12.2.2相似三角形的性質(zhì)及判定.講義學(xué)生版

''''''相三形性及定2）中考要板相似三角形

A級要求了解相似三角形

考要B級要求掌握相似三角形的概念，判定及性質(zhì)，以及掌握相關(guān)的模型

C要求會運(yùn)用相似三角形相關(guān)的知識解決有關(guān)問題知識點(diǎn)一、相似的有關(guān)概念．相似形具有相同形狀的圖形叫做相似形．相似形僅是形狀相同，大小不一定相同．相似圖形之間的互變換稱為相似變換．．相似圖形的特性兩個相似圖形的對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等．．相似比兩個相似圖形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例．二、相似三角形的概念．相似三角形的定對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形．如圖，△ABC與△A

相似，記作△A

，符號∽讀“似于．CB

C．相似比相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1全等三角形一是相似形，相形不一定“全等形．三、相似三角形的性質(zhì)．相似三角形的對角相等如圖，△ABC與△A

相似，則有

．12.2.2相似三角形的性質(zhì)及判定（）

講義·學(xué)生版Page1of16

''''''''''''''''''''''''CB

C．相似三角形的對邊成比例如圖，△ABC與△A

相似，則有

BCAC（為似比BAABCB．相似三角形的對邊上的中線，高線和對應(yīng)角的平分線成比例，都等于相似比．

C如圖，△△

相似，是△ABC中BC邊的中線，

是△

中

邊上的中線，則有

BCAMBA

（為相似比MB

M

'

C圖1如圖，△與

相似，是△中BC上的高線，

是△

中

邊上的高線，則有

BCAHAAA

（k為似比CB

C圖2如圖3eq\o\ac(△,)ABC與△

相似，是△中的平分線，A

是A

中

的角平分線，則有

BCABAA

（k為相似比12.2.2相似三角形的性質(zhì)及判定（）

講義·學(xué)生版Page2of16

''''''''''''''''''''''CB

C圖3．相似三角形周長比等于相似比．如圖，△

相似，則有

BCAC（k為似比用比例的等比質(zhì)有ABBCBCACAB

．CB

C圖4．相似三角形面積比等于相似比的平方．如圖，△△是ABC中邊上的高線，高線，則有

BCAHAAA

（k為似比而可得eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)

BCAHB

．CB

C圖5四、相似三角形的判定．平行于三角形一的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形原三角形相似．．如果一個三角形的兩個角與另一三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似．可簡單成：兩角對應(yīng)相等，兩個三角形似．．如果一個三角形的兩邊和另一個角形的兩邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形似．．如果一個三角形的三條邊與另一三角形的你對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似．可簡單地成：三邊對應(yīng)成比例，兩個三角相似．．如果一個直角三角形的斜邊和一直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例那么這兩個直角三角形相似．12.2.2相似三角形的性質(zhì)及判定（）

講義·學(xué)生版Page3of16

．直角三角形被斜上的高分成的兩個直角三角形相似（常用但要證明）．如果一個等腰三角形和另一個等三角形的頂角相等或一對底角相等，那么這兩個等腰三角形似；如果它們的腰和底對應(yīng)成比，那么這兩個等腰三角形也相似．五、相似證明中的比例式或等積式、比例中項(xiàng)式、倒數(shù)式、復(fù)合式證明比例式或等積式的主要方法“三點(diǎn)定形”．橫向定型法欲證

ABBE

橫觀察比例式中的分子的條線段是ABBC三字母恰△ABC的頂點(diǎn)；分母的兩條線段是和BF，三個字母F恰△BEF的三個頂點(diǎn)．因此只需證△∽△EBF．．縱向定型法欲證

ABDEBCEF

，縱向觀察，比例式左邊的比AB和BC中的三個字母AB恰△的點(diǎn)；右邊的比兩條線段是DE和EF中的三個字母DF恰△的個頂點(diǎn)．因此只需證△∽△．中間比法由于運(yùn)用三點(diǎn)定形法時常會碰到三點(diǎn)共線或四點(diǎn)中沒有相同點(diǎn)的情況，此時可考慮運(yùn)用等線，比或等積進(jìn)行變換后，再考慮運(yùn)用三點(diǎn)定形法尋找相似三角形．這種方法就是等量代換法．在證明例式時，常用到中間比．比例中項(xiàng)式的證明，通常涉及到公共邊有關(guān)的相似問題。這類問題的典型模型是射影定理模型模型的特征和結(jié)論要熟練掌握和透理解．倒數(shù)式的證明，往往需要先進(jìn)行形，將等式的一邊化為，另一邊化為幾個比值和形式，然后對比值進(jìn)行等量代換，進(jìn)而證明之復(fù)合式的證明比較復(fù)雜．通常需進(jìn)行等線代換（對線段進(jìn)行等量代換比代換，等積代換，復(fù)合式轉(zhuǎn)化為基本的比例式或等式，然后進(jìn)行證明．六、相似證明中常見輔助線的作法在相似的證明中，常見的輔助線的作法是做平行線構(gòu)造成比例線段或相似三角形，同時再結(jié)合量代換得到要證明的結(jié)論．常見的等量代換包括等線代換、等比代換、等積代換等．如圖：AD平D，求證：

AB．DC1DC證法一：過C∥AD，BA的長線于E∴．∵，．．BABA∵ADCE，．DCBEAC點(diǎn)評：做平行線構(gòu)造成比例線段，利用A型的基本模型．12.2.2相似三角形的性質(zhì)及判定（）

講義·學(xué)生版Page4of16

12D證法二；過作AC的平行線，交AD的長線于．∴，AB．∵BE，∴

BEAB．DCAC點(diǎn)評：做平行線構(gòu)造成比例線段，利用X型的基本模型．七、相似證明中的面積法面積法主要是將面積的比，和線段的比進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化來解決問題．常用的面積法基本模型如下：ABCHD如圖：

eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)

BC．

圖：“山字型

HOD

如圖：

eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)

AHAO．DGOD

圖2：“田”型

DSABAD如圖：eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)．AEAC

C圖3“”型12.2.2相似三角形的性質(zhì)及判定（）

講義·學(xué)生版

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八、相似證明中的基本模型

DE

D

D

F

E

I

FCBC

G

BDHB

E

O

O

F

DCDFDCD

D

EH

DO

CBCD

DCCDCD

DCADA

A

A

AD

D

D

GDEBF

B

G

EEECFBFGC

F

G

H

DF

D

F

G

D

F

M

D

F

NEECBBH例題精一、與角平分線有關(guān)的相似問題

C12.2.2相似三角形的性質(zhì)及判定（）

講義·學(xué)生版Page6of16

【例】如，AD是的角平分線，求證：

ABACDC【例】已ABC中BAC的角平分線交對邊BC的長線于，證：

ABBDCDCD【鞏固】已知ABC中BAC外角平分線交對邊的長于，證：AD

BDABCD12.2.2相似三角形的性質(zhì)及判定（）

講義·學(xué)生版Page7of16

【例】已：分別為的、外角平分線，M為的點(diǎn)，求證：

BMACCMABDME【鞏固】已知：分別為ABC的、外角平分線，求證：

112.BCDE【例】已四邊形，、F分為一組對邊BC、的點(diǎn)，若求證：AB、DC與EF成角

BEAFABECFDDC

F

D12.2.2相似三角形的性質(zhì)及判定（）

講義·學(xué)生版Page8of16

二、與公共邊有關(guān)的相似問題【例】如ABC中ACBCAB

BDAC

CDAD

D【例】如，在矩形中，對角線AC、BD相于G，E為的點(diǎn)，連接BE交AC于，連接FD，90下列四對三角形：①△與△ACD；②△FED與DEB；△CFD與；ADF與其中相似的為（）A

EDFBCA①④

B．②

C．③④

D．②【鞏固】如圖，矩形ABCD中BEAC于F，是CD中點(diǎn)，下列式子成立的是（）DEF

AABF

AF

B．BF

AF

C．BF

AF

D．

AF

12.2.2相似三角形的性質(zhì)及判定（）

講義·學(xué)生版Page9of16

【例】如，中AD于D，BEAC于E，DF于F，交于G，F(xiàn)DAC的延長線交于點(diǎn)H，證：DF

FG.AF

G

EB

D

CH【鞏固】如圖，中D在AC上AD，M是中點(diǎn)，MEAC于點(diǎn)是ME的中點(diǎn)，連接DP。證：BEDPC

C

【例】如，在直角梯形ABCD中∥CD，角線ACBD，垂足為，AD，過的直線EF∥ABADF．⑴，⑵

D

CF

EA12.2.2相似三角形的性質(zhì)及判定（）

講義·學(xué)生版Page10of16

【鞏固】如圖，中ACBCDAB于DE為BC的點(diǎn)，AC的長線交于F．求證：

FA．FDF3AD

21

EB【例】如，在中，AD平BAC，的直平分線交于E交BC的長線于，求證：FD

FB．AEBDCF【鞏固】如上圖，在中FD求證：AD平BAC

FB，AD的直平分線交于交延長線于F，DCF12.2.2相似三角形的性質(zhì)及判定（）

講義·學(xué)生版Page11of16

【例1】已知，如圖，為邊三角形，DAE120DAE兩邊交直線于D兩，求證：BC

．ADB

C2

13DC【鞏固】已知，如圖，為腰三角形，，不添加輔助線的條件下：⑴當(dāng)與滿什么關(guān)系時，(_____)⑵證你的結(jié)論．

括號里填圖中已有線．ADBCE三、與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的相似問題【例1】如角形ABCD中BCD90CDE梯形內(nèi)一點(diǎn)90將繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)與重，到DCF，連EF交CD于．已知BCCF，DM:MC的為（）A5:3

B．3:5

C．4:3D4A

DE

M12.2.2相似三角形的性質(zhì)及判定（）

FB講義·學(xué)生版Page12of16

【例1】如，四邊形ABCD和均正方形，求::CE

ADG

G

B

B

E

E【鞏固圖等邊△ABC中，為上的動點(diǎn)CD為一邊上作等邊△連，求證：BC．（2如圖2將1）中的等邊△為以為邊的等腰三角形，所作EDC改相似于△ABC請問：是否有AE？明你的結(jié)論．

A

ED

D

B

C12.2.2相似三角形的性質(zhì)及判定（）

講義·學(xué)生版Page13of16

【例1】把塊全等的直角三角板和DEF放在一起，是三角板的角頂點(diǎn)與角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重，其中DEF45，三角板固定不動三板DEF繞O轉(zhuǎn)射線DE與線AB交于點(diǎn)線DF與段相交于點(diǎn)Q（1）如圖1，射線DF過點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)重時，易證△APD∽CDQ此時，．（2）將三角板DEF由1的示的位置繞點(diǎn)O沿時針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角，中0值是否改變？說明你的理由．（3在（）的條件下，設(shè)，塊三角板重疊的部分面積為，求于的數(shù)關(guān)系式．A

AE

AP

D)

E

D(O)PBQC

BM

Q

D()CB(Q

C

EF

F

P

F圖

圖

圖3四、與相似有關(guān)的動點(diǎn)問題【例1】如，中

3，，P從出，沿方以2/的度移動，5點(diǎn)Q從出CA向也以1s的度移動Q分從C出發(fā)過少時間CPQ與CBA相？ABC12.2.2相似三角形的性質(zhì)及判定（）

講義·學(xué)生版Page14of16

【鞏固如，在矩形中ABBC，點(diǎn)沿AB邊點(diǎn)A開向點(diǎn)以

秒的速度移動，點(diǎn)沿DA邊1/秒速度從點(diǎn)D開始移動，如果同時出發(fā)，用（）表示移動的時間(0≤t≤6)．⑴當(dāng)為何值時，QAP為腰直角角