曹鐵嶺 有界磁場(chǎng)

例1．在真空中寬ｄ的區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ｂ，質(zhì)量為ｍ，電量為e，速率為ｖ的電子從邊界ＣＤ外側(cè)垂直射入磁場(chǎng)，入射方向與ＣＤ夾角θ，為了使電子能從磁場(chǎng)的另一側(cè)邊界ＥＦ射出，ｖ應(yīng)滿(mǎn)足的條件是：Ａ.v＞eBd/m（1+sinθ）Ｂ.v＞eBd/m（1+cosθ）Ｃ.v＞eBd/msinθＤ.v＜eBd/mcosθCEFDBO．θB思考：求電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間是多長(zhǎng)？例2在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心、半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi),存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),如圖所示.一個(gè)不計(jì)重力的帶電粒子從磁場(chǎng)邊界與x軸的交 點(diǎn)A處以速度v沿-x方向射入磁場(chǎng),它恰好從磁場(chǎng)邊界與y 軸的交點(diǎn)C處沿+y方向飛出.（1）請(qǐng)判斷該粒子帶何種電荷,并求出其比荷（2）若磁場(chǎng)的方向和所在空間范圍不變,而磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小變?yōu)锽′,該粒子仍從A處以相同的速度射入磁場(chǎng),但飛出磁場(chǎng)時(shí)的速度方向相對(duì)于入射方向改變了60°角,求磁感應(yīng)強(qiáng)度B′多大？此次粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)所用時(shí)間t是多少？解析（1）由粒子的運(yùn)行軌跡,利用左手定則可知,該粒子帶負(fù)電荷.粒子由A點(diǎn)射入,由C點(diǎn)飛出,其速度方向改變了90°,則粒子軌跡半徑R=r

又qvB=則粒子的比荷（2）粒子從D點(diǎn)飛出磁場(chǎng)速度方向改變了60°角,故AD弧所對(duì)圓心角為60°,如右圖所示.粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R′=rcot30°=r又R′=所以B′=B粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)行時(shí)間t=1：如圖:所示，ABC為與勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直的邊長(zhǎng)為a的等邊三角形，磁場(chǎng)垂直于紙面向外，比荷為e/m的電子以速度v0從A點(diǎn)沿AB方向射入，欲使電子能經(jīng)過(guò)BC邊，則磁感應(yīng)強(qiáng)度B的取值應(yīng)為多少？o4：如圖，圓形區(qū)域內(nèi)有一垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，P為磁場(chǎng)邊界上的一點(diǎn)。有無(wú)數(shù)帶有同樣電荷、具有同樣質(zhì)量的粒子在紙面內(nèi)沿各個(gè)方向以同樣的速率通過(guò)P點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)。這些粒子射出邊界的位置均處于邊界的某一段弧上，這段圓弧的弧長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的1/3。將磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小從原來(lái)的B1變?yōu)锽2，結(jié)果相應(yīng)的弧長(zhǎng)變?yōu)樵瓉?lái)的一半，則B2/B1等于多少？PP35.如圖所示，一足夠長(zhǎng)的矩形區(qū)域abcd內(nèi)充滿(mǎn)方向垂直紙面向里的、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在ad邊中點(diǎn)O方向垂直磁場(chǎng)射入一速度方向跟ad邊夾角θ=300、大小為v0的帶電粒子，已知粒子質(zhì)量為m、電量為q，ab邊足夠長(zhǎng)，ad邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，粒子的重力不計(jì)。求：⑴.粒子能從ab邊上射出磁場(chǎng)的v0大小范圍。⑵.如果帶電粒子不受上述v0大小范圍的限制，求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間。V0OabcdV0Oabcdθ300600V0Oabcdθ300600●●結(jié)論1：對(duì)準(zhǔn)圓心射入,必定沿著圓心射出帶電粒子在圓形磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的四個(gè)結(jié)論結(jié)論3：運(yùn)動(dòng)半徑相同(v相同)時(shí)，弧長(zhǎng)越長(zhǎng)對(duì)應(yīng)時(shí)間越長(zhǎng)。結(jié)論2：對(duì)準(zhǔn)圓心射入，速度越大，偏轉(zhuǎn)角和圓心角都越小，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越短。結(jié)論4：磁場(chǎng)圓的半徑與軌跡圓的半徑相同時(shí),

“磁會(huì)聚”與“磁擴(kuò)散”結(jié)論1：對(duì)準(zhǔn)圓心射入,必定沿著圓心射出例1：在圓形區(qū)域的勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，一群速率不同的質(zhì)子自A點(diǎn)沿半徑方向射入磁場(chǎng)區(qū)域，如圖所示，已知該質(zhì)子束中在磁場(chǎng)中發(fā)生偏轉(zhuǎn)的最大角度為1060，圓形磁場(chǎng)的區(qū)域的半徑為R，質(zhì)子的質(zhì)量為m，電量為e，不計(jì)重力，則該質(zhì)子束的速率范圍是多大？O1O2O3O4變2．在圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．從磁場(chǎng)邊緣A點(diǎn)沿半徑方向射人一束速率不同的質(zhì)子，對(duì)這些質(zhì)子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況的分析中，正確的是：

A.運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)的，在磁場(chǎng)中通過(guò)的距離越長(zhǎng)B.運(yùn)動(dòng)時(shí)間越短的，其速率越大C.磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)角越小的，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越短D.所有質(zhì)子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間都相等B?ABC結(jié)論2：對(duì)準(zhǔn)圓心射入，速度越大，偏轉(zhuǎn)角和圓心角都越小，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越短。例3在真空中，半徑r＝3×10－2m的圓形區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向如圖2所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝0.2T，一個(gè)帶正電的粒子以初速度v0＝1×106m/s從磁場(chǎng)邊界上直徑ab的一端a射入磁場(chǎng)，已知該粒子的比荷q/m＝1×108C/kg，不計(jì)粒子重力．(1)求粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑；(2)若要使粒子飛離磁場(chǎng)時(shí)有最大偏轉(zhuǎn)角，求入射時(shí)v0與ab的夾角θ及粒子的最大偏轉(zhuǎn)角．(1)R＝5×10－2m.(2)37o74o題型二、偏離圓心射入結(jié)論3：運(yùn)動(dòng)速度v相同,方向不同，弧長(zhǎng)（弦長(zhǎng)）越長(zhǎng)，對(duì)應(yīng)時(shí)間越長(zhǎng)。(直徑對(duì)應(yīng)的弧最長(zhǎng))變3：在直角坐標(biāo)系xOy中，有一半徑為R的圓形磁場(chǎng)區(qū)域，磁感強(qiáng)度為B，磁場(chǎng)方向垂直xOy平面指向紙內(nèi)，該區(qū)域的圓心坐標(biāo)為（R，0）。如圖所示，有一個(gè)質(zhì)量為m、帶電量為－q的離子，由靜止經(jīng)勻強(qiáng)電場(chǎng)加速后從點(diǎn)（0，R/2）沿x軸正方向射入磁場(chǎng)，離子從射入到射出磁場(chǎng)通過(guò)了該磁場(chǎng)的最大距離，不計(jì)重力影響。求：⑴.離子在磁場(chǎng)區(qū)域經(jīng)歷的時(shí)間。⑵.加速電場(chǎng)的加速電壓。OR/2RBxy·??O2O1rr600結(jié)論1：對(duì)準(zhǔn)圓心射入,必定沿著圓心射出帶電粒子在圓形磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的四個(gè)結(jié)論結(jié)論3：運(yùn)動(dòng)半徑相同(v相同)時(shí)，弧長(zhǎng)越長(zhǎng)對(duì)應(yīng)時(shí)間越長(zhǎng)。結(jié)論2：對(duì)準(zhǔn)圓心射入，速度越大，偏轉(zhuǎn)角和圓心角都越小，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越短。結(jié)論4：磁場(chǎng)圓的半徑與軌跡圓的半徑相同時(shí),

“磁會(huì)聚”與“磁擴(kuò)散”磁聚焦概括：平行會(huì)聚于一點(diǎn)一點(diǎn)發(fā)散成平行RRrr區(qū)域半徑R與運(yùn)動(dòng)半徑r相等遷移與逆向、對(duì)稱(chēng)的物理思想！1.在平面內(nèi)有許多電子（質(zhì)量為m、電量為e），從坐標(biāo)O不斷以相同速率v沿不同方向射入第一象限，現(xiàn)加一個(gè)垂直于平面向內(nèi)、磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，要求這些電子穿過(guò)磁場(chǎng)后都能平行于x軸向正方向運(yùn)動(dòng)，求該條件勻強(qiáng)磁場(chǎng)的最小面積。xyOv0O1O2O3O4O5On所有電子的軌跡圓半徑相等，且均過(guò)O點(diǎn)。這些軌跡圓的圓心都在以O(shè)為圓心，半徑為r的且位于第Ⅳ象限的四分之一圓周上，如圖所示。

電子由O點(diǎn)射入第Ⅰ象限做勻速圓周運(yùn)動(dòng)解1:xyOv0O1O2O3O4O5On即所有出射點(diǎn)均在以坐標(biāo)(0，r)為圓心的圓弧abO上，顯然，磁場(chǎng)分布的最小面積應(yīng)是實(shí)線1和圓弧abO所圍的面積，由幾何關(guān)系得由圖可知，a、b、c、d等點(diǎn)就是各電子離開(kāi)磁場(chǎng)的出射點(diǎn)，均應(yīng)滿(mǎn)足方程x2+(r－y)2=r2。解2:設(shè)P(x，y)為磁場(chǎng)下邊界上的一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的電子初速度與x軸夾角為，則由圖可知：x=rsin，y=r－rcos，得:x2+(y－r)2=r2。所以磁場(chǎng)區(qū)域的下邊界也是半徑為r，圓心為(0，r)的圓弧應(yīng)是磁場(chǎng)區(qū)域的下邊界。磁場(chǎng)上邊界如圖線1所示。xyOv01θP(x,y)Orr兩邊界之間圖形的面積即為所求。圖中的陰影區(qū)域面積，即為磁場(chǎng)區(qū)域面積：2．如右圖所示，紙面內(nèi)有寬為L(zhǎng)水平向右飛行的帶電粒子流，粒子質(zhì)量為m，電荷量為－q，速率為v0，不考慮粒子的重力及相互間的作用，要使粒子都匯聚到一點(diǎn)，可以在粒子流的右側(cè)虛線框內(nèi)設(shè)計(jì)一勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，則磁場(chǎng)區(qū)域的形狀及對(duì)應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度可以是(其中，A、C、D選項(xiàng)中曲線均為半徑是L的1/4圓弧，B選項(xiàng)中曲線為半徑是L/2的圓)(

)A例1．如圖,在一水平放置的平板MN上方有勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B,磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里,許多質(zhì)量為m,帶電量為+q的粒子,以相同的速率v沿位于紙面內(nèi)的各個(gè)方向,由小孔O射入磁場(chǎng)區(qū)域,不計(jì)重力,不計(jì)粒子間的相互影響.下列圖中陰影部分表示帶電粒子可能經(jīng)過(guò)的區(qū)域,其中R=mv/qB.哪個(gè)圖是正確的?

MNBO2RR2RMNO2RR2RMNO2R2R2RMNOR2R2RMNOD.A.B.C.二．帶電粒子在單直線邊界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)解：帶電量為+q的粒子,以相同的速率v沿位于紙面內(nèi)的各個(gè)方向,由小孔O射入磁場(chǎng)區(qū)域,由R=mv/qB,各個(gè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑均相同,在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡圓圓心是在以O(shè)為圓心、以R=mv/qB為半徑的1/2圓弧上,如圖虛線示:各粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖實(shí)線示:帶電粒子可能經(jīng)過(guò)的區(qū)域陰影部分如圖斜線示2RR2RMNO2．如圖，電子源S能在圖示紙面360°范圍內(nèi)發(fā)射速率相同的電子（質(zhì)量為m，電量為e），M、N是足夠大的豎直擋板，與S的水平距離OS＝L，擋板左側(cè)是垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。（1）要使發(fā)射的電子能到達(dá)擋板，

電子速度至少為多大？（2）若S發(fā)射的電子速率為eBL/m

時(shí)，擋板被電子擊中的范圍有多大？MOLN．S3．如圖,真空室內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里,磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B,磁場(chǎng)內(nèi)有一塊平面感光板ab,板面與磁場(chǎng)方向平行,在距ab的距離L處,有一個(gè)點(diǎn)狀的放射源S,它向各個(gè)方向發(fā)射α粒子,α粒子的速度都是v=qBL/m,已知α粒子的比荷為q/m，現(xiàn)只考慮在圖紙平面中運(yùn)動(dòng)的α粒子,求ab上被α粒子打中的區(qū)域的長(zhǎng)度.sabL.sabP1P2NLdDAA'D'v0Sθ帶電粒子在雙直線邊界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)當(dāng)同種粒子的射入速度大小確定而方向不確定時(shí)，所有不同方向射入的粒子的軌跡圓是一樣大的，只是位置繞入射點(diǎn)向粒子運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生了旋轉(zhuǎn)!FHdDAA'D'v0Sθ帶電粒子在雙直線邊界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)FHA．帶電粒子在磁場(chǎng)中飛行的時(shí)間不可能相同B．從M點(diǎn)射入的帶電粒子可能先飛出磁場(chǎng)C．從N點(diǎn)射入的帶電粒子可能先飛出磁場(chǎng)D．從N點(diǎn)射入的帶電粒子可能比M點(diǎn)射入的帶電粒子先飛出磁場(chǎng)

B四、正方形磁場(chǎng)區(qū)域例3可控?zé)岷司圩兎磻?yīng)堆產(chǎn)生能的方式和太陽(yáng)類(lèi)似，因此，它被俗稱(chēng)為“人造太陽(yáng)”．熱核反應(yīng)的發(fā)生，需要幾千萬(wàn)度以上的高溫，然而反應(yīng)中的大量帶電粒子沒(méi)有通常意義上的容器可裝．人類(lèi)正在積極探索各種約束裝置，磁約束托卡馬克裝置就是其中一種．如圖15所示為該裝置的簡(jiǎn)化模型．有一個(gè)圓環(huán)形區(qū)域，區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，已知其截面內(nèi)半徑為R1＝1.0m，磁感應(yīng)強(qiáng)