1992年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷(理科)

1234﹣2﹣，，2，，﹣，﹣1234﹣2﹣，，2，，﹣，﹣，﹣22，，，﹣2b一、選擇題〔共小題，每題分，總分值54〕1分〕A．

的值是〔〕B1

D2分〕如果函數(shù)y=sin〔〕〔ωx〕的最小正周期是4，那么常數(shù)為〔〕AB2C．D．3分〕極坐標方程分別是ρ=cosθ和ρ=sinθ的兩個圓的圓心距是〔〕AB．CD．4分〕方程的一個解是〔〕A10°BD70°5分〕已知軸截面是正方形的圓柱的高與球的直徑相等，則圓柱的全面積與球的外表積的比是〔〕A：B5：4C：D：6分〕圖中曲線是冪函數(shù)y=xn

在第一象限的圖象．已知n取2四個值，則相應于曲線、c、、的n次為〔〕A．B．C．D．2

﹣2

﹣7分〕假設2＜＜，則〔〕A＜a＜b1B0＜b＜＜＞b＞1

D＞＞8分〕直線

〔t為參數(shù)〕的傾斜角是〔〕

2y+1=0[arcsina，+arcsina12121111A20°2y+1=0[arcsina，+arcsina121211119分〕在四棱錐的四個側(cè)面中，直角三角形最多可有〔〕A個B2個D個10分〕圓心在拋物線y2

，且與x軸和該拋物線的準線都相切的一個圓的方程是〔〕A

2

﹣x﹣B

2

+xC

2

﹣x﹣D

2

﹣x﹣﹣=0=011分〕在〔x

2

+3x+2

的展開式中x系數(shù)為〔〕AB240D80012分〕假設＜＜，在[0，π上滿足sinx≥a的x的范圍是〔〕A[0arcsina，πarcsinaCπ﹣，D．π]13〕已知直l和l的夾角平分線為y=x，如l的方程是，那么直l的方程為〔〕AB﹣by+c=0Cbx+ay﹣c=0D﹣14分〕在棱長為的正方體ABCD﹣BCD中，M和N分別AB和BB的中點，那么直線AM與CN成角的余弦值是〔〕A．

B．

C．

D．15分〕已知復數(shù)z的模為2，則﹣i|的大值為〔〕AB2C．D16分〕函數(shù)y=

的反函數(shù)〔〕A奇函數(shù)，它B偶函數(shù)，它在〔，+∞〕上是減函數(shù)在〔0，∞〕上是減函數(shù)C奇函數(shù)，它D偶函數(shù)，它在〔0，+〕上是增函數(shù)在〔0，∞〕上是增函數(shù)17分〕如果函數(shù)fx〕=x

對任意實數(shù)t都有f〔〕=f2t么〔〕A〔〕〔1〔1〕〔〔2〔〔〕＜〔〕

12n1311nn3121312120＜f4〕＜f4〕＜f〔1〕＜f〔1〕12n1311nn312131212018分〕長方體的全面積11，十二條棱長度之和，則這個長方體的一條對角線長〕A．B．CD二、填空題〔共5題，每題3分，總分值15分〕19分〕方程

的解是

_________

．20分〕sin15°sin75°值是

_________

．21分〕設含10個元素的集合的全部子集數(shù)為S，其中個元素組成的子集數(shù)為T，則的值為

_________

．22分〕焦點為F〔﹣，0和〔6，0心率為的雙曲線的方程是_________．23分?東城區(qū)模擬已知等差數(shù)列{}公差d≠0a成等比數(shù)列的值是．_________三、解答題〔共5題，總分值分〕24分〕已知，解方程z﹣3i．25分〕已知，〔α﹣〕=

，sin〔α+〕=

．求sin2α的值．26分〕已知：兩條異面直、b所成的角為，它們的公垂線段AA的長度為d．在直、b上分別取點E、，設AE=m，．求證：EF=

．27分〕設等差數(shù)列{}前n項和為S．已知，＞，S＜．〔1〕求公差的取值范圍．〔2〕指出S，，…，中哪一個值最大，并說明理由．28分〕已知橢圓〔a＞b＞0A、B橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點x，明．

1992全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷〔理科〕參考答案與試題解析一、選擇題〔共小題，每題分，總分值54〕1分〕A．考點：分析：解答：點評：

的值是〔〕B1對數(shù)的運算性質(zhì)．根據(jù)，從而得到答案．解：．故選A．此題考查對數(shù)的運算性質(zhì)．

D2分〕如果函數(shù)y=sin〔〕〔ωx〕的最小正周期是4，那么常數(shù)為〔〕AB2C．D．考點：

二倍角的正弦．分析：

逆用二倍角正弦公式，得到y(tǒng)=Asin〔ωx+φ〕+b形式，再利用正弦周期公式和周期是求出解答：

的值解：∵y=sin〔ωx〕〔ωx〕sin〔ωx∴T=2π÷2ω=4∴ω=，故選D點評：

二倍角公式是高考中?？嫉降闹R點，特別是余弦角的二倍角公式，對它們正用、逆用、變形用都要熟悉，此題還考的周期的公式求法，記住公式，是解題的關鍵，注意的正負，要加絕對值．3分〕極坐標方程分別是ρ=cosθ和ρ=sinθ的兩個圓的圓心距是〔〕AB．CD．考點：專題：

簡單曲線的極坐標方程．計算題．分析：

先利用直角坐標與極坐標間的關系用ρcosθ=xy=x2坐標方程為ρ=cosθ和ρ=sinθ化成直角坐標方程，最后利用直角坐標方程的形式，結(jié)合兩點間的距離公式求解即得．解答：

解：由ρ=cosθ，化為直角坐標方程為x

2

+y2

﹣其圓心是A〔，

1234由ρ=sinθ，化為直角坐標方程為1234

2

﹣，其圓心是B〔0，由兩點間的距離公式，得AB=故選D．

，點評：

本小題主要考查圓的極坐標方程與直角坐標方程的互化及利用圓的幾何性質(zhì)計算圓心距等基本方法，我們要給予重視．4分〕方程的一個解是〔〕A10°BD70°考點：

兩角和與差的正弦函數(shù)．分析：

把原式移項整理逆用兩角和的正弦公式解一個正弦值為零的三角函數(shù)方程對應的解寫出解答：

所有的解，選擇一個合適的，因為是選擇題，也可以代入選項驗證．解：∵﹣cos4xsin5x，∴∴sin〔4x+5x〕=0∴sin9x=0，∴9x=kπ，k，∴故選B點評：

抓住公式的結(jié)構(gòu)特征利于在解題時觀察分析題設和結(jié)論等三角函數(shù)式中所具有的相似性的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到相應的公式而找到解題的切入點對公式的逆用公式變形式也要熟悉．5分〕已知軸截面是正方形的圓柱的高與球的直徑相等，則圓柱的全面積與球的外表積的比是〔〕A：B5：4C：D：考點：專題：分析：

旋轉(zhuǎn)體〔圓柱、圓錐、圓臺計算題．設圓柱的底面半徑，求出圓柱的全面積以及球的外表積，即可推出結(jié)果．解答：

解：設圓柱的底面半徑為r，則圓柱的全面積是：2πr2

+2rπ×2r=62球的全面積是：4故選D．

，所以圓柱的全面積與球的外表積的比：：點評：

此題考查旋轉(zhuǎn)體的外表積，是基礎題．6分〕圖中曲線是冪函數(shù)y=xn在第一象限的圖象．已知n2，四個值，則相應于曲線c、c、、的n次為〔〕

﹣2﹣，，2，，﹣，﹣，﹣22，﹣2﹣，，2，，﹣，﹣，﹣22，，，﹣21234bbb222考點：專題：

﹣2冪函數(shù)的圖像．閱讀型．

﹣分析：

由題中條件：n取，四個值”，依據(jù)冪函數(shù)y=xn

的性質(zhì)，在第一象限內(nèi)的圖象特征可得．解答：

解：根據(jù)冪函數(shù)y=xn的性質(zhì)，在第一象限內(nèi)的圖象，越大，遞增速度越快，故曲線c的﹣2，曲線的n=

，c的n=，曲線c的，故依次填﹣2，﹣，，2．故選A．點評：

冪函數(shù)是重要的基本初等函數(shù)模型之一學習冪函數(shù)重點是掌握冪函數(shù)的圖形特征即圖象語言，熟記冪函數(shù)的圖象、性質(zhì)，把握冪函數(shù)的關鍵點1〕和利用直y=x來刻畫其它冪函數(shù)在第一象限的凸向．7分〕假設2＜＜，則〔〕A＜a＜b1B0＜b＜＜＞b＞1D＞a＞1考點：專題：分析：解答：

對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應用．計算題．利用對數(shù)的換底公式，將題中條件：“l(fā)og＜log2＜0，轉(zhuǎn)化成同底數(shù)對數(shù)進行比較即可．解：∵＜log2＜0，由對數(shù)換底公式得：∴∴0＞loga∴根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)得：∴0＜b＜＜．故選B點評：

此題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)對數(shù)函數(shù)是許多知識的交匯點是歷年高考的必考內(nèi)容在高考中主要考查：定義域、值域、圖象、對數(shù)方程、對數(shù)不等式、對數(shù)函數(shù)的主要性質(zhì)〔單調(diào)性等〕及這些知識的綜合運用．8分〕直線A20°

B

〔t為參數(shù)〕的傾斜角是〔〕C45°D135°考點：專題：分析：

直線的參數(shù)方程．計算題．已知直線

〔t為參數(shù)再將直線先化為一般方程坐標然后再計算直線l傾斜角．

2y+1=0解答：2y+1=0解：∵直線〔t為參數(shù)〕∴x﹣，﹣，∴x+y﹣∴直線傾斜角是135°，故選D．點評：

此題考查參數(shù)方程與普通方程的區(qū)別和聯(lián)系兩者要會互相轉(zhuǎn)化根據(jù)實際情況選擇不同的方程進行求解，這也是每年高考必考的熱點問題．9分〕在四棱錐的四個側(cè)面中，直角三角形最多可有〔〕A個B2個D個考點：專題：分析：解答：

棱錐的結(jié)構(gòu)特征．作圖題．借助長方體的一個頂點畫出圖形，不難解答此題．解：如圖底面是矩形，一條側(cè)棱垂直底面，那么它的四個側(cè)面都是直角三角形．故選D．點評：

此題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查空間想象能力，要求學生心中有圖，是基礎題．10分〕圓心在拋物線y2

，且與x軸和該拋物線的準線都相切的一個圓的方程是〔〕A

2

﹣x﹣B

2

+xC

2

﹣x﹣D

2

﹣x﹣﹣=0=0考點：

圓的一般方程．分析：

所求圓圓心在拋物線y2=2x上x軸和該拋物線的準線都相切難由拋物線的定義知道，圓心、半徑可得結(jié)果．解答：

解：圓心在拋物線y2

上，且x軸和該拋物線的準線都相切的一個圓的方程，以及拋物線點評：

的定義可知，所求圓的圓心的橫坐標，即圓心〔，徑是1，所以排除A、B、．故選D．此題考查圓的方程，拋物線的定義，考查數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，是中檔題．11分〕在〔x

2

+3x+2

的展開式中x系數(shù)為〔〕AB240D800考點：

二項式定理的應用．

[arcsina，+arcsina121212121[arcsina，+arcsina121212121221111

計算題．分析：

利用分步乘法原理展開式中的項是由個多項式各出一個乘起來的積展開式中x的系數(shù)是5多項式僅一個多項式出3x，其它4都出2成．解答：

解+3x+2展開式的含x項是由5個多項在按多項式乘法展開時僅一個多項式出3x，其它4都出2∴展開式中x的系數(shù)C故選項為B

15

?3?24

點評：

此題考查二項式定理的推導依據(jù)：分步乘法計數(shù)原理，也是求展開式有關問題的方法．12分〕假設＜＜，在[0，π上滿足sinx≥a的x的范圍是〔〕A[0arcsina，πarcsinaCπ﹣，D．π]考點：分析：解答：

正弦函數(shù)的圖象；反三角函數(shù)的運用．在同一坐標系中畫出、，根據(jù)sinx≥a即可得到答案．解：由題可知，如圖示，當sinx≥a時，arcsina≤xπ﹣故選B點評：

此題主要考查三角函數(shù)的圖象問題．三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是高考熱點問題，要給予重視．13〕已知直l和l的夾角平分線為y=x，如l的方程是，那么直l的方程為〔〕AB﹣by+c=0Cbx+ay﹣c=0D﹣考點：專題：分析：解答：

與直線關于點、直線對稱的直線方程．計算題．因為由題意知，直線l和l關于直線y=x對稱，故把l的方程中的x和y交換位置即得直線l的方程．解：因為夾角平分線為y=x，所以直線l和l關于直線y=x對稱，故l的方程為bx+ay+c=0．故選A．點評：

此題考查求對稱直線的方程的方法兩直線關于直線y=x對稱時其中一個方程中的x和y交換位置，即得另一條直線的方程．14分〕在棱長為的正方體ABCD﹣BCD中，M和N分別AB和BB的中點，那么直線AM與CN成角的余弦值是〔〕

111111A．111111

B．

C．

D．考點：專題：

異面直線及其所成的角．計算題．分析：

先通過平移將兩條異面直線平移到同一個起點得到的銳角或直角就是異面直線所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．解答：

解：如圖，將AM平移到BE，平移到B，則∠EBF為直線AM與所成角設邊長為2，則BE=B，EF=，∴∠EB，故選D．點評：

此題主要考查了異面直線及其所成的角，以及余弦定理的應用，屬于基礎題．15分〕已知復數(shù)z的模為2，則﹣i|的大值為〔〕AB2C．D考點：分析：解答：點評：

復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．根據(jù)復數(shù)的幾何意義，知對應的軌跡是圓心在原點半徑為2的圓，﹣i|表示的是圓上一點到點〔0，1〕的距離，其最大值為圓上點〔，﹣〕到點〔0，1〕的距離．解：∵，則復數(shù)z應的軌跡是以圓心在原點，半徑為2圓，而z﹣表示的是圓上一點到點〔，〕的距離，∴其最大值為圓上點〔0，﹣2〕到點〔0，1〕的距離，最大的距離為3．故選D．此題考查了復數(shù)及復數(shù)模的幾何意義，數(shù)形結(jié)合可簡化解答．16分〕函數(shù)y=

的反函數(shù)〔〕A奇函數(shù)，它B偶函數(shù)，它在〔，+∞〕上是減函數(shù)在〔0，∞〕上是減函數(shù)C奇函數(shù)，它D偶函數(shù)，它在〔0，+〕上是增函數(shù)在〔0，∞〕上是增函數(shù)考點：專題：

反函數(shù)；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)奇偶性的判斷．計算題；綜合題．分析：

先求函數(shù)的反函數(shù)，注意函數(shù)的定義域，然后判定反函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，即可得到選項．解答：

解：設x=t〔＞

則﹣，t2﹣，解方程得t=y+

負跟已舍去，x=y+

，對換X，Y同取對數(shù)得函數(shù)

的反函數(shù)：點評：

〔x〕由于〔﹣x〕==﹣g〔以它是奇函數(shù)，并且它在〔0，∞〕上是增函數(shù)．故選C．此題考查反函數(shù)的求法，函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性的判定，是基礎題．17分〕如果函數(shù)fx〕=x

對任意實數(shù)t都有f〔〕=f2t么〔〕A〔〕〔1〔1〕〔〔2〔〔〕＜〔〕＜f4〕＜f4〕＜f〔1〕＜f〔1〕考點：專題：分析：解答：

二次函數(shù)的圖象；二次函數(shù)的性質(zhì)．壓軸題；數(shù)形結(jié)合．先從條件“對任意實數(shù)t有f〔〕=f〔﹣〕”得到對稱軸，然后結(jié)合圖象判定函數(shù)值的大小關系即可．解：∵對任意實數(shù)都有f〔2+t〕〔﹣t〕∴fx〕的對稱軸，而fx〕是開口向上的二次函數(shù)故可畫圖觀察可得f2〕＜f1〕＜f〔4故選A．點評：

此題考查了二次函數(shù)的圖象通過圖象比較函數(shù)值的大小數(shù)形結(jié)合有助于我們的解題形象直觀．18分〕長方體的全面積11，十二條棱長度之和，則這個長方體的一條對角線長〕A．B．CD考點：專題：分析：

棱柱的結(jié)構(gòu)特征．計算題；壓軸題．設出長方體的長、寬、高，表示出長方體的全面積為11，十二條棱長度之和為24，然后整理

解答：

可得對角線的長度．解：設長方體的長、寬、高分別為，，c，由題意可知，4〔〕=24…①，2ab+2bc+2ac=11②，由①的平方減去②可得2

2

+c2

，點評：

這個長方體的一條對角線長為：5，故選C．此題考查長方體的有關知識，是基礎題．二、填空題〔共5題，每題3分，總分值15分〕19分〕方程

的解是

x=﹣1

．考點：分析：解答：

有理數(shù)指數(shù)冪的化簡求值．將方程兩邊乘以x，令t=3，然后移項、合并同類項，從而解出x．解：∵，∴1+3=3

x點評：

令t=3x，則1+=3+3t解得t=，∴x=﹣1，故答案為：x=﹣1．此題考查有理數(shù)指數(shù)冪的化簡，利用換元法求解方程的根，是一道不錯的題．20分〕sin15°sin75°值是

．考點：專題：分析：解答：

兩角和與差的正弦函數(shù)；兩角和與差的余弦函數(shù)．計算題．注意角之間的關系，先將原式化成sin15°cos15°，再反用二倍角求解即得．解：∵=sin15°cos15°．∴的值．故填：．點評：

此題主要考查三角函數(shù)中二倍角公式求三角函數(shù)的值通常借助于三角恒等變換有時須逆向使用二倍角公式．

1212n13139121分〕設含10個元素的集合的全部子集數(shù)為S，其中個元素組成的子集數(shù)為T，則的值1212n131391為

．考點：專題：

子集與真子集．計算題；壓軸題．分析：

先根據(jù)子集的定義求集合的子集及其個數(shù)子集即是指屬于集合的部分或所有元素組成的集解答：

合，包括空集．解：∵含有10元素的集合的全部子集數(shù)為10，又∵其中由3元素組成的子集數(shù)為∴則的值為．

10

3

．故填：．點評：

此題考查集合的子集個數(shù)問題，對于集合M的子集問題一般來說假設M有n元素，則集合M的子集共有個．22分〕焦點為F〔﹣，0和〔6，0心率為的雙曲線的方程是．考點：專題：分析：解答：

雙曲線的標準方程；雙曲線的簡單性質(zhì)．計算題；壓軸題．先由已知條件求出，，c的值，然后根據(jù)函數(shù)的平移求出雙曲線的方程．解：∵雙曲線的焦點為F〔﹣2，0〕和F〔6，0心率為2，∴2c=6〔﹣2〕=8，，

，

2

=16﹣4=12，∴雙曲線的方程是

．故答案為：

．點評：

此題考查雙曲線方程的求法，解題時要注意函數(shù)的平移變換，合理地選取公式．23分?東城區(qū)模擬已知等差數(shù)列{}公差d≠0a成等比數(shù)列的值是．考點：專題：分析：

等差數(shù)列的性質(zhì)．壓軸題．由a，，a成等比數(shù)列求得a與的關系，再代入

即可．

13911111139111112

解：∵a，，a成等比數(shù)列，∴〔a+2d〕2=a?〔a+8d∴a=d，∴故答案是：

．

，點評：

此題主要考查等差數(shù)列的通項公式及等比數(shù)列的性質(zhì)．三、解答題〔共5題，總分值分〕24分〕已知∈C，解方程﹣3i．考點：專題：分析：解答：

復數(shù)代數(shù)形式的混合運算．計算題．設出復數(shù)z將和它的共軛復數(shù)代入復數(shù)方程，利用復數(shù)相等，求出復數(shù)z可．解：設〔xyR將z=x+yi代入原方程，得〔xyi〕﹣3ix﹣〕整理得x

2

﹣3y﹣點評：

根據(jù)復數(shù)相等的定義，得由①得x=﹣1．將x=﹣1代入②式解得y=0，．∴z﹣1，=﹣1+3i．本小題考查復數(shù)相等的條件及解方程的知識，考查計算能力，是基礎題．25分〕已知

，〔α﹣〕=

，sin〔α+〕=

．求sin2α的值．考點：專題：分析：解答：

兩角和與差的余弦函數(shù)；兩角和與差的正弦函數(shù)；二倍角的正弦．計算題．此題主要知識是角的變換，要求的角α變化為〔α+〕〔α﹣用兩個角的范圍，得到要用的角的范圍，用兩角和的正弦公式，代入數(shù)據(jù)，得到結(jié)果．解：由題設知α﹣β為第一象限的角，∴sin〔α﹣〕=由題設知α+β為第三象限的角，∴〔α+β〕=∴sin2α=sin[〔﹣β〕+〔〕]，=sinα﹣〕〔α+β〕〔α﹣〕α+β〕．

．

，點評：

本小題主要考查三角函數(shù)和角公式等基礎知識及運算能力．已知一個角的某一個三角函數(shù)值，便可運用基本關系式求出其它三角函數(shù)值．角的變換是解題的關鍵．

11111111nn31213121212133121311226分〕已知：兩條異面直、b所成的角為，它們的公垂線段AA的長度為d．在直11111111nn312131212121331213112上分別取點E、，設AE=m，．求證：EF=

．考點：專題：分析：解答：

空間中直線與平面之間的位置關系；平面與平面垂直的判定．證明題．由題意作輔助面作出兩條異面直線所成的角再由垂直關系通過作輔助線把在直角三角形中求解．解：設經(jīng)過ba平的平面為α，經(jīng)過和AA的平面為β，α∩，則∥．因而b，所成的角等于，且AA⊥c．∵AA⊥b∴AA⊥α．根據(jù)兩個平面垂直的判定定理，⊥α．在平面β內(nèi)作EG⊥c，垂足為，則EG=AA．根據(jù)兩個平面垂直的性質(zhì)定理，⊥α．連接，則EG⊥．在RtEFG中，EF2=EG+FG．∵AG=m，∴在AFG中，F(xiàn)G22﹣2mncosθ．∵EG

=d2

，∴EF

=d2

+m2

2

﹣2mncosθ．如果點F〔或E〕在點A〔或A〕的另一側(cè)，則EF=d+m+n2+2mncos．因此，

．點評：

此題利用條件作出輔助面和輔助線結(jié)合線面面面垂直的定理在直角三角形中求公垂線的長；考查空間圖形的線面關系，空間想象能力和邏輯思維能力．27分〕設等差數(shù)列{}前n項和為S．已知，＞，S＜．〔1〕求公差的取值范圍．〔2〕指出S，，…，中哪一個值最大，并說明理由．考點：專題：

等差數(shù)列的前n項和；數(shù)列的函數(shù)特性．計算題；壓軸題．分析：〔1由＞，S＜0利用等差數(shù)列的前n和的公式化簡分別得到①和②，然后利用等差數(shù)列的通項公式化簡a得