八數(shù)下19.1.1矩形的性質(新華東師大版優(yōu)質課)

19.1.1

矩形的性質曹碑學校覃堯1.什么叫平行四邊形？ABCDO2.平行四邊形有哪些性質？①對邊平行且相等;②對角相等;③對角線互相平分;④是中心對稱圖形。一、復習回顧有兩組對邊分別平行的四邊形。用四段木條做一個ABCD的活動木框，將其直立在桌面上輕輕地推動點D，你會發(fā)現(xiàn)什么?試一試DACBDACBOO┓90°有一個角是直角的平行四邊形是矩形平行四邊形矩形有一個角是直角矩形是特殊的平行四邊形矩形的定義因此，它具有平行四邊形的一般性質。1.畫矩形ABCD，并從對稱性觀察它是什么圖形。2.從角、對角線兩方面進行考慮，你能發(fā)現(xiàn)矩形有什么特有的性質嗎？請以小組的形式討論總結。ABCDO猜想1：矩形的四個角都是直角．猜想2：矩形的對角線相等．對稱性：矩形是軸對稱圖形,有兩條對稱軸。二、新知探究求證：矩形的四個角都是直角．已知：如圖，四邊形ABCD是矩形求證：∠A=∠B=∠C=∠D=90°ABCD證明：∵四邊形ABCD是矩形∴

∠A=90°又矩形ABCD是平行四邊形∴∠A=∠C∠B=∠D∠A+∠B=90°∴

∠A=∠B=∠C=∠D=90°即矩形的四個角都是直角分析:由矩形的定義,利用對角相等,鄰角互補可得證.已知：如圖,四邊形ABCD是矩形求證：AC=BDABCD證明：∵四邊形ABCD為矩形∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°又∵

BC=CB∴△ABC≌△DCB（SAS）∴AC=BD即矩形的對角線相等求證:矩形的對角線相等分析:根據矩形的性質,可轉化為全等三角形(SAS)來證明.得出結論（特殊性質）：矩形的對角相等且都是直角．矩形的兩條對角線相互平分且相等．從角上看：從對角線上看：數(shù)學語言：∵四邊形ABCD是矩形∴∠A=∠B=∠C=∠D=900數(shù)學語言：∵□ABCD是矩形∴OA=OB=OC=OD=AD=BC從對稱性看：既是中心對稱，又是軸對稱圖形.1.矩形具有，而一般平行四邊形不具有的性質是（）A、對角線相等B、對邊相等C、對角相等D、對角線相互平分2.下面性質中，矩形不一定具有的是（）A、對角線相等B、四個角相等C、是軸對稱圖形D、對角線相互垂直AD練一練3.已知矩形的一條對角線與一邊的夾角是40°，則兩條對角線所夾銳角的度數(shù)為()

A．40°B．60°C．80°D．100°C1.四邊形ABCD是矩形（1）.若已知AB=8，AD=6，則AC＝_____，OB=_____.（2）.若已知AC＝10，BC=6，則矩形的周長＝____,矩形的面積＝____（3）.若已知∠DOC=120°，AC＝8㎝，則AD=_____cm，AB=_____cmODCBA51044828隨堂練習2.已知△ABC是Rt△，∠ABC=900，BD是斜邊AC上的中線(1)若BD=3㎝則AC＝_____㎝(2)若∠C=30°，AB＝5㎝，則AC=_____cm,BD＝____㎝.6105DCBA┓想一想A

B

C

D

O

找出矩形ABCD中的直角三角形和等腰三角形.矩形問題轉化為直角三角形和等腰三角形問題例1如圖，矩形ABCD被兩條對角線分成四個小三角形，如果四個小三角形的周長的和是86cm,對角線長是13cm，那么矩形的周長是多少？解：∵

△AOB、△BOC、△COD和△AOD四個三角形的周長和為86cm,又∵AC=BD=13cm,∴

AB+BC+CD+DA=86－2(AC+BD)=86－4×13=34(cm)即矩形ABCD的周長等于34cm。ＯADBC圖19.1.5針對性練習：矩形ABCD的周長為56cm，對角線AC、BD交于O，△BOC和△AOB的周長差是4cm，那么矩形各邊的長是多少?解

∵AB+BC+CD+DA=56，（BC+BO+CO）－（AB+AO+BO）=4，又∵四邊形ABCD是矩形，∴

AB+BC=28，BC－AB=4，∴AD=

BC=16，AB=CD

=12．對邊平行對角線互相平分∴AB=CD，AD=BC（平行四邊形的

）.AO=CO，BO=DO（平行四邊形的

）.例2：如圖，在矩形ABCD中，AB=3．BC=4，BE⊥AC,垂足為點E，試求BE的長。解：∵在矩形ABCD中，∠ABC=90°AB=3，BC=4三、運用性質解決問題∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：又∵ABCDE圖19.1.6A

B

C

D

O

四、類比思考新知再探如圖，一張矩形紙片，沿著對角線剪去一半，你能得到什么結論？BCOA

Rt△ABC中，BO是一條怎樣的線段？它的長度與斜邊AC有什么關系？得到：直角三角形的一個性質直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.數(shù)學語言:∵在Rt△ABC中,BO是斜邊AC上的中線∴BO=AC1.如圖，矩形ABCD的兩條對角線交于點O，且∠AOD＝120°，你能說明AC＝2AB嗎？解:∵四邊形ABCD是矩形∴AC=BD()∴

OA=OC=ACOB=OD=BD()

矩形的對角線相等∴OA=OB∴

△AOB

是等邊三角形∴OA=OB=AB∴AC=2OA=2AB.平行四邊形的對角線互相平分∵∠AOD=120°∴∠AOB=180°－∠AOD=60°練一練變式練習：如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點O，∠AOD=120°，AC=8cm，求矩形BC的長.ABOCD解：在矩形ABCD中，OA=OB∵∠AOD=120°∴∠AOB=60°

又∵OA=OB∴△AOB為等邊三角形∴AB=OA=AC=4cm在Rt△ABC中，（cm）BC===你能由此得出什么結論？如果矩形兩對角線的夾角是60°或120°,則其中必有等邊三角形.例3：在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AE垂直且平分線段BO,垂足為點E，BD=15cm.求AC和AB的長解∵四邊形ABCD是矩形∴AC=BD=15(矩形的對角線相等)∴AO=AC=7.5∵AE垂直平分BO∴AB=AO=7.5即AC的長為15cm,AB的長為