山西省大同市興樂中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析_第1頁
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山西省大同市興樂中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)的部分圖象如下圖所示.則函數(shù)的解析式為

A.B.C.D.參考答案:D2.如圖,有一直角墻角,兩邊的長度足夠長,在P處有一棵樹與兩墻的距離分別是am(0<a<12)、4m,不考慮樹的粗細(xì).現(xiàn)在想用16m長的籬笆,借助墻角圍成一個矩形的花圃ABCD.設(shè)此矩形花圃的最大面積為S,若將這棵樹圍在花圃內(nèi),則函數(shù)S=f(a)(單位m2)的圖象大致是(

)A. B. C. D.參考答案:C【考點】函數(shù)的圖象與圖象變化.【專題】壓軸題;分類討論.【分析】為求矩形ABCD面積的最大值S,可先將其面積表達出來,又要注意P點在長方形ABCD內(nèi),所以要注意分析自變量的取值范圍,并以自變量的限制條件為分類標(biāo)準(zhǔn)進行分類討論.【解答】解:設(shè)AD長為x,則CD長為16﹣x又因為要將P點圍在矩形ABCD內(nèi),∴a≤x≤12則矩形ABCD的面積為x(16﹣x),當(dāng)0<a≤8時,當(dāng)且僅當(dāng)x=8時,S=64當(dāng)8<a<12時,S=a(16﹣a)S=分段畫出函數(shù)圖形可得其形狀與C接近故選C.【點評】解決本題的關(guān)鍵是將S的表達式求出來,結(jié)合自變量的取值范圍,分類討論后求出S的解析式.3.(2009山東卷理)某工廠對一批產(chǎn)品進行了抽樣檢測.右圖是根據(jù)抽樣檢測后的產(chǎn)品凈重(單位:克)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖,其中產(chǎn)品凈重的范圍是[96,106],樣本數(shù)據(jù)分組為[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106],已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個數(shù)是36,則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)是(

).A.90

B.75

C.

60

D.45參考答案:A解析:產(chǎn)品凈重小于100克的概率為(0.050+0.100)×2=0.300,已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個數(shù)是36,設(shè)樣本容量為,則,所以,凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的概率為(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,所以樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)是120×0.75=90.故選A.4.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,若a12+a102≤25恒成立,則a1+3a7的取值范圍為()A.[﹣5,5] B.[﹣5,5] C.[﹣10,10] D.[﹣10,10]參考答案:D【考點】8F:等差數(shù)列的性質(zhì).【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)令a1=5cosθ,a10=5sinθ(0<θ<),則d=(sinθ﹣cosθ),問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)在定區(qū)間上求最值問題解決即可.【解答】解:由題意得,令a1=5cosθ,a10=5sinθ(0<θ<),則d=(sinθ﹣cosθ),∴a1+3a7=10(sinθ+cosθ)=10sin(θ+),∴a1+3a7的取值范圍為[﹣10,10],故選:D.【點評】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì),借助三角函數(shù),通過等價轉(zhuǎn)化思想達到解決問題的目的,要體會這種換元法的解題思路,屬中檔題.5.已知向量,的夾角為,且,||=2,在△ABC中,,D為BC邊的中點,則=()A.2 B.4 C.6 D.8參考答案:A考點: 向量的模.專題: 計算題.分析: 利用D為BC邊的中點,,再利用向量的模的定義求出向量的模.解答: 解:=,故選A.點評: 本題考查兩個向量的加減法的法則,兩個向量的數(shù)量積的定義,向量的模的定義,求向量的模的方法.6.已知函數(shù)(其中)的圖象如圖所示,則函數(shù)的解析式為A.

B.C.

D.參考答案:C由圖象可知,,,即,所以,所以,,即,所以,即,又,所以,所以,選C.7.設(shè).若當(dāng)時,恒成立,則實數(shù)的取值范圍是

A.

B.

C.

D.參考答案:D8.參考答案:A略9.雙曲線的離心率的值為(

)A.

B.

C.

D.參考答案:C10.若變量x,y滿足|x|﹣ln=0,則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是()A.B.C.D.參考答案:B考點:對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì).專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.分析:由條件可得y=,顯然定義域為R,且過點(0,1),當(dāng)x>0時,y=,是減函數(shù),從而得出結(jié)論.解答:解:若變量x,y滿足|x|﹣ln=0,則得y=,顯然定義域為R,且過點(0,1),故排除C、D.再由當(dāng)x>0時,y=,是減函數(shù),故排除A,故選B.點評:本題主要考查指數(shù)式與對數(shù)式的互化,指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用,以及函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、函數(shù)圖象過定點問題,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)全集設(shè)數(shù)列的各項均為正數(shù),前項和為,對于任意的,成等差數(shù)列,設(shè)數(shù)列的前項和為,且,若對任意的實數(shù)(是自然對數(shù)的底)和任意正整數(shù),總有.則的最小值為

.參考答案:2.根據(jù)題意,對于任意,總有成等差數(shù)列,則對于n∈N*,總有………………①;所以(n≥2)……②1

--②得;因為均為正數(shù),所以(n≥2),所以數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列,又n=1時,,解得,所以。對任意的實數(shù),有0<lnx<1,對于任意正整數(shù)n,總有,所以又對任意的實數(shù)(是自然對數(shù)的底)和任意正整數(shù),總有,所以的最小值為2.12.如圖,在平行四邊形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3,?=2,則?的值是.參考答案:22【考點】向量在幾何中的應(yīng)用;平面向量數(shù)量積的運算.【專題】平面向量及應(yīng)用.【分析】由=3,可得=+,=﹣,進而由AB=8,AD=5,=3,?=2,構(gòu)造方程,進而可得答案.【解答】解:∵=3,∴=+,=﹣,又∵AB=8,AD=5,∴?=(+)?(﹣)=||2﹣?﹣||2=25﹣?﹣12=2,故?=22,故答案為:22.【點評】本題考查的知識點是向量在幾何中的應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運算,其中根據(jù)已知得到=+,=﹣,是解答的關(guān)鍵.13.已知,且,則的最小值為

.參考答案:分析:由題意首先求得a-3b的值,然后結(jié)合均值不等式的結(jié)論整理計算即可求得最終結(jié)果,注意等號成立的條件.詳解:由可知,且:,因為對于任意x,恒成立,結(jié)合均值不等式的結(jié)論可得:.當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立.綜上可得的最小值為.

14.在△ABC中,若b2=ac,∠B=,則∠A=.參考答案:【考點】余弦定理.【分析】根據(jù)余弦定理求解出a,c的關(guān)系,即可判斷角A的大小.【解答】解:由b2=ac,,根據(jù)余弦定理cosB=,可得a2+c2=2ac,即(a﹣c)2=0,∴a=c,由b2=ac,可得a=b=c.△ABC是等邊三角形.∴A=故答案為:.15.設(shè)不等式組

所表示的平面區(qū)域為D.若圓C落在區(qū)域D中,則圓C的半徑r的最大值為________.參考答案:116.已知集合,若則的值是-------------------

。參考答案:-117.若從點O所作的兩條射線OM,ON上分別有點M1,M2與點N1,N2,則三角形面積之比為:.若從點O所作的不在同一個平面內(nèi)的三條射線OP,OQ和OR上分別有點P1,P2與點Q1,Q2和R1,R2,則類似的結(jié)論為: .參考答案:=【考點】歸納推理.【分析】本題考查的知識點是類比推理,在由平面圖形的性質(zhì)向空間物體的性質(zhì)進行類比時,常用的思路有:由平面圖形中點的性質(zhì)類比推理出空間里的線的性質(zhì),由平面圖形中線的性質(zhì)類比推理出空間中面的性質(zhì),由平面圖形中面的性質(zhì)類比推理出空間中體的性質(zhì).由平面中,若從點O所作的兩條射線OM,ON上分別有點M1,M2與點N1,N2,則三角形面積之比為:.(面的性質(zhì))我們可以類比在空間中相似的體的性質(zhì).【解答】解:根據(jù)類比推理的思路:由平面中面的性質(zhì),我們可以類比在空間中相似的體的性質(zhì),由若從點O所作的兩條射線OM,ON上分別有點M1,M2與點N1,N2,則三角形面積之比為:.我們可以推斷:若從點O所作的不在同一個平面內(nèi)的三條射線OP,OQ和OR上分別有點P1,P2與點Q1,Q2和R1,R2則:=故答案為:=三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.斜三棱柱,其中向量,三個向量之間的夾角均為,點M,N分別在上且,=4,如右圖(1)把向量用向量表示出來,并求;(2)把向量用表示;(3)求與所成角的余弦值。參考答案:解:(1),所以,因為,所以(2),

(3),,,COS=即為AM與ON所成的角的余弦值。略19.已知A,B,C,D,E,F(xiàn)是邊長為1的正六邊形的6個頂點,在頂點取自A,B,C,D,E,F(xiàn)的所有三角形中,隨機(等可能)取一個三角形.設(shè)隨機變量X為取出三角形的面積.(Ⅰ)求概率P(X=);(Ⅱ)求數(shù)學(xué)期望E(X).參考答案:考點:離散型隨機變量的期望與方差;離散型隨機變量及其分布列.專題:計算題;概率與統(tǒng)計.分析:(Ⅰ)取出的三角形的面積是的三角形有6種情況,由此可得結(jié)論;(Ⅱ)確定X的取值,求出相應(yīng)的概率,從而可求數(shù)學(xué)期望.解答:解:(Ⅰ)由題意得取出的三角形的面積是的概率P(X=)==.…(7分)(Ⅱ)隨機變量X的分布列為XP所以E(X)=×+×+×=.…(14分)點評:本題主要考查隨機事件的概率和隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等概念,同時考查抽象概括、運算求解能力和應(yīng)用意識.20.(本小題滿分12分)如圖組合體中,三棱柱的側(cè)面是圓柱的軸截面,是圓柱底面圓周上不與、重合一個點.(1)求證:無論點如何運動,平面平面;(2)當(dāng)點是弧的中點時,求四棱錐與圓柱的體積比.參考答案:(I)因為側(cè)面是圓柱的的軸截面,是圓柱底面圓周上不與、重合一個點,所以

…2分又圓柱母線^平面,

ì平面,所以^,又,所以^平面,因為ì平面,所以平面平面;……………6分(II)設(shè)圓柱的底面半徑為,母線長度為,當(dāng)點是弧的中點時,三角形的面積為,三棱柱的體積為,三棱錐的體積為,四棱錐的體積為,………10分圓柱的體積為,

四棱錐與圓柱的體積比為.………12分略21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過點且互相垂直的兩條直線分別與圓O:交于點A,B,與圓M:交于點C,D.(1)若,求CD的長;(2)若CD中點為E,求面積的取值范圍.參考答案:(1);(2).【分析】(1)先由AB的長度求出圓心O到直線AB的距離,列方程求出直線AB的斜率,從而得到直線CD的斜率,寫出直線CD的方程,用垂徑定理求CD得長度;(2)△ABE的面積,先考慮直線AB、CD平行于坐標(biāo)軸的情況,不平行時先由垂徑定理求出AB,再在△PME中用勾股定理求出PE,將面積S表示成直線AB斜率k的函數(shù)式,再求其范圍.【詳解】解:(1)因為AB=,圓O半徑為2所以點O到直線AB的距離為顯然AB、CD都不平行于坐標(biāo)軸可設(shè)AB:,即則點O到直線AB的距離,解得因為AB⊥CD,所以所以CD:,即點M(2,1)到直線CD的距離所以(2)當(dāng)AB⊥x軸,CD∥x軸時,此時AB=4,點E與點M重合,PM=2,所以△ABE的面積S=4當(dāng)AB∥x軸,CD⊥x軸時,顯然不存在,舍當(dāng)AB與CD都不平行于坐標(biāo)軸時由(1)知因為,所以因為點E是CD中點,所以ME⊥CD,所以所以△ABE的面積記,則則綜上所述:【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系,垂徑定理求弦長,三角形面積的最值,在設(shè)直線方程時一定要先考慮斜率可能不存在的情況.22.(14分)已知橢圓E長軸的一個端點是拋物線y2=12x的焦點,且橢圓焦點與拋物線焦點的距離是1.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若A、B是橢圓E的左右端點,O為原點,P是橢圓E上異于A、B的任意一點,直線AP、BP分別交y軸于M、N,問是否為定值,說明理由.參考答案:【考點】直線與圓錐曲線的關(guān)系;橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【專題】向量與圓錐曲線.【分析】(1)求出拋物線的焦點坐標(biāo),得到橢圓的長

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