方差分析-多樣本均數(shù)

方差分析（ANOVA）又稱

F

檢驗，其目的是推斷多組資料的總體均數(shù)是否相等。本章主要內(nèi)容包括單因素方差分析（即完全隨機設(shè)計資料的方差分析）、兩因素方差分析（即隨機區(qū)組設(shè)計資料的方差分析）和三因素方差分析（即拉丁方設(shè)計資料的方差分析）及多個樣本均數(shù)間的多重比較。第九章多個樣本均數(shù)比較的方差分析

第一節(jié)方差分析的基本思想和應(yīng)用條件

一、方差分析的基本思想

方差分析的基本思想借助以下例題予以說明：

例9-1為研究煤礦粉塵作業(yè)環(huán)境對塵肺的影響，將18只大鼠隨機分到甲、乙、丙3個組，每組6只，分別在地面辦公樓、煤炭倉庫和礦井下染塵，12周后測量大鼠全肺濕重（g），數(shù)據(jù)見表9—2，問不同環(huán)境下大鼠全肺濕重有無差別？

甲組乙組丙組4.24.55.63.34.43.63.73.54.54.34.25.14.14.64.93.34.24.7

ni666

從以上資料可看出，三個組的數(shù)據(jù)各不相同，這種差異（總變異）可以分解成兩部分：即

（1）組間變異：甲、乙、丙三個組大鼠全肺濕重各不相等（此變異反映了處理因素的作用，以及隨機誤差的作用）

（2）組內(nèi)變異：各組內(nèi)部大鼠的全肺濕重各不相等（此變異主要反映的是隨機誤差的作用）各部分變異的計算：

①總變異（全部試驗數(shù)據(jù)間大小不等）用總離均差平方和來表示。

其中

甲組乙組丙組4.24.55.63.34.43.63.73.54.54.34.25.14.14.64.93.34.24.7

ni666

②組間變異（由于所接受的處理因素不同而致各組間大小不等）用組間離均差平方和來表示。

各組均數(shù)之間相差越大，它們與總均數(shù)的差值就越大，越大；反之，越小。甲組乙組丙組4.24.55.63.34.43.63.73.54.54.34.25.14.14.64.93.34.24.7

ni666③組內(nèi)變異（同一處理組內(nèi)部試驗數(shù)據(jù)大小不等）用組內(nèi)離均差平方和來表示。

三個變異之間的關(guān)系：

其中：

離均差平方和只能反映變異的絕對大小。變異程度除與離均差平方和的大小有關(guān)外，還與其自由度有關(guān)，由于各部分自由度不相等，因此各部分離均差平方和不能直接比較，須除以相應(yīng)的自由度，該比值稱均方差，簡稱均方（MS）。

的大小就反映了各部分變異的平均大小。

方差分析就是通過比較組內(nèi)均方和組間均方的大小關(guān)系來判斷處理因素有無效應(yīng)。

檢驗統(tǒng)計量：

如果各組的總體均數(shù)相等，即無處理因素的作用，則組內(nèi)變異和組間變異都只反映隨機誤差的大小，此時組間均方和組內(nèi)均方大小相當，即F值則接近1，各組均數(shù)間的差異沒有統(tǒng)計學(xué)意義；反之，如果處理有作用，則組間變異不僅包含隨機誤差，還有處理因素引起的變異(組間變異主要反映處理因素的作用)，此時組間均方遠大于組內(nèi)均方，則F值遠大于1，各組均數(shù)間的差異有統(tǒng)計學(xué)意義。故依據(jù)

F值的大小可判斷各組之間有無差別。

可見，方差分析的基本思想就是根據(jù)實驗設(shè)計的類型，將全部測量值總的變異分解成兩個或多個部分，每個部分的變異可由某個因素的作用（或某幾個因素的作用）加以解釋，通過比較各部分的均方與隨機誤差項均方的大小，借助

F

分布來推斷各研究因素對實驗結(jié)果有無影響。二、方差分析的應(yīng)用條件（1）各觀測值相互獨立，并且服從正態(tài)分布；（2）各組總體方差相等，即方差齊性。第二節(jié)完全隨機設(shè)計資料的方差分析一、完全隨機設(shè)計完全隨機設(shè)計是采用完全隨機化的分組方法，將全部試驗對象分配到g個處理組，各處理組分別接受不同的處理，試驗結(jié)束后比較各組均數(shù)之間差別有無統(tǒng)計學(xué)意義，以推斷處理因素的效應(yīng)。二、變異分解

完全隨機設(shè)計資料的方差分析表變異來源自由度SSMSF

總變異

組間

組內(nèi)

例9-1

試根據(jù)表9-2的試驗結(jié)果，檢驗三組大鼠全肺濕重的總體均數(shù)是否相同。解：

(１)建立假設(shè),并確定檢驗水準。

H0：

H1：

不等或不全相等

三、分析步驟(２)計算F值表9-2三組大鼠的全肺濕重（g）

本例

，

，以上計算結(jié)果代入方差分析表，并求出相應(yīng)的MS

及F

值：表9-3例9-1的方差分析表變異來源SSv

MSF

值P值組

間2.528

21.2644.70<0.05組

內(nèi)4.03515

0.269總6.56317(３)查F界值表，確定P值并作結(jié)論。

由附表

5

查得F0.05（2，15）=3.68，F(xiàn)=4.70>

F0.05（2，15），故P<0.05，按=0.05水準拒絕H0，接受H1，差別有統(tǒng)計學(xué)意義，可認為不同粉塵環(huán)境影響大鼠的全肺濕重。當g=2時，方差分析的結(jié)果與兩樣本均數(shù)比較的t

檢驗等價，且有。第三節(jié)隨機區(qū)組設(shè)計資料的方差分析

一、隨機區(qū)組設(shè)計隨機區(qū)組設(shè)計（randomizedblockdesign），又稱配伍組設(shè)計，是配對設(shè)計的擴展。具體做法是：先按影響試驗結(jié)果的非處理因素將受試對象配成區(qū)組（block），再將各區(qū)組內(nèi)的受試對象隨機分配到不同的處理組，各處理組分別接受不同的處理，試驗結(jié)束后比較各組均數(shù)之間差別有無統(tǒng)計學(xué)意義，以推斷處理因素的效應(yīng)。該設(shè)計的特點：（1）該設(shè)計包含兩個因素，一個是區(qū)組因素，一個是處理因素；（2）各區(qū)組及處理組的受試對象數(shù)相等，各處理組的受試對象生物學(xué)特性較均衡，可減少試驗誤差，提高假設(shè)檢驗的效率。此類資料的方差分析，其應(yīng)用條件同前：即資料滿足正態(tài)性及方差齊性的要求。

因為隨機區(qū)組設(shè)計可以將區(qū)組間變異從完全隨機設(shè)計的組內(nèi)變異中分離出來以反映不同區(qū)組對結(jié)果的影響，所以隨機區(qū)組設(shè)計全部測量值總的變異相應(yīng)地就分成三部分。

各種變異之間的關(guān)系是：

其中：

二、

變異分解（1）總變異：反映全部試驗數(shù)據(jù)間大小不等的狀況，（2）處理組間變異：甲、乙、丙三個組間測量值的均數(shù)大小不等，（3）區(qū)組間變異：12個區(qū)組間測量值的均數(shù)大小不等，（4）誤差變異：反映隨機誤差產(chǎn)生的變異，表9-5隨機區(qū)組設(shè)計的方差分析表

變異來源自由度SSMSF

總變異處理間區(qū)組間

誤差二、分析步驟

結(jié)合例9-2：

例9-2研究甲、乙、丙三種營養(yǎng)素對小白鼠體重增加的影響，已知窩別為影響因素。擬用6窩小白鼠，每窩3只，隨機地安排喂養(yǎng)甲、乙、丙三種營養(yǎng)素之一種，8周后觀察小白鼠體重增加情況，數(shù)據(jù)見表9-6。問：（1）不同營養(yǎng)素之間小白鼠的體重增加是否不同？（2）不同窩別之間小白鼠的體重增加是否不同？表9-6三種營養(yǎng)素喂養(yǎng)小白鼠所增體重（g）

窩別號甲營養(yǎng)素乙營養(yǎng)素丙營養(yǎng)素164657325354593716879441463855058656424046（1）建立假設(shè)、確定檢驗水準。處理：H0：甲=乙=丙（三種營養(yǎng)素對小白鼠體重增加作用相同）H1：甲，乙，丙不全相等（三種營養(yǎng)素對小白鼠體重增加作用不全相同）區(qū)組：H0：1=2=…=6（窩別對小白鼠體重增加無影響）H1：1，2，…，6不全相等（窩別對小白鼠體重增加有影響）

（2）計算檢驗統(tǒng)計量F

值。計算各處理組的小計，各區(qū)組的小計，見表9-6。表9-6三種營養(yǎng)素喂養(yǎng)小白鼠所增體重（g）

窩別號甲營養(yǎng)素乙營養(yǎng)素丙營養(yǎng)素區(qū)組合計(Bj)1646573

2022535459

1663716879

2184414638

1255505865

1736424046

128處理組合計(Ti)321331360

10121789118845228365957253.555.260.056.22本例，表9-2例9-2方差分析表變異來源

SSV

MS

FP處理組間136.778

268.3894.24<0.05區(qū)組間2377.1115475.42229.49<0.01誤差161.2221016.122總變異2675.11117①處理因素：查F界值表，，因，故

P＜0.05

。結(jié)論：按α=0.05

水準，拒絕H0，接受H1，差別有統(tǒng)計學(xué)意義，可認為不同營養(yǎng)素對小白鼠體重增加有影響。②區(qū)組因素：查F界值表，

，，F(xiàn)>F

0.01（5,10），故P＜0.05。結(jié)論：按α=0.05水準，拒絕H0，接受H1，差別有統(tǒng)計學(xué)意義，可認為不同窩別對小白鼠體重增加有影響。（３）查F界值表，確定P

值并作結(jié)論。隨機區(qū)組設(shè)計的優(yōu)點是，從組內(nèi)變異中分離出區(qū)組變異從而減少了誤差均方，使處理組間的F

值更容易出現(xiàn)顯著性，即提高了統(tǒng)計檢驗效率。當g=2時，隨機區(qū)組設(shè)計方差分析與配對設(shè)計資料的t

檢驗等價，有t2=F。第四節(jié)拉丁方設(shè)計資料的方差分析

一、拉丁方設(shè)計完全隨機設(shè)計只涉及到一個處理因素；隨機區(qū)組設(shè)計涉及一個處理因素和一個區(qū)組因素。若實驗涉及一個處理因素和兩個控制因素，而且每個因素的水平數(shù)相等，此時可采用拉丁方設(shè)計來安排實驗，將兩個控制因素分別安排在拉丁方的行和列上。4×4ABCDDABCCDABBCDA拉丁方是由g個拉丁字母排成的g×g方陣，每行或每列中每個字母都只出現(xiàn)一次，這樣的方陣稱為g階拉丁方。拉丁方設(shè)計是在隨機區(qū)組設(shè)計的基礎(chǔ)上發(fā)展的，它可多安排一個已知的對實驗結(jié)果有影響的非處理因素，提高了效率。應(yīng)用時，根據(jù)水平數(shù)g

來選定拉丁方大小。3×34×45×5ABCCABBCAABCDDABCCDABBCDAABCDEEABCDDEABCCDEABBCDEA

例9-3研究A、B、C、D四種食品，以及甲、乙、丙、丁四種加工方法對小白鼠增體重的影響。擬用4窩大鼠，每窩4只，每只小白鼠隨機喂養(yǎng)一種食品、隨機采用一種加工方法；8周后觀察大鼠增體重情況。實驗結(jié)果如表9-9所示。問：（1）食品種類是否影響大鼠體重增加？（2）食品加工方法是否影響大鼠增體重？（3）不同窩別的大鼠體重增加是否不同？區(qū)組號甲乙丙丁180(D)70(B)51(C)48(A)247(A)75(C)78(D)45(B)348(B)80(D)47(A)52(C)446(C)81(A)49(B)77(D)表9-9四種食品及四種加工方法喂養(yǎng)大鼠所增體重（g）4×4ABCDDABCCDABBCDA二、變異分解表9-8拉丁方設(shè)計資料的方差分析表

表中C為校正數(shù)，、、分別為不同處理、行區(qū)組、列區(qū)組的合計。三、分析步驟例9-3問：（1）食品種類是否影響大鼠體重增加？（2）食品加工方法是否影響大鼠增體重？（3）不同窩別的大鼠體重增加是否不同？表9-9四種食品及四種加工方法喂養(yǎng)大鼠所增體重（g）解：

(1)建立檢驗假設(shè)，確定檢驗水準H處理0：A=B=C=D

即四種食品對大鼠體重增加相同

H處理1：A，B，C，D不全相等即四種食品對大鼠體重增加不全相同H行0：1=2=3=4

即不同窩別大鼠體重增加相同

H行1：1，2，3，4不全相等即不同窩別大鼠體重增加不全相同H列0：甲=乙=丙=丁

即不同加工方法對大鼠體重增加相同

H列1：甲，乙，丙，丁不全相等即不同加工方法對大鼠體重增加不全相同

=0.05

（2）計算檢驗統(tǒng)計量

=62772-59292.25=3479.75

(2232＋2122＋2242＋3152)-59292.25=1726.25

(2492＋2452＋2272＋2532)-59292.25=98.75(2212＋3062＋2252＋2222)-59292.25=1304.25

=3479.75-1726.25-98.75-1304.25＝350.5

表9-10例9-3方差分析表變異來源

SSV

MS

FP處理間1726.25

3575.4179.85<0.01行區(qū)組98.75332.9170.56>0.05列區(qū)組1304.253434.7507.44<0.05誤差350.50658.417總3479.7515（3）確定P值，作出推斷結(jié)論①對處理：以處理=3和誤差=6查F界值表，F(xiàn)0.05（3,6）=4.76，F(xiàn)0.01（3,6）=9.78，得P<0.01，按=0.05水準拒絕H0，接受H1，差別有統(tǒng)計學(xué)意義，可認為食品種類能影響大鼠增重。②對行區(qū)組：以行=3和誤差=6查F界值表，F(xiàn)0.05（3,6）=4.76，F(xiàn)0.01（3,6）=9.78，得P>0.05，按=0.05水準不拒絕H0，差別無統(tǒng)計學(xué)意義，尚不能認為不同窩別可影響大鼠增重。③對列區(qū)組：以列=3和誤差=6查F界值表，F(xiàn)0.05（3,6）=4.76，F(xiàn)0.01（3,6）=9.78，得P<0.05，按=0.05水準拒絕H0，接受H1，差別有統(tǒng)計學(xué)意義，可認為食品加工方法會影響大鼠增重。拉丁方設(shè)計的要求：

①一定是三因素，且三因素水平數(shù)相等；②行間、列間、處理間均無交互作用；③各行、列、處理的方差齊。拉丁方設(shè)計的優(yōu)缺點：

優(yōu)點是可同時研究三個因素，減少實驗次數(shù)。從組內(nèi)變異中不但分離出行區(qū)組變異，而且還分離出列區(qū)組變異，使誤差變異進一步減小。缺點是要求處理組數(shù)與所要控制的兩個因素水平數(shù)相等，一般實驗不容易滿足此條件，而且數(shù)據(jù)缺失會增加統(tǒng)計分析的難度。第五節(jié)多個均數(shù)間的兩兩比較

經(jīng)過方差分析，若拒絕了檢驗假設(shè)H0，只能說明多個總體均數(shù)不等或不全相等。若要得到各組均數(shù)間更詳細的信息，應(yīng)在方差分析的基礎(chǔ)上進行多個樣本均數(shù)的兩兩比較。多重比較常用的方法有：SNK-q檢驗、LSD-t

檢驗和Dunnett-t

檢驗。一、SNK-q檢驗

SNK（Student-Newman-Keuls）檢驗，亦稱q

檢驗，適用于多個均數(shù)兩兩之間的全面比較。檢驗統(tǒng)計量q

的計算公式為：

例9-4例9-1經(jīng)

F檢驗結(jié)論有統(tǒng)計學(xué)意義，試用SNK-q檢驗方法對三組均數(shù)進行多重比較。解：

(1)建立假設(shè)，確定檢驗水準。

H0

：（對比組總體均數(shù)相等）；

H1

：（對比組總體均數(shù)不等）；

（2）計算檢驗統(tǒng)計量q值。

①計算差值的標準誤：本例nA＝nB＝6，MS誤差＝MS組內(nèi)＝0.269

②將三個樣本均數(shù)從小到大排序，并賦予秩次：均數(shù)3.8174.2334.733

組別甲組乙組丙組秩次（R）

123

③列表計算檢驗統(tǒng)計量q

值：表9-12例9－1的3個樣本均數(shù)兩兩比較的q檢驗

（3）確定P值，作出推斷結(jié)論 以誤差＝15及組數(shù)

a

查

q

界值表，并確定

P

值，填入表9-12。

結(jié)論：甲組與丙組（“1與3”）比較P<0.05，按=0.05水準拒絕H0，接受H1，有統(tǒng)計學(xué)意義，可認為甲組（辦公樓）全肺濕重小于丙組（礦井）；其余對比組之間比較均P>0.05，按=0.05水準不拒絕H0。因此，可認為礦井下環(huán)境會造成肺功能損害。

二、Dunnett-t

檢驗

Dunnett–t檢驗適用于多個實驗組與一個對照組均數(shù)差別的多重比較。檢驗統(tǒng)計量為：

例9-5例9-2中甲組是對照組，研究目的是比較乙營養(yǎng)素和丙營養(yǎng)素是否比甲營養(yǎng)素多增加體重，經(jīng)F檢驗結(jié)論有統(tǒng)計學(xué)意義，試用Dunnett-t檢驗方法對三組均數(shù)進行多重比較。解：

（1）建立假設(shè)，確定檢驗水準。

H0：

（所比較實驗組與對照組總體均數(shù)相等）

H1：（所比較實驗組與對照組總體均數(shù)不等）

（2）計算檢驗統(tǒng)計量Dunnett-t值。

①本例

nT=nC=6，MS誤差＝16.122，則差值的標準誤為

2.318

②列表計算tD

統(tǒng)計量，如表9-13所示。

（3）確定P值，作出推斷結(jié)論。

以及處理數(shù)T=2查Dunnett-t

檢驗界值表，并確定P值，填入表9-13。丙組與甲組比較P<0.05，按=0.05水準拒絕H0，接受H1，有統(tǒng)計學(xué)意義，可認為丙營養(yǎng)素比對照組體重增加更多。但乙組與甲組比較P>0.05，沒有統(tǒng)計學(xué)意義，按=0.05水準不拒絕H0，尚不能認為乙營養(yǎng)素與對照組增加體重不同。

表9-13例9－2的2個處理組與對照組均數(shù)比較的tD檢驗三、LSD-t

檢驗

LSD-t

檢驗即最小顯著差異t

檢驗，適用于一對或幾對在專業(yè)上有特殊意義的樣本均數(shù)間的比較。檢驗統(tǒng)計量

t

的計算公式為:

LSD-

例9-6例9-3中食品種類是否影響大鼠增體重，研究目的只為比較A食品與B食品，C食品與D食品便可；多組間經(jīng)F檢驗結(jié)論有統(tǒng)計學(xué)意義，試用LSD-t檢驗方法對這兩對均數(shù)進行多重比較。 檢驗步驟為：

（1）建立檢驗假設(shè)，確定檢驗水準

H0：A=

B即所研究的兩個對比組的總體均數(shù)相等

H1：A≠

B即所研究的兩個對比組的總體均數(shù)不等

=0.05

(2)計算檢驗統(tǒng)計量

①

本例

nA＝nB＝4，MS誤差＝58.417，＝誤差＝6

②計算統(tǒng)計量LSD-t值，如表9-14所示。

（3）確定P值，作出推斷結(jié)論

以誤差＝6查t界值表，并確定P值，填入表9-14。由表9-14得A食品與B食品比較P>0.05，按=0.05水準，不拒絕H0，無統(tǒng)計學(xué)意義，還不能認為A食品和工食品增體重不同。但C食品與D食品比較P<0.01，按=0.05水準，拒絕H0，有統(tǒng)計學(xué)意義，可認為C食品增體重不如D食品。

表9-14例9－3的兩個對子均數(shù)比較的LSD-t檢驗

上述三種方法均基于方差分析中估計的誤差均方，這是與t檢驗最大的不同之處。這三種方法是一致的，但并非等價，結(jié)果略有差別。由于統(tǒng)計軟件可同時作十幾種多重比較檢驗，應(yīng)用中應(yīng)根據(jù)統(tǒng)計設(shè)計和專業(yè)知識考慮來確定采用哪一種方法，不能多種方法一起使用，然后選取“有利”的結(jié)果。第五節(jié)多組樣本的方差齊性檢驗方差分析的一個應(yīng)用條件是相互比較的各樣本的總體方差相等，即具有方差齊性，這就需要在作方差分析之前，先對資料的方差齊性進