CFD計(jì)算流體動方程力學(xué)控制

2023/2/41宋立明李志剛李軍能源與動力工程學(xué)院葉輪機(jī)械研究所E-Mail:songlm@計(jì)算流體動力學(xué)第二章適用于CFD的控制方程2023/2/42適用于CFD的控制方程引言計(jì)算流體動力學(xué)的控制方程小結(jié)適合CFD使用的控制方程不同形式控制方程基礎(chǔ)知識物理邊界條件2023/2/43CFD是圍繞流體動力學(xué)建立的，流體力學(xué)基本控制方程是CFD的基礎(chǔ)和靈魂，計(jì)算是手段。全部CFD都是基于這些方程的；CFD建模、計(jì)算這些方程具有各種不同的形式，而在CFD領(lǐng)域，方程形式是至關(guān)重要的；對控制方程組內(nèi)容進(jìn)行啟蒙或鞏固。適用于CFD的控制方程2023/2/44適用于CFD的控制方程引言計(jì)算流體動力學(xué)的控制方程小結(jié)適合CFD使用的控制方程不同形式控制方程基礎(chǔ)知識物理邊界條件2023/2/45要得到流體流動的基本方程，要遵循下面的過程：本節(jié)內(nèi)容寫出一個基本的物理學(xué)原理將它應(yīng)用于合適的流動模型得到表現(xiàn)這一物理原理的方程牛頓第二定律質(zhì)量守恒能量守恒固定無窮小流體微團(tuán)隨流場流動有限控制體固定有限控制體隨流場流動無窮小流體微團(tuán)基礎(chǔ)知識：流動模型2023/2/46空間位置固定的有限控制體，流體流過控制體隨流體流動的有限控制體，同一批流體質(zhì)點(diǎn)始終位于同一控制體內(nèi)控制體V控制面SVS微團(tuán)dVV空間位置固定的小微團(tuán)，流體流過微團(tuán)沿流線運(yùn)動的無窮小流體微團(tuán)，其速度等于流線上每一點(diǎn)的當(dāng)?shù)厮俣然A(chǔ)知識：流動模型2023/2/47設(shè)x,y,z軸的單位方向分別用i,j,k表示，則在笛卡爾坐標(biāo)系下，速度向量場可表示為：這里的速度x,y,z方向分別由下式給出：此外，標(biāo)量密度場表示為：基礎(chǔ)知識：物質(zhì)導(dǎo)數(shù)2023/2/48xzOy12在t1時刻，圖中1點(diǎn)，運(yùn)動流體微團(tuán)的密度是：在t2時刻，圖中2點(diǎn)，流體微團(tuán)的密度是：基礎(chǔ)知識：物質(zhì)導(dǎo)數(shù)2023/2/49在1點(diǎn)做泰勒級數(shù)展開：除以t2-t1，并忽略高階項(xiàng)，可得：平均密度變化率:代表流體微團(tuán)通過1點(diǎn)時，流體微團(tuán)密度變化的瞬時時間變化率。

:定義為密度的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)?；A(chǔ)知識：物質(zhì)導(dǎo)數(shù)2023/2/410注意到：因此，當(dāng)t2->t1時,對（2-1）取極限，得：基礎(chǔ)知識：物質(zhì)導(dǎo)數(shù)2023/2/411利用笛卡爾坐標(biāo)系下向量算子的定義：式（2-3）可寫為：如：其中：是物質(zhì)導(dǎo)數(shù)，它在物理上是跟蹤一個運(yùn)動的流體微團(tuán)的時間變化率；叫做當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)，它在物理上是固定點(diǎn)處的時間變化率；叫做遷移導(dǎo)數(shù)，它在物理上表示由于流體微團(tuán)從流場中的一點(diǎn)運(yùn)動到另一點(diǎn)，流場空間不均勻性而導(dǎo)致的時間變化率?；A(chǔ)知識：物質(zhì)導(dǎo)數(shù)2023/2/412如果：那么，由全微分給出：由：式（2-8）變?yōu)椋夯A(chǔ)知識：物質(zhì)導(dǎo)數(shù)2023/2/413VS整個控制體的體積變化等于在控制體整個表面對上式求和：如圖，dS在時間增量內(nèi)的運(yùn)動所導(dǎo)致的控制體體積的改變：基礎(chǔ)知識：速度散度2023/2/414對（2-11）的右邊應(yīng)用向量分析中的散度定理，得：假設(shè)控制體收縮到一個非常微小的體積，則（2-12）可以寫為：兩邊除以，得到控制體體積變化的時間變化率：基礎(chǔ)知識：速度散度2023/2/415或：假設(shè)足夠小，以至于在整個上都相等，那么當(dāng)收縮到零時，我們有：上式左邊為速度散度，右邊就是速度散度的物理意義，即是每單位體積流動著的流體微團(tuán)，體積隨時間變化的變化率?；A(chǔ)知識：速度散度2023/2/416適用于CFD的控制方程引言計(jì)算流體動力學(xué)的控制方程小結(jié)適合CFD使用的控制方程不同形式控制方程：連續(xù)方程基礎(chǔ)知識物理邊界條件2023/2/417寫出一個基本的物理學(xué)原理將它應(yīng)用于合適的流動模型得到表現(xiàn)這一物理原理的方程牛頓第二定律質(zhì)量守恒能量守恒固定無窮小流體微團(tuán)隨流場流動有限控制體固定有限控制體隨流場流動無窮小流體微團(tuán)連續(xù)方程應(yīng)用質(zhì)量守恒原理，分別采用四個流動模型來推導(dǎo)出流動控制方程（連續(xù)性方程）。2023/2/418S對于一個形狀任意、大小有限的控制體。該控制體空間位置固定，其邊界為控制面。流體穿過控制面，流過固定的控制體。假設(shè)某一點(diǎn)的流動速度為V，表面微元的面積向量為dS。仍用表示有限控制體內(nèi)的一個體積微元。將質(zhì)量守恒的物理學(xué)原理應(yīng)用于這個控制體，意味著：

通過控制面S流出控制體的凈質(zhì)量流量=控制體內(nèi)質(zhì)量減少的時間變化率或：B=C特點(diǎn)：形狀和體積不發(fā)生變化，質(zhì)量可能改變。連續(xù)方程：空間位置固定的控制體2023/2/419控制體內(nèi)總質(zhì)量為：通過控制面S流出整個控制體的質(zhì)量凈流量等于在S上對式（2-16）表示的所有質(zhì)量微元求和。這個求和運(yùn)算稱為一個面積分，在物理上就代表了式（2-15）的左邊，即：體積內(nèi)質(zhì)量的增加率為：通過面積dS的質(zhì)量流量微元為：2023/2/419連續(xù)方程：空間位置固定的控制體2023/2/420相反的，體積內(nèi)質(zhì)量的減少率是上式的負(fù)數(shù)，即：因而，將式（2-17）和式（2-18）帶入式（2-15b），得：方程（2-19）是連續(xù)性方程的積分形式，這種形式稱為守恒形式。由空間位置固定的流動模型直接導(dǎo)出的控制方程就定義為守恒型方程。連續(xù)方程：空間位置固定的控制體2023/2/421考慮圖2-2a右邊所示的流動模型(一個隨流體運(yùn)動的有限大小的控制體)：S若為當(dāng)?shù)孛芏?，則有限控制體的總質(zhì)量由下式給出：物質(zhì)導(dǎo)數(shù)：流體微團(tuán)隨流體運(yùn)動時，其任何屬性對時間的變化率。由于有限控制體是由無數(shù)個無窮小流體微團(tuán)組成，并具有固定不變的總質(zhì)量，那么這些不變質(zhì)量總的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)等于零：特點(diǎn)：質(zhì)量不變、形狀和體積一般會發(fā)生變化。連續(xù)方程：隨流體運(yùn)動的控制體2023/2/422O空間位置固定的無窮小微團(tuán)模型：形狀和體積固定。連續(xù)方程：位置固定的微團(tuán)2023/2/423如果定義凈流出量為正，x方向的凈流出量為：y方向的凈流出量為：z方向的凈流出量為：從而，流出微團(tuán)的凈流出量為：無窮小微團(tuán)內(nèi)流體的總質(zhì)量為，因此：連續(xù)方程：位置固定的微團(tuán)2023/2/424質(zhì)量守恒的物理學(xué)原理應(yīng)用于圖2-7中所示的固定微團(tuán)時，可用下面這句話來表述：流出微團(tuán)的凈質(zhì)量流量必須等于微團(tuán)內(nèi)質(zhì)量的減少。定義質(zhì)量的減少為負(fù)，可以得到：或：方程（2-24）方括號里的式子就是。這樣，方程（2-24）變?yōu)椋悍匠蹋?-25）是連續(xù)方程的偏微分方程形式。它是基于空間位置固定的無窮小微團(tuán)模型。微團(tuán)的無窮小是方程具有偏微分形式的原因。而微團(tuán)空間位置固定的事實(shí)決定了方程具有式（2-25）給出的微分形式，這種形式稱為守恒形式。連續(xù)方程：位置固定的微團(tuán)空間位置固定的流動模型直接導(dǎo)出的控制方程定義為守恒型方程。2023/2/425隨流體運(yùn)動的無窮小流微團(tuán)，其速度等于流線上每一點(diǎn)的當(dāng)?shù)厮俣?。V特點(diǎn)：流體微團(tuán)有固定質(zhì)量，但它的形狀和體積會在它向下游運(yùn)動時變化。將這個流體微團(tuán)固定的質(zhì)量和可變的體積分別用和表示，有：由微團(tuán)質(zhì)量守恒，有：綜合方程（2-26）和（2-27），得：連續(xù)方程：隨流體運(yùn)動的微團(tuán)2023/2/426或：將式（2-14）代入方程（2-28）后得到：方程是連續(xù)性方程的另一種偏微分方程形式，它是基于隨流體運(yùn)動的無窮小流體微團(tuán)推導(dǎo)出來的。與前面一樣，微團(tuán)的無窮小是方程具有偏微分形式的原因。而微團(tuán)隨流體運(yùn)動的事實(shí)則決定了方程具有式（2-29）給出的為微分形式，這種形式被稱為非守恒形式。連續(xù)方程：隨流體運(yùn)動的微團(tuán)由隨流體運(yùn)動模型直接導(dǎo)出的控制方程定義為非守恒性方程。2023/2/427空間位置固定的無窮小微團(tuán)非守恒型積分形式路徑A路徑B路徑C路徑D非守恒型微分形式連續(xù)方程的不同形式及其不同流動模型之間的關(guān)系空間位置固定的有限控制體隨流體運(yùn)動質(zhì)量不變的有限控制體隨流體運(yùn)動質(zhì)量不變的無窮小微團(tuán)守恒型積分形式守恒型微分形式連續(xù)方程：不同方程之間的轉(zhuǎn)換2023/2/428首先，考察如何從積分方程形式得到偏微分方程形式，也就是證明路徑C。由于推導(dǎo)方程（2-19）所用的控制體空間位置是固定的，方程（2-19）中積分的積分限是常數(shù)，因此時間導(dǎo)數(shù)可以置于積分號內(nèi)：應(yīng)用向量分析中的散度定理，方程（2-30）中的面積分可以表達(dá)為體積為：重復(fù)一下方程（2-19），即：路徑C連續(xù)方程：不同方程之間的轉(zhuǎn)換2023/2/429將方程（2-31）代入方程（2-30），我們得到：或：因?yàn)橛邢蘅刂企w是在空間任意選取的，方程（2-32）中積分等于零的唯一可能就是被積函數(shù)在控制體內(nèi)處處為零。于是，從方程（2-32）中可以得到：方程（2-33）正好就是偏微分方程形式的連續(xù)方程。路徑C連續(xù)方程：不同方程之間的轉(zhuǎn)換2023/2/430接下來，將守恒形式變?yōu)榉鞘睾阈问?，即證明路徑B：將方程（2-34）代入方程（2-33），得：方程（2-36）恰好就是非守恒形式的偏微分方程。方程（2-35）左邊兩項(xiàng)為密度的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)，因此方程變?yōu)椋簩τ跇?biāo)量與向量乘積的散度，由向量恒等式：路徑B連續(xù)方程：不同方程之間的轉(zhuǎn)換2023/2/431最后，對積分方程進(jìn)行同樣的變換，證明路徑A：圖中右邊所示方程為：因?yàn)槲镔|(zhì)導(dǎo)數(shù)表示運(yùn)動物體隨時間變化的變化率，而方程中體積分的積分限由同樣的運(yùn)動微團(tuán)確定，所以物質(zhì)導(dǎo)數(shù)可以寫到積分號之內(nèi)。這樣，方程可以寫為：將導(dǎo)數(shù)進(jìn)行展開：路徑A連續(xù)方程：不同方程之間的轉(zhuǎn)換2023/2/432方括號里的項(xiàng)，物理意義就是“單位體積的無窮小流體微團(tuán)體積的時間變化率”。回顧速度散度的物理意義，可以知道這一項(xiàng)就是速度的散度。這樣，方程（2-38）成為：根據(jù)物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的定義，式（2-39）的第一項(xiàng)可以展開為：將式（2-40）代入式（2-39），并把所有的項(xiàng)寫成一個體積分，得到：對第二項(xiàng)除以再乘以：連續(xù)方程：不同方程之間的轉(zhuǎn)換2023/2/433由此，方程變?yōu)椋鹤詈?，使用向量分析中?lián)系面積分與體積分的散度定理：最終變?yōu)椋悍匠蹋?-43）實(shí)際上就是左邊守恒形式的積分方程。由向量恒等式（2-34），方程（2-41）中的后兩項(xiàng)可以寫為：路徑A連續(xù)方程：不同方程之間的轉(zhuǎn)換2023/2/434空間位置固定的無窮小微團(tuán)非守恒型積分形式路徑A路徑B路徑C路徑D非守恒型微分形式連續(xù)方程的不同形式及其不同流動模型之間的關(guān)系空間位置固定的有限控制體隨流體運(yùn)動質(zhì)量不變的有限控制體隨流體運(yùn)動質(zhì)量不變的無窮小微團(tuán)守恒型積分形式守恒型微分形式連續(xù)方程：不同方程之間的轉(zhuǎn)換2023/2/435積分形式與微分形式有著實(shí)質(zhì)性的區(qū)別：路徑C積分形式的方程比微分形式的方程更基礎(chǔ)、更重要。連續(xù)方程：積分形式與微分形式積分形式允許在（空間位置）固定的控制體內(nèi)出現(xiàn)間斷；微分形式的控制方程假定流動參數(shù)是可微的，從而必須是連續(xù)的。2023/2/436適用于CFD的控制方程引言計(jì)算流體動力學(xué)的控制方程小結(jié)適合CFD使用的控制方程不同形式控制方程：動量方程基礎(chǔ)知識物理邊界條件2023/2/437寫出一個基本的物理學(xué)原理將它應(yīng)用于一個合適的流動模型得到表現(xiàn)這一物理原理的一個方程隨流體流動無窮小流體微團(tuán)應(yīng)用牛頓第二運(yùn)動定律，采用隨流體運(yùn)動的無窮小流體微團(tuán)來推導(dǎo)出運(yùn)動控制方程（動量方程）。V牛頓第二定律動量方程2023/2/438僅考慮x方向，x方向須滿足方程：流體微團(tuán)受力來源：力=質(zhì)量×加速度體積力表面力重力（引力）電磁力壓力粘性力正應(yīng)力切應(yīng)力體積力：將作用在單位質(zhì)量流體微團(tuán)上的體積力記做，其x方向分量為；流體微團(tuán)的體積為dxdydz；作用在流體微團(tuán)上的體積力的x方向分量：外部流體推動微團(tuán)產(chǎn)生，以摩擦方式作用于表面。流體微團(tuán)周圍的流體施加。動量方程2023/2/439兩個約定：表面力：繪制流體微團(tuán)受到x方向的表面力注意力的方向！動量方程用表示j方向的應(yīng)力作用在垂直于i軸的平面上；速度的三個分量u、v、w的正的增量與坐標(biāo)軸的正向一致。2023/2/440x方向總的表面力：流體微團(tuán)的加速度就是速度變化的時間變化率，加速度的x方向分量就等于u的時間變化率，即：x方向總的力：運(yùn)動的流體微團(tuán)質(zhì)量固定不變，即：動量方程2023/2/441x方向的動量方程為：動量方程y方向的動量方程為：z方向的動量方程為：2023/2/442接下來，將非守恒形式的動量方程變換為守恒形式的動量方程。展開導(dǎo)數(shù)：向量恒等式：根據(jù)物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的定義，方程(2-50a)左邊變換為：路徑即：動量方程2023/2/443將向量恒等式變換，得到：帶入非守恒型動量方程，得到：將(2-52)和(2-53)帶入方程(2-51)，得到：質(zhì)量守恒動量方程2023/2/444納維-斯托克斯方程的守恒形式:動量方程2023/2/445牛頓流體：流體的切應(yīng)力與應(yīng)變時間變化率，即速度梯度，成正比。在空氣動力學(xué)的所有實(shí)際問題中，流體都可以被看成是牛頓流體。其中μ是分子粘性系數(shù)，λ是第二粘性系數(shù)。斯托克斯提出假設(shè)：動量方程對于牛頓流體有：2023/2/446完整的納維-斯托克斯方程守恒形式：動量方程2023/2/447適用于CFD的控制方程引言計(jì)算流體動力學(xué)的控制方程小結(jié)適合CFD使用的控制方程不同形式控制方程：能量方程基礎(chǔ)知識物理邊界條件2023/2/448寫出一個基本的物理學(xué)原理將它應(yīng)用于一個合適的流動模型得到表現(xiàn)這一物理原理的一個方程能量守恒隨流體流動無窮小流體微團(tuán)應(yīng)用能量守恒原理，即熱力學(xué)第一定律，采用隨流體運(yùn)動的無窮小流體微團(tuán)來推導(dǎo)出能量方程。V能量方程2023/2/449流體微團(tuán)內(nèi)能量的變化率=流入微團(tuán)內(nèi)的凈熱流量

+體積力和表面力對微團(tuán)做功的功率或：對于隨流體運(yùn)動的無窮小微團(tuán)模型，熱力學(xué)第一定律可表述為：C為體積力和表面力對微團(tuán)做功的功率A=B+C作用在一個運(yùn)動物體上的力，對物體做功的功率等于這個力乘以速度在此力作用方向上的分量。作用于速度為的流體微團(tuán)上的體積力，做功的功率可表達(dá)為：能量方程2023/2/450隨流體運(yùn)動的無窮小流體微團(tuán)表面力做功首先考慮作用x方向上的表面力，繪制x方向能量通量：壓力對運(yùn)動流體微團(tuán)做功的功率為：能量方程2023/2/451應(yīng)力對運(yùn)動流體微團(tuán)做功的功率為(與Y軸垂直的面為例)：能量方程隨流體運(yùn)動的無窮小流體微團(tuán)表面力做功2023/2/452X方向表面力對運(yùn)動流體微團(tuán)做功的功率為：能量方程隨流體運(yùn)動的無窮小流體微團(tuán)表面力做功2023/2/453X方向表面力對運(yùn)動流體微團(tuán)做功的功率為：y方向表面力對運(yùn)動流體微團(tuán)做功的功率為：z方向表面力對運(yùn)動流體微團(tuán)做功的功率為：能量方程2023/2/454將壓力、正應(yīng)力及切應(yīng)力對流體微團(tuán)做功加在一起，即得到體積力和表面力做功總和C，即：壓力功率，可表達(dá)為體積力功率切應(yīng)力功率正應(yīng)力功率能量方程2023/2/455B為進(jìn)入微團(tuán)內(nèi)的總熱流量進(jìn)入流體微團(tuán)的總熱流量體積加熱，如吸收或釋放的輻射熱熱傳導(dǎo)，由溫度梯度導(dǎo)致的跨過表面的熱運(yùn)輸對微團(tuán)的體積加熱，為單位質(zhì)量的體積加熱率：熱傳導(dǎo)對流體微團(tuán)的加熱。單位時間通過單位面積在x方向輸運(yùn)的熱量，與溫度增加的方向相反：能量方程2023/2/456將體積加熱和熱傳導(dǎo)加熱相加，得進(jìn)入微團(tuán)的總熱流量：根據(jù)傅里葉熱傳導(dǎo)定律，熱傳導(dǎo)產(chǎn)生的熱流與當(dāng)?shù)氐臏囟忍荻瘸烧?，有：其中k為熱導(dǎo)率，最終得進(jìn)入微團(tuán)的總熱流量：能量方程2023/2/457A為流體微團(tuán)能量變化的時間變化率熱力學(xué)第一定律中內(nèi)能的物理意義：運(yùn)動流體微團(tuán)能量來源分子隨機(jī)運(yùn)動產(chǎn)生的單位質(zhì)量內(nèi)能e流體微團(tuán)平動時具有的單位質(zhì)量動能流體微團(tuán)能量變化的時間變化率可表示為：一個特定分子的總能量是它的平動能、轉(zhuǎn)動能、振動能和電子能的總和；每個原子的總能量是它的平動能和電子能的總和；氣體系統(tǒng)的內(nèi)能是系統(tǒng)內(nèi)每個分子和原子能量的總和。運(yùn)動流體微團(tuán)的能量來源：能量方程2023/2/458綜合A、B和C的表達(dá)式，得到非守恒形式的能量方程：上述方程可從兩個方面改動：方程左邊可以只用內(nèi)能e或只用焓h或者只用總焓來表示，右邊隨之變動。能量方程，對上述每種不同形式，都有守恒形式和非守恒形式。能量方程2023/2/459將動量方程分別乘上u、v、w得：三式相加，可得到：能量方程2023/2/460與方程(2-66)相比，該方程具有以下特點(diǎn)：內(nèi)能e表示的能量方程中不包括體積力項(xiàng)；方程(2-66)中，正應(yīng)力與切應(yīng)力是與速度相乘，一起出現(xiàn)在x、y、z的導(dǎo)數(shù)內(nèi)，內(nèi)能e表示的能量方程中粘性應(yīng)力單獨(dú)出現(xiàn)，直接與速度梯度相乘；該方程任然是非守恒形式。能量方程從方程(2-66)減去上式，并注意，可得到方程左邊只包含內(nèi)能e的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的能量方程：2023/2/461對只包含內(nèi)能e的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的能量方程做變換：完全用流場變量表示的能量方程：方程左邊只出現(xiàn)了內(nèi)能；也可以用其它的能量形式表示。能量方程2023/2/462接下來，將非守恒形式能量方程變換為守恒形式能量方程。路徑根據(jù)物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的定義，方程(2-71)左邊變換為：展開導(dǎo)數(shù)：向量恒等式：即：即：能量方程2023/2/463得:由連續(xù)性方程可知，上式右邊方括號內(nèi)的式子等于零，則有：用內(nèi)能表示的守恒形式的能量方程：能量方程2023/2/464將內(nèi)能e改為總能量，有用總能量表達(dá)的守恒形式的能量方程：方程從非守恒形式轉(zhuǎn)換為守恒形式，只需要對方程的左邊進(jìn)行變換，方程的右邊保持不變。能量方程2023/2/465適用于CFD的控制方程引言計(jì)算流體動力學(xué)的控制方程小結(jié)適合CFD使用的控制方程不同形式控制方程基礎(chǔ)知識物理邊界條件2023/2/466A.基本物理學(xué)原理1.質(zhì)量守恒定律2.牛頓第二定律3.能量守恒定律B.流動模型1.固定的有限控制體2.移動的有限控制體3.固定的無窮小控制體4.移動的無窮小控制體C.流體流動控制方程1.連續(xù)方程2.動量方程3.能量方程數(shù)學(xué)推導(dǎo)不同形式的控制方程：小結(jié)2023/2/467粘性流動的納維-斯托克斯（Navier-Stokes)方程粘性流動是包括摩擦、熱傳導(dǎo)和質(zhì)量擴(kuò)散等輸運(yùn)現(xiàn)象的流動，這些現(xiàn)象是耗散性的，總是使流體的熵增加。連續(xù)性方程：非守恒形式：守恒形式：非定常三維可壓縮粘性流動的控制方程總結(jié)如下。不同形式的控制方程：小結(jié)2023/2/468動量方程：非守恒形式：守恒形式：不同形式的控制方程：小結(jié)2023/2/469能量方程：非守恒形式：守恒形式：不同形式的控制方程：小結(jié)2023/2/470無粘流的定義是忽略了散耗、粘性輸運(yùn)、質(zhì)量擴(kuò)散以及熱傳導(dǎo)的流動。連續(xù)性方程：非守恒形式：守恒形式：無粘流歐拉（Euler）方程簡單地去掉N-S方程中所有包含摩擦和熱傳導(dǎo)的項(xiàng)，就得到了無粘流動的方程。非定常三維可壓縮無粘流動的控制方程總結(jié)如下。不同形式的控制方程：小結(jié)2023/2/471動量方程：非守恒形式：守恒形式：不同形式的控制方程：小結(jié)2023/2/472能量方程：

非守恒形式：守恒形式：Euler方程形式上相對簡單，便于作為模型方程進(jìn)行分析，也便于求解。不同形式的控制方程：小結(jié)2023/2/473這些方程都是非線性偏微分方程耦合而成的方程組，求解析解非常困難。到目前為止，還沒有封閉形式的通解。對動量方程的和能量方程，非守恒形式與守恒形式的區(qū)別僅在于方程的左端項(xiàng)。不同形式的控制方程：注釋2023/2/474守恒形式方程的左邊包含了某些量的散度項(xiàng)，控制方程的守恒形式有時又叫做散度形式。方程中的正應(yīng)力和切應(yīng)力都是速度梯度的函數(shù)，由牛頓流體應(yīng)力計(jì)算式給出。不同形式的控制方程：注釋2023/2/475方程組包含5個方程和6個未知的流場變量。需引入狀態(tài)方程封閉方程組。完全氣體的狀態(tài)方程是：狀態(tài)方程提供了第六個方程，但引進(jìn)了第七個未知量。用以封閉整個方程組的必須是狀態(tài)參量間的熱力學(xué)關(guān)系。不同形式的控制方程：注釋2023/2/476粘性流動的動量方程被稱為納維-斯托克斯方程，而在當(dāng)代的CFD文獻(xiàn)中，這個術(shù)語擴(kuò)展到了粘性流動的整個方程組（連續(xù)性方程、動量方程和能量方程），納維-斯托克斯解就是指用整個控制方程組求解粘性流動問題?；谕瑯拥睦碛桑瑹o粘流方程被稱為歐拉方程。在當(dāng)代CFD文獻(xiàn)中，整個無粘流方程組的解被稱為歐拉解，整個方程組一起被稱作歐拉方程。不同形式的控制方程：注釋2023/2/477適用于CFD的控制方程引言計(jì)算流體動力學(xué)的控制方程小結(jié)適合CFD使用的控制方程不同形式控制方程基礎(chǔ)知識物理邊界條件2023/2/478控制方程相同，不同的邊界條件，有時還包括初始條件，使得同一個控制方程得到不同的特解。同一組控制方程，為什么會產(chǎn)生千變?nèi)f化的流動情況呢？任何流動控制方程的數(shù)值解一定是從數(shù)值上令人信服的反映了給定的邊界條件。物理邊界條件2023/2/479適合粘性流動的物理邊界條件無滑移條件，流動流經(jīng)固定的物面，緊挨物面的流體與物面之間相對速度為零，即：物面溫度也有類似的無滑移條件。緊挨物面的流體溫度與物面材料的溫度相等。在壁面溫度已知的給定問題中，對于流體溫度合適的邊界條件是：如果壁面溫度是未知的，例如有熱流傳入物面或由物面?zhèn)鹘o氣流，壁面溫度是隨時間變化的函數(shù)，由傅里葉導(dǎo)熱定律提供物面邊界條件：物理邊界條件2023/2/480物面材料對傳給物面的熱流做出響應(yīng)，改變壁面溫度。而壁面溫度又反過來影響熱流。因此，一般求解非定常傳熱問題，要同時處理粘性流動和壁面材料的熱響應(yīng)。這種類型的邊界條件是關(guān)于壁面溫度梯度的邊界條件：當(dāng)壁面溫度達(dá)到這樣一種程度，使得不再有熱流傳入物面，這個壁面溫度定義為絕熱壁面溫度。絕熱壁的邊界條件由溫度梯度給出：適合粘性流動的物理邊界條件物理邊界條件2023/2/481對于無粘流動，由于沒有摩擦力，不能迫使流體粘附在物面上。因此物面上流體的速度是一個有限的非零值。對于無粘流動，物面速度與物面相切是唯一的物面邊界條件。對于非滲透壁，沒有流體流入或流出壁面。這意味著緊挨物面的流體的速度必然與物面相切。垂直于物面的速度分量為零，物面上的流動與物面相切，即：物面上速度的大小，物面上流體的溫度、壓力和密度，都將成為解的一部分。在CFD中，須從數(shù)值上合理的實(shí)現(xiàn)這些邊界條件。適當(dāng)并且精確的給定數(shù)值邊界條件是非常重要的。適合無粘流動的物理邊界條件物理邊界條件2023/2/482適用于CFD的控制方程引言計(jì)算流體動力學(xué)的控制方程小結(jié)適合CFD使用的控制方程不同形式控制方程基礎(chǔ)知識物理邊界條件2023/2/483守恒形式的方程有空間位置固定的控制體模型導(dǎo)出。關(guān)心的是流入流出控制體的質(zhì)量流量、動量流量和能量流量，而不是密度、速度這些原始變量。這些通量成為方程重要的應(yīng)變量。守恒形式的流動控制方程相對于非守恒控制方程所具有的重要意義及其在CFD中的應(yīng)用。守恒形式的控制方程為算法設(shè)計(jì)和編程計(jì)算提供了方便守恒形式的連續(xù)方程、動量方程和能量方程可以用同一個通用方程來表達(dá)，有助于計(jì)算程序的簡化和程序結(jié)構(gòu)的組織。適用于CFD的控制方程2023/2/484考察這些方程，用U、F、G、H、J代表列向量，可以的到守恒型控制方程組的通用形式。下述向量方程就可以代表整個守恒形式的控制方程組：解向量通量項(xiàng)適用于CFD的控制方程2023/2/485通量項(xiàng)通量項(xiàng)源項(xiàng)，當(dāng)體積力和體積熱力可以忽略時等于零。適用于CFD的控制方程2023/2/486方程的求解：對于非定常流動和定常流動，都可以采用時間推進(jìn)方法求解。TF收斂結(jié)束計(jì)算方程左邊解向量計(jì)算方程右邊源項(xiàng)t=t+△t解向量賦初值計(jì)算方程右邊通量項(xiàng)時間相關(guān)算法流程

對于定常流動，求解非定常方程，用長時間的漸近解趨于定常狀態(tài)。這就是求解定常問題的時間相關(guān)算法。適用于CFD的控制方程2023/2/487無粘流動的列向量適用于CFD的控制方程2023/2/488假設(shè)一種定常流動，其控制方程中時間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)為零，假設(shè)可沿x方向推進(jìn)求解，則有:在CFD中，能否使用推進(jìn)方法取決于控制方程數(shù)學(xué)特性。TF收斂結(jié)束計(jì)算方程左邊解向量計(jì)算方程右邊源項(xiàng)x=x+△xX方向通量賦初值計(jì)算方程右邊通量項(xiàng)推進(jìn)算法不局限于時間推進(jìn)。在某種情況下，定常流動問題可以通過沿著空間某一方向推進(jìn)的方法來求解。適用于CFD的控制方程2023/2/489守恒形式的分類守恒形式的方程強(qiáng)守恒形式：所有的變量都寫進(jìn)了導(dǎo)數(shù)，沒有任何變量單獨(dú)留在時間和空間導(dǎo)數(shù)之外，并且時間、空間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)最多只出現(xiàn)一次。弱守恒形式：除強(qiáng)守恒形式以外的守恒形式方程。強(qiáng)守恒形式求解更方便。適用于CFD的控制方程2023/2/490某些情況下，使用守恒形式的控制方程能得到光滑、穩(wěn)定、正確的結(jié)果，使用非守恒型方程則不能。超聲速繞流問題激波裝配法計(jì)算網(wǎng)格

超聲速繞流問題激波捕捉法計(jì)算網(wǎng)格

對于含有激波的流動，流場原始變量，如壓力，跨過激波會發(fā)生急劇變化。對計(jì)算這一類流動的方法進(jìn)行討論。激波作為流場計(jì)算的直接結(jié)果。將激波人為的引入