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山西省呂梁市閆家坡中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有是一個符合題目要求的1.若A為不等式組表示的平面區(qū)域,則當(dāng)a從﹣2連續(xù)變化到1時(shí),動直線x+y=a掃過A中的那部分區(qū)域的面積為()A. B.1 C. D.2參考答案:C【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用.【分析】本題主要考查線性規(guī)劃的基本知識,先畫出約束條件的可行域,再分析當(dāng)a從﹣2連續(xù)變化到1時(shí),動直線x+y=a掃過A中的那部分區(qū)域的形狀,然后代入相應(yīng)的公式,求出區(qū)域的面積.【解答】解析:作出可行域,如圖,則直線掃過的面積為故選C.2.不等式的解集為P,且,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.B.C.D.第Ⅱ卷參考答案:A略3.設(shè)集合,則集合P的非空子集個數(shù)是(
)
A.1
B.3
C.7
D.8參考答案:B略4.如圖,在正方形中,點(diǎn)是的中點(diǎn),點(diǎn)滿足,那么(
)A、
B、C、
D、參考答案:C略5.已知直線及與函數(shù)圖象的交點(diǎn)分別是A、B,與函數(shù)的交點(diǎn)分別是C、D,則直線AB與CD
(▲)
A.平行
B.相交,且交點(diǎn)在第Ⅱ象限
C.相交,且交點(diǎn)在第Ⅲ象限
D.相交,且交點(diǎn)在原點(diǎn)參考答案:D略6.設(shè),則“”是“”的(
) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案:B略7.在△ABC所在平面上有三點(diǎn)P、Q、R,滿足,,,則△PQR的面積與△ABC的面積之比為A.1∶2
B.1∶3
C.1∶4
D.1∶5參考答案:B8.下列敘述中正確的是
(
)A、從頻率分布表可以看出樣本數(shù)據(jù)對于平均數(shù)的波動大小B、頻數(shù)是指落在各個小組內(nèi)的數(shù)據(jù)C、每小組的頻數(shù)與樣本容量之比是這個小組的頻率D、組數(shù)是樣本平均數(shù)除以組距參考答案:C9.某學(xué)校高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)之比為3:3:4,現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學(xué)生中抽取容量為50的樣本,則應(yīng)從高二年級抽取
名學(xué)生.參考答案:15略10.“十二平均律”是通用的音律體系,明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例,為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個純八度音程分成十二份,依次得到十三個單音,從第二個單音起,每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率為f,則第八個單音的頻率為(A) (B)(C) (D)參考答案:D分析:根據(jù)等比數(shù)列的定義可知每一個單音的頻率成等比數(shù)列,利用等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)可解.詳解:因?yàn)槊恳粋€單音與前一個單音頻率比為,所以,又,則故選D.
二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)y=x+lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為
.參考答案:2x﹣y﹣1=0【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.【分析】由y=x+1nx,知,由此能求出函數(shù)y=x+1nx在點(diǎn)(1,1)處的切線方程.【解答】解:∵y=x+1nx,∴,∴k=y′|x=1=1+1=2,∴函數(shù)y=x+1nx在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y﹣1=2(x﹣1),整理,得2x﹣y﹣1=0.故答案為:2x﹣y﹣1=0.12.已知點(diǎn)O(0,0),A(﹣1,3),B(2,﹣4),=2+m,若點(diǎn)P在y袖上,則實(shí)數(shù)m=.參考答案:【分析】利用坐標(biāo)來表示平面向量的運(yùn)算,又因?yàn)辄c(diǎn)P在y軸上,所以它的橫坐標(biāo)為0,從而得到答案.【解答】解:∵O(0,0),A(﹣1,3),B(2,﹣4),∴=(﹣1,3),=(3,﹣7),∵P在y袖上,∴可設(shè)=(0,y),∵=2+m,∴(0,y)=2(﹣1,3)+m(3,﹣7)=(3m﹣2,6﹣7m),∴3m﹣2=0,解得m=【點(diǎn)評】本題考查了利用坐標(biāo)來表示平面向量的運(yùn)算,屬于最基本的題目.13.已知點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)M為拋物線C上任意一點(diǎn),過點(diǎn)M向圓作切線,切點(diǎn)分別為A,B,則四邊形AFBM面積的最小值為______.參考答案:【分析】畫出滿足題意的圖象,可得M與原點(diǎn)重合時(shí),四邊形AFBM面積最小,進(jìn)而得到答案.【詳解】如下圖所示:圓的圓心與拋物線的焦點(diǎn)重合,若四邊形AFBM的面積最小,則MF最小,即M距離準(zhǔn)線最近,故滿足條件時(shí),M與原點(diǎn)重合,此時(shí),此時(shí)四邊形AFBM面積,故答案:.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)。14.若不等式≤≤,在上恒成立,則的取值范圍是__________.參考答案:15.已知是兩個不同的平面,是一條直線,且,則是的
▲條件。(填:充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要)參考答案:充分不必要若,則。當(dāng)時(shí),不一定有,所以是的充分不必要條件。16.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為A,與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)為B,點(diǎn)A在拋物線的準(zhǔn)線上的射影為C,若,,則拋物線的方程為.參考答案:y2=2x【考點(diǎn)】直線與拋物線的位置關(guān)系.【分析】判斷F為A,B的中點(diǎn),設(shè)出B,求出A,C坐標(biāo),利用向量的數(shù)量積求解即可.【解答】解:過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為A,與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)為B,點(diǎn)A在拋物線的準(zhǔn)線上的射影為C,若,可知F()是AB的中點(diǎn),設(shè)B(,﹣n)n>0,則A(),C(﹣,n),=(2p,2n,=(0,2n),,可得:4n2=12,解得n=,|BC|=2|AF|=|AC|=2p==2.所求拋物線方程為:y2=2x.故答案為:y2=2x.17.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的的值為_____________.參考答案:第一次循環(huán),;第二次循環(huán),;第三次循環(huán),;第四次循環(huán),不滿足條件,輸出。三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.在某校舉行的航天知識競賽中,參與競賽的文科生與理科生人數(shù)之比為1:3,且成績分布在[40,100],分?jǐn)?shù)在80以上(含80)的同學(xué)獲獎.按文理科用分層抽樣的方法抽取200人的成績作為樣本,得到成績的頻率分布直方圖(見下圖).
(I)在答題卡上填寫下面的2×2列聯(lián)表,能否有超過95%的把握認(rèn)為“獲獎與學(xué)生的文理科有關(guān)”?
文科生理科生合計(jì)獲獎5
不獲獎
合計(jì)
200
(II)將上述調(diào)査所得的頻率視為概率,現(xiàn)從該校參與競賽的學(xué)生中,任意抽取名學(xué)生,記“獲獎”學(xué)生人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附表及公式:,其中參考答案:(I)
文科生理科生合計(jì)獲獎53540不獲獎45115160合計(jì)50150200
3分,
5分所以有超過的把握認(rèn)為“獲獎與學(xué)生的文理科有關(guān)”.
6分(II)由表中數(shù)據(jù)可知,將頻率視為概率,從該校參賽學(xué)生中任意抽取一人,抽到獲獎同學(xué)的概率為.
7分的所有可能的取值為,且.
8分().
9分所以的分布列如下11分.
12分19.設(shè)函數(shù)。(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)若當(dāng)時(shí),(其中)不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(3)試討論關(guān)于的方程:在區(qū)間上的根的個數(shù)。參考答案:解:(1)函數(shù)的定義域?yàn)?
由得;
由得,
則增區(qū)間為,減區(qū)間為.
(2)令得,由(1)知在上遞減,在上遞增,
由,且,
時(shí),
的最大值為,故時(shí),不等式恒成立.
(3)方程即.記,則.由得;由得.所以g(x)在[0,1]上遞減,在[1,2]上遞增.而g(0)=1,g(1)=2-2ln2,g(2)=3-2ln3,∴g(0)>g(2)>g(1)。所以,當(dāng)a>1時(shí),方程無解;當(dāng)3-2ln3<a≤1時(shí),方程有一個解;當(dāng)2-2ln2<a≤a≤3-2ln3時(shí),方程有兩個解;當(dāng)a=2-2ln2時(shí),方程有一個解;當(dāng)a<2-2ln2時(shí),方程無解.
綜上所述,a時(shí),方程無解;或a=2-2ln2時(shí),方程有唯一解;時(shí),方程有兩個不等的解.
20.已知:.,且
(1)求及
(2)設(shè)的最小值為,求的值參考答案:解析:(1)由已知:.
==
=
====(2)==-1令,則=①當(dāng)時(shí),由題意,解之可得②當(dāng)時(shí),由題意最小,無解③當(dāng)時(shí),由題意,解之可得,舍去綜合①②③可知21.不等式選講
已知,.(I)求證:,;(II)若,求證:.參考答案:(1)
……
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