高二數(shù)學(xué)必修五導(dǎo)學(xué)案：3.4.1基本不等式（第1學(xué)時(shí)）

3．4．1基本不等式（第1課時(shí)）32**學(xué)習(xí)目標(biāo)**1.理解算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定義及它們的關(guān)系.2.探究并了解基本不等式的證明過程,會(huì)用多種方法證明基本不等式.3.理解基本不等式的意義,并掌握基本不等式中取等號(hào)的條件是:當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等.**要點(diǎn)精講**1．基本不等式：()，即：兩正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立．注：上述不等式對(duì)a≥0,b≥０時(shí)仍成立。2．基本不等式的幾何解釋：半徑不小于半弦．a(chǎn)≥0,b≥03．基本不等式的變形公式：（1）（）；（2）；（3）；（4）；（5）。新課標(biāo)第一網(wǎng)4．基本不等式的推廣：n個(gè)(n>1)非負(fù)數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)．即若ai≥0(i=1,2,…,n),則(n>1,nN)；**范例分析**例1．（1）如圖,已知在正方形ABCD中,有四個(gè)全等的直角三角形,設(shè)直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)為a、b,則正方形ABCD的面積為S1=________,4個(gè)直角三角形面積的和為S2=________,則S1_______S2(填“≥”“≤”或“=”).據(jù)此,我們就可得到一個(gè)不等式(用含a、b的式子表示),并且當(dāng)a______b時(shí),直角三角形變?yōu)開_______時(shí),S1=S2.（2）已知，求證：，你能解釋（）的幾何意義嗎？例2.利用基本不等式證明下列不等式：已知a>0,求證a+；已知a>3,求證a+；例3.(1).已知x,y,z是互不相等的正數(shù),且x+y+z=1,求證:((2).已知，求證：。例4．（1）已知為任意實(shí)數(shù)，求證：a2+b2+c2ab+bc+ca；（2）已知a+b+c=1,求證a2+b2+c2≥。４．已知a,b,c不全相等的三個(gè)正數(shù),且abc=1,求證:注意：利用基本不等式證明時(shí)要交代等號(hào)為何不能成立．規(guī)律總結(jié)1．均值不等式（不等式鏈）：若，則。其中，分別稱為正數(shù)的調(diào)和平均數(shù)（H）、幾何平均數(shù)（G）、算術(shù)平均數(shù)（A）、平方平均數(shù)（P），即有?；竟δ苡校海?），將平方和與兩數(shù)和互化；（2），將和與積互化；wWw.xKb1.coM（3），將和與倒數(shù)和互化；（4）重要變形：，其中為正數(shù)。2．學(xué)會(huì)多次運(yùn)用和創(chuàng)造條件運(yùn)用基本不等式證題，尤其是不等式兩邊均為三項(xiàng)，可將一邊變成六項(xiàng)，分成三組．對(duì)每一組用基本不等式．3．均值不等式在運(yùn)用時(shí)，常需先湊形后運(yùn)用；用均值不等式證明時(shí)，為達(dá)到目標(biāo)可先宏觀，后微觀；均值不等式和不等式的基本性質(zhì)的聯(lián)合運(yùn)用是證明不等式行之有效的方法。**基礎(chǔ)訓(xùn)練**一、選擇題1．下面推導(dǎo)“”中所犯的錯(cuò)誤是（）沒有考慮等號(hào)成立的條件沒有考慮的值應(yīng)當(dāng)非負(fù)的限制沒有考慮而不能開方的情況沒有考慮是可以開方的條件2．若a>1,b>1則a+b,2ab,2,中最大的一個(gè)是（）Aa+b,B2ab,C2,D3．設(shè)則以下不等式中不恒成立的是（）A．B．C．D．4．如果正數(shù)滿足，那么（）Ａ．，且等號(hào)成立時(shí)的取值唯一Ｂ．，且等號(hào)成立時(shí)的取值唯一Ｃ．，且等號(hào)成立時(shí)的取值不唯一Ｄ．，且等號(hào)成立時(shí)的取值不唯一5．已知x,yR，M=x2+y2+1，N=x+y+xy，則M與N的大小關(guān)系是（）A、MN B、MN C、M=N D、不能確定二、填空題6．比較大?。?；7．已知，且，將下列五個(gè)數(shù)按從大到小順序排列是。8．有一組數(shù)據(jù)：，它們的算術(shù)平均值為10，若去掉其中最大的，余下數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值為9；若去掉其中最小的，余下數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值為11。則關(guān)于n的表達(dá)式為___________；關(guān)于n的表達(dá)式為___________。三、解答題9．證明：（1）若，則。（2）已知，求證：。10．（1）已知，求證：；（2）已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求證:。.四、能力提高11．若a、b是正數(shù)，則、、、這四個(gè)數(shù)的大小順序是（）A.≤≤≤B.≤≤≤C.≤≤≤D.≤≤≤12．已知，，求證：。3．4．1基本不等式例1．解：（1），，由知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；（2）見要點(diǎn)精講。例2.（1）因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；（2）因?yàn)椋?；?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立；X|k|B|1.c|O|m例3.（1）因?yàn)槭腔ゲ幌嗟鹊恼龜?shù)，且x+y+z=1，所以……①……②……③三式相乘得。（2）證明：因?yàn)?，所以，。?．證明：（1）因?yàn)?，得證?；?，，，三式相加得證。（2）方法1：，所以a2+b2+c2≥，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；方法2：因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；**參考答案**1~5BDBAA；5．提示：；6．；7．；8．。9．證明：（1），，相加得證。（2）證明：，，，相加得證。10．（1）因?yàn)椋?，同理，，，相加得證。（2）提示：。11．C；提示：方法1，特殊賦值，令a=1，b=2，