dòng)量方程為：2023/2/442接下來(lái)，將非守恒形式的動(dòng)量方程變換為守恒形式的動(dòng)量方程。展開導(dǎo)數(shù)：向量恒等式：根據(jù)物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的定義，方程(2-50a)左邊變換為：路徑即：動(dòng)量方程2023/2/443將向量恒等式變換，得到：帶入非守恒型動(dòng)量方程，得到：將(2-52)和(2-53)帶入方程(2-51)，得到：質(zhì)量守恒動(dòng)量方程2023/2/444納維-斯托克斯方程的守恒形式:動(dòng)量方程2023/2/445牛頓流體：流體的切應(yīng)力與應(yīng)變時(shí)間變化率，即速度梯度，成正比。在空氣動(dòng)力學(xué)的所有實(shí)際問題中，流體都可以被看成是牛頓流體。其中μ是分子粘性系數(shù)，λ是第二粘性系數(shù)。斯托克斯提出假設(shè)：動(dòng)量方程對(duì)于牛頓流體有：2023/2/446完整的納維-斯托克斯方程守恒形式：動(dòng)量方程2023/2/447適用于CFD的控制方程引言計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)的控制方程小結(jié)適合CFD使用的控制方程不同形式控制方程：能量方程基礎(chǔ)知識(shí)物理邊界條件2023/2/448寫出一個(gè)基本的物理學(xué)原理將它應(yīng)用于一個(gè)合適的流動(dòng)模型得到表現(xiàn)這一物理原理的一個(gè)方程能量守恒隨流體流動(dòng)無(wú)窮小流體微團(tuán)應(yīng)用能量守恒原理，即熱力學(xué)第一定律，采用隨流體運(yùn)動(dòng)的無(wú)窮小流體微團(tuán)來(lái)推導(dǎo)出能量方程。V能量方程2023/2/449流體微團(tuán)內(nèi)能量的變化率=流入微團(tuán)內(nèi)的凈熱流量

+體積力和表面力對(duì)微團(tuán)做功的功率或：對(duì)于隨流體運(yùn)動(dòng)的無(wú)窮小微團(tuán)模型，熱力學(xué)第一定律可表述為：C為體積力和表面力對(duì)微團(tuán)做功的功率A=B+C作用在一個(gè)運(yùn)動(dòng)物體上的力，對(duì)物體做功的功率等于這個(gè)力乘以速度在此力作用方向上的分量。作用于速度為的流體微團(tuán)上的體積力，做功的功率可表達(dá)為：能量方程2023/2/450隨流體運(yùn)動(dòng)的無(wú)窮小流體微團(tuán)表面力做功首先考慮作用x方向上的表面力，繪制x方向能量通量：壓力對(duì)運(yùn)動(dòng)流體微團(tuán)做功的功率為：能量方程2023/2/451應(yīng)力對(duì)運(yùn)動(dòng)流體微團(tuán)做功的功率為(與Y軸垂直的面為例)：能量方程隨流體運(yùn)動(dòng)的無(wú)窮小流體微團(tuán)表面力做功2023/2/452X方向表面力對(duì)運(yùn)動(dòng)流體微團(tuán)做功的功率為：能量方程隨流體運(yùn)動(dòng)的無(wú)窮小流體微團(tuán)表面力做功2023/2/453X方向表面力對(duì)運(yùn)動(dòng)流體微團(tuán)做功的功率為：y方向表面力對(duì)運(yùn)動(dòng)流體微團(tuán)做功的功率為：z方向表面力對(duì)運(yùn)動(dòng)流體微團(tuán)做功的功率為：能量方程2023/2/454將壓力、正應(yīng)力及切應(yīng)力對(duì)流體微團(tuán)做功加在一起，即得到體積力和表面力做功總和C，即：壓力功率，可表達(dá)為體積力功率切應(yīng)力功率正應(yīng)力功率能量方程2023/2/455B為進(jìn)入微團(tuán)內(nèi)的總熱流量進(jìn)入流體微團(tuán)的總熱流量體積加熱，如吸收或釋放的輻射熱熱傳導(dǎo)，由溫度梯度導(dǎo)致的跨過表面的熱運(yùn)輸對(duì)微團(tuán)的體積加熱，為單位質(zhì)量的體積加熱率：熱傳導(dǎo)對(duì)流體微團(tuán)的加熱。單位時(shí)間通過單位面積在x方向輸運(yùn)的熱量，與溫度增加的方向相反：能量方程2023/2/456將體積加熱和熱傳導(dǎo)加熱相加，得進(jìn)入微團(tuán)的總熱流量：根據(jù)傅里葉熱傳導(dǎo)定律，熱傳導(dǎo)產(chǎn)生的熱流與當(dāng)?shù)氐臏囟忍荻瘸烧?，有：其中k為熱導(dǎo)率，最終得進(jìn)入微團(tuán)的總熱流量：能量方程2023/2/457A為流體微團(tuán)能量變化的時(shí)間變化率熱力學(xué)第一定律中內(nèi)能的物理意義：運(yùn)動(dòng)流體微團(tuán)能量來(lái)源分子隨機(jī)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的單位質(zhì)量?jī)?nèi)能e流體微團(tuán)平動(dòng)時(shí)具有的單位質(zhì)量動(dòng)能流體微團(tuán)能量變化的時(shí)間變化率可表示為：一個(gè)特定分子的總能量是它的平動(dòng)能、轉(zhuǎn)動(dòng)能、振動(dòng)能和電子能的總和；每個(gè)原子的總能量是它的平動(dòng)能和電子能的總和；氣體系統(tǒng)的內(nèi)能是系統(tǒng)內(nèi)每個(gè)分子和原子能量的總和。運(yùn)動(dòng)流體微團(tuán)的能量來(lái)源：能量方程2023/2/458綜合A、B和C的表達(dá)式，得到非守恒形式的能量方程：上述方程可從兩個(gè)方面改動(dòng)：方程左邊可以只用內(nèi)能e或只用焓h或者只用總焓來(lái)表示，右邊隨之變動(dòng)。能量方程，對(duì)上述每種不同形式，都有守恒形式和非守恒形式。能量方程2023/2/459將動(dòng)量方程分別乘上u、v、w得：三式相加，可得到：能量方程2023/2/460與方程(2-66)相比，該方程具有以下特點(diǎn)：內(nèi)能e表示的能量方程中不包括體積力項(xiàng)；方程(2-66)中，正應(yīng)力與切應(yīng)力是與速度相乘，一起出現(xiàn)在x、y、z的導(dǎo)數(shù)內(nèi)，內(nèi)能e表示的能量方程中粘性應(yīng)力單獨(dú)出現(xiàn)，直接與速度梯度相乘；該方程任然是非守恒形式。能量方程從方程(2-66)減去上式，并注意，可得到方程左邊只包含內(nèi)能e的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的能量方程：2023/2/461對(duì)只包含內(nèi)能e的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的能量方程做變換：完全用流場(chǎng)變量表示的能量方程：方程左邊只出現(xiàn)了內(nèi)能；也可以用其它的能量形式表示。能量方程2023/2/462接下來(lái)，將非守恒形式能量方程變換為守恒形式能量方程。路徑根據(jù)物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的定義，方程(2-71)左邊變換為：展開導(dǎo)數(shù)：向量恒等式：即：即：能量方程2023/2/463得:由連續(xù)性方程可知，上式右邊方括號(hào)內(nèi)的式子等于零，則有：用內(nèi)能表示的守恒形式的能量方程：能量方程2023/2/464將內(nèi)能e改為總能量，有用總能量表達(dá)的守恒形式的能量方程：方程從非守恒形式轉(zhuǎn)換為守恒形式，只需要對(duì)方程的左邊進(jìn)行變換，方程的右邊保持不變。能量方程2023/2/465適用于CFD的控制方程引言計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)的控制方程小結(jié)適合CFD使用的控制方程不同形式控制方程基礎(chǔ)知識(shí)物理邊界條件2023/2/466A.基本物理學(xué)原理1.質(zhì)量守恒定律2.牛頓第二定律3.能量守恒定律B.流動(dòng)模型1.固定的有限控制體2.移動(dòng)的有限控制體3.固定的無(wú)窮小控制體4.移動(dòng)的無(wú)窮小控制體C.流體流動(dòng)控制方程1.連續(xù)方程2.動(dòng)量方程3.能量方程數(shù)學(xué)推導(dǎo)不同形式的控制方程：小結(jié)2023/2/467粘性流動(dòng)的納維-斯托克斯（Navier-Stokes)方程粘性流動(dòng)是包括摩擦、熱傳導(dǎo)和質(zhì)量擴(kuò)散等輸運(yùn)現(xiàn)象的流動(dòng)，這些現(xiàn)象是耗散性的，總是使流體的熵增加。連續(xù)性方程：非守恒形式：守恒形式：非定常三維可壓縮粘性流動(dòng)的控制方程總結(jié)如下。不同形式的控制方程：小結(jié)2023/2/468動(dòng)量方程：非守恒形式：守恒形式：不同形式的控制方程：小結(jié)2023/2/469能量方程：非守恒形式：守恒形式：不同形式的控制方程：小結(jié)2023/2/470無(wú)粘流的定義是忽略了散耗、粘性輸運(yùn)、質(zhì)量擴(kuò)散以及熱傳導(dǎo)的流動(dòng)。連續(xù)性方程：非守恒形式：守恒形式：無(wú)粘流歐拉（Euler）方程簡(jiǎn)單地去掉N-S方程中所有包含摩擦和熱傳導(dǎo)的項(xiàng)，就得到了無(wú)粘流動(dòng)的方程。非定常三維可壓縮無(wú)粘流動(dòng)的控制方程總結(jié)如下。不同形式的控制方程：小結(jié)2023/2/471動(dòng)量方程：非守恒形式：守恒形式：不同形式的控制方程：小結(jié)2023/2/472能量方程：

非守恒形式：守恒形式：Euler方程形式上相對(duì)簡(jiǎn)單，便于作為模型方程進(jìn)行分析，也便于求解。不同形式的控制方程：小結(jié)2023/2/473這些方程都是非線性偏微分方程耦合而成的方程組，求解析解非常困難。到目前為止，還沒有封閉形式的通解。對(duì)動(dòng)量方程的和能量方程，非守恒形式與守恒形式的區(qū)別僅在于方程的左端項(xiàng)。不同形式的控制方程：注釋2023/2/474守恒形式方程的左邊包含了某些量的散度項(xiàng)，控制方程的守恒形式有時(shí)又叫做散度形式。方程中的正應(yīng)力和切應(yīng)力都是速度梯度的函數(shù)，由牛頓流體應(yīng)力計(jì)算式給出。不同形式的控制方程：注釋2023/2/475方程組包含5個(gè)方程和6個(gè)未知的流場(chǎng)變量。需引入狀態(tài)方程封閉方程組。完全氣體的狀態(tài)方程是：狀態(tài)方程提供了第六個(gè)方程，但引進(jìn)了第七個(gè)未知量。用以封閉整個(gè)方程組的必須是狀態(tài)參量間的熱力學(xué)關(guān)系。不同形式的控制方程：注釋2023/2/476粘性流動(dòng)的動(dòng)量方程被稱為納維-斯托克斯方程，而在當(dāng)代的CFD文獻(xiàn)中，這個(gè)術(shù)語(yǔ)擴(kuò)展到了粘性流動(dòng)的整個(gè)方程組（連續(xù)性方程、動(dòng)量方程和能量方程），納維-斯托克斯解就是指用整個(gè)控制方程組求解粘性流動(dòng)問題?；谕瑯拥睦碛桑瑹o(wú)粘流方程被稱為歐拉方程。在當(dāng)代CFD文獻(xiàn)中，整個(gè)無(wú)粘流方程組的解被稱為歐拉解，整個(gè)方程組一起被稱作歐拉方程。不同形式的控制方程：注釋2023/2/477適用于CFD的控制方程引言計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)的控制方程小結(jié)適合CFD使用的控制方程不同形式控制方程基礎(chǔ)知識(shí)物理邊界條件2023/2/478控制方程相同，不同的邊界條件，有時(shí)還包括初始條件，使得同一個(gè)控制方程得到不同的特解。同一組控制方程，為什么會(huì)產(chǎn)生千變?nèi)f化的流動(dòng)情況呢？任何流動(dòng)控制方程的數(shù)值解一定是從數(shù)值上令人信服的反映了給定的邊界條件。物理邊界條件2023/2/479適合粘性流動(dòng)的物理邊界條件無(wú)滑移條件，流動(dòng)流經(jīng)固定的物面，緊挨物面的流體與物面之間相對(duì)速度為零，即：物面溫度也有類似的無(wú)滑移條件。緊挨物面的流體溫度與物面材料的溫度相等。在壁面溫度已知的給定問題中，對(duì)于流體溫度合適的邊界條件是：如果壁面溫度是未知的，例如有熱流傳入物面或由物面?zhèn)鹘o氣流，壁面溫度是隨時(shí)間變化的函數(shù)，由傅里葉導(dǎo)熱定律提供物面邊界條件：物理邊界條件2023/2/480物面材料對(duì)傳給物面的熱流做出響應(yīng)，改變壁面溫度。而壁面溫度又反過來(lái)影響熱流。因此，一般求解非定常傳熱問題，要同時(shí)處理粘性流動(dòng)和壁面材料的熱響應(yīng)。這種類型的邊界條件是關(guān)于壁面溫度梯度的邊界條件：當(dāng)壁面溫度達(dá)到這樣一種程度，使得不再有熱流傳入物面，這個(gè)壁面溫度定義為絕熱壁面溫度。絕熱壁的邊界條件由溫度梯度給出：適合粘性流動(dòng)的物理邊界條件物理邊界條件2023/2/481對(duì)于無(wú)粘流動(dòng)，由于沒有摩擦力，不能迫使流體粘附在物面上。因此物面上流體的速度是一個(gè)有限的非零值。對(duì)于無(wú)粘流動(dòng)，物面速度與物面相切是唯一的物面邊界條件。對(duì)于非滲透壁，沒有流體流入或流出壁面。這意味著緊挨物面的流體的速度必然與物面相切。垂直于物面的速度分量為零，物面上的流動(dòng)與物面相切，即：物面上速度的大小，物面上流體的溫度、壓力和密度，都將成為解的一部分。在CFD中，須從數(shù)值上合理的實(shí)現(xiàn)這些邊界條件。適當(dāng)并且精確的給定數(shù)值邊界條件是非常重要的。適合無(wú)粘流動(dòng)的物理邊界條件物理邊界條件2023/2/482適用于CFD的控制方程引言計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)的控制方程小結(jié)適合CFD使用的控制方程不同形式控制方程基礎(chǔ)知識(shí)物理邊界條件2023/2/483守恒形式的方程有空間位置固定的控制體模型導(dǎo)出。關(guān)心的是流入流出控制體的質(zhì)量流量、動(dòng)量流量和能量流量，而不是密度、速度這些原始變量。這些通量成為方程重要的應(yīng)變量。守恒形式的流動(dòng)控制方程相對(duì)于非守恒控制方程所具有的重要意義及其在CFD中的應(yīng)用。守恒形式的控制方程為算法設(shè)計(jì)和編程計(jì)算提供了方便守恒形式的連續(xù)方程、動(dòng)量方程和能量方程可以用同一個(gè)通用方程來(lái)表達(dá)，有助于計(jì)算程序的簡(jiǎn)化和程序結(jié)構(gòu)的組織。適用于CFD的控制方程2023/2/484考察這些方程，用U、F、G、H、J代表列向量，可以的到守恒型控制方程組的通用形式。下述向量方程就可以代表整個(gè)守恒形式的控制方程組：解向量通量項(xiàng)適用于CFD的控制方程2023/2/485通量項(xiàng)通量項(xiàng)源項(xiàng)，當(dāng)體積力和體積熱力可以忽略時(shí)等于零。適用于CFD的控制方程2023/2/486方程的求解：對(duì)于非定常流動(dòng)和定常流動(dòng)，都可以采用時(shí)間推進(jìn)方法求解。TF收斂結(jié)束計(jì)算方程左邊解向量計(jì)算方程右邊源項(xiàng)t=t+△t解向量賦初值計(jì)算方程右邊通量項(xiàng)時(shí)間相關(guān)算法流程

對(duì)于定常流動(dòng)，求解非定常方程，用長(zhǎng)時(shí)間的漸近解趨于定常狀態(tài)。這就是求解定常問題的時(shí)間相關(guān)算法。適用于CFD的控制方程2023/2/487無(wú)粘流動(dòng)的列向量適用于CFD的控制方程2023/2/488假設(shè)一種定常流動(dòng)，其控制方程中時(shí)間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)為零，假設(shè)可沿x方向推進(jìn)求解，則有:在CFD中，能否使用推進(jìn)方法取決于控制方程數(shù)學(xué)特性。TF收斂結(jié)束計(jì)算方程左邊解向量計(jì)算方程右邊源項(xiàng)x=x+△xX方向通量賦初值計(jì)算方程右邊通量項(xiàng)推進(jìn)算法不局限于時(shí)間推進(jìn)。在某種情況下，定常流動(dòng)問題可以通過沿著空間某一方向推進(jìn)的方法來(lái)求解。適用于CFD的控制方程2023/2/489守恒形式的分類守恒形式的方程強(qiáng)守恒形式：所有的變量都寫進(jìn)了導(dǎo)數(shù)，沒有任何變量單獨(dú)留在時(shí)間和空間導(dǎo)數(shù)之外，并且時(shí)間、空間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)最多只出現(xiàn)一次。弱守恒形式：除強(qiáng)守恒形式以外的守恒形式方程。強(qiáng)守恒形式求解更方便。適用于CFD的控制方程2023/2/490某些情況下，使用守恒形式的控制方程能得到光滑、穩(wěn)定、正確的結(jié)果，使用非守恒型方程則不能。超聲速繞流問題激波裝配法計(jì)算網(wǎng)格

超聲速繞流問題激波捕捉法計(jì)算網(wǎng)格

對(duì)于含有激波的流動(dòng)，流場(chǎng)原始變量，如壓力，跨過激波會(huì)發(fā)生急劇變化。對(duì)計(jì)算這一類流動(dòng)的方法進(jìn)行討論。激波作為流場(chǎng)計(jì)算的直接結(jié)果。將激波人為的引入