高中數(shù)學北師大版第二章函數(shù) 函數(shù)的單調(diào)性習題課

函數(shù)的單調(diào)性習題課時間：45分鐘滿分：80分班級________姓名________分數(shù)________一、選擇題：(每小題5分，共5×6＝30分)1．已知定義在R上的函數(shù)f(x)是增函數(shù)，則滿足f(x)<f(2x－3)的x的取值范圍是()A．(－2，＋∞)B．(－3，＋∞)C．(2，＋∞)D．(3，＋∞)答案：D解析：依題意，得不等式f(x)<f(2x－3)等價于x<2x－3，由此解得x>3，即滿足f(x)<f(2x－3)的x的取值范圍是(3，＋∞)．故選D.2．已知函數(shù)f(x)＝x2－6x＋8在[1，a)上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，3]B．[0,3]C．[3，＋∞)D．(1,3]答案：D解析：∵f(x)＝x2－6x＋8＝(x－3)2－1，∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，3]．又f(x)＝x2－6x＋8在[1，a)上單調(diào)遞減，∴a≤3.又a>1，∴1<a≤3.故選D.3．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋6，x∈[1，2],x＋7，x∈[－1，1))，則f(x)的最大值和最小值分別為()A．10,6B．10,8C．8,6D．10,7答案：A解析：作出分段函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋6，x∈[1，2],x＋7，x∈[－1，1))的圖象(圖略)，由圖象可知f(x)max＝f(2)＝22＋6＝10，f(x)min＝f(－1)＝－1＋7＝6.故選A.4．設(shè)函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的減函數(shù)，則下列不等式一定成立的是()A．f(a2＋a)<f(1)B．f(a2－1)>f(a)C．f(a2＋a)<f(－1)D．f(a2＋1)>f(a)答案：C解析：∵a2＋a與1、a2－1與a的大小不能確定，∴A，B選項中的不等式不一定成立．∵a2＋a－(－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，∴a2＋a>－1.又f(x)是(－∞，＋∞)上的減函數(shù)，∴f(a2＋a)<f(－1)．D選項中，a2＋1－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，應有f(a2＋1)<f(a)，故D選項中不等式不成立．故選C.5．函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，且f(x)在區(qū)間[3,7]上是增函數(shù)，最小值為5，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[－7，－3]上()A．是增函數(shù)，且最小值為－5B．是增函數(shù)，且最大值為－5C．是減函數(shù)，且最小值為－5D．是減函數(shù)，且最大值為－5答案：B解析：作出滿足題意的圖象(圖略)，可知函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[－7，－3]上是增函數(shù)，且最大值為－5.故選B.6．函數(shù)f(x)＝eq\f(ax＋1,x＋2)在區(qū)間(－2，＋∞)上是遞增的，則a的范圍是()A．(0，eq\f(1,2))B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(eq\f(1,2)，＋∞)D．(－2，＋∞)答案：C解析：設(shè)－2<x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(ax1＋1,x1＋2)－eq\f(ax2＋1,x2＋2)＝eq\f(ax1＋1x2＋2－ax2＋1x1＋2,x1＋2x2＋2)＝eq\f(2ax1－x2＋x2－x1,x1＋2x2＋2)＝eq\f(x1－x22a－1,x1＋2x2＋2)∵－2<x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋2>0，x2＋2>0，∴eq\f(x1－x2,x1＋2x2＋2)<0，∵f(x)在(－2，＋∞)上是遞增的∴f(x1)－f(x2)<0，即2a－1>0，∴a>eq\f(1,2).二、填空題：(每小題5分，共5×3＝15分)7．設(shè)函數(shù)f(x)滿足：對任意的x1、x2∈R(x1≠x2)都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，則f(－3)與f(－π)的大小關(guān)系是______________．答案：f(－3)>f(－π)解析：由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，可知函數(shù)f(x)為增函數(shù)，又－3>－π，∴f(－3)>f(－π)．8．設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋(a－2)x－1在區(qū)間[2，＋∞)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的最小值為________．答案：－2解析：由題意，可得－eq\f(a－2,2)≤2，解得a≥－2，所以實數(shù)a的最小值為－2.9．函數(shù)f(x)的定義域為A，若x1，x2∈A，且f(x1)＝f(x2)時總有x1＝x2，則稱f(x)為單函數(shù)．例如，函數(shù)f(x)＝2x＋1(x∈R)是單函數(shù)，下列命題：①函數(shù)f(x)＝x2(x∈R)是單函數(shù)；②若f(x)為單函數(shù)，x1，x2∈A且x1≠x2，則f(x1)≠f(x2)；③若f：A→B為單函數(shù)，則對于任意b∈B，它至多有一個原像；④函數(shù)f(x)在某區(qū)間上具有單調(diào)性，則f(x)一定是單函數(shù)．其中真命題是_______．(寫出所有真命題的編號)答案：②③三、解答題：(共35分，11＋12＋12)10．討論當x>0時，f(x)＝x－eq\f(a,x)(a>0)的單調(diào)區(qū)間，并求當a＝3時，f(x)在[3,6]上的值域．解：設(shè)0<x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋(eq\f(a,x2)－eq\f(a,x1))＝(x1－x2)(1＋eq\f(a,x1x2))∵x2>x1>0，a>0∴1＋eq\f(a,x1x2)>0，x1－x2<0，f(x1)－f(x2)<0，f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．∴f(x)在[3,6]是遞增的．f(3)≤f(x)≤f(6)即f(x)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(11,2)))∴f(x)在[3,6]上值域[2，eq\f(11,2)]11．已知函數(shù)f(x)＝eq\r(x＋1).(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)求證：函數(shù)f(x)在定義域上是遞增的；(3)求函數(shù)f(x)的最小值．解：(1)要使函數(shù)有意義，自變量x的取值需滿足x＋1≥0，解得x≥－1，所以函數(shù)f(x)的定義域是[－1，＋∞)．(2)證明：設(shè)－1<x1<x2，則Δx＝x2－x1>0，f(x1)－f(x2)＝eq\r(x1＋1)－eq\r(x2＋1)＝eq\f(\r(x1＋1)＋\r(x2＋1)\r(x1＋1)－\r(x2＋1),\r(x1＋1)＋\r(x2＋1))＝eq\f(x1＋1－x2＋1,\r(x1＋1)＋\r(x2＋1))＝eq\f(x1－x2,\r(x1＋1)＋\r(x2＋1)).∵－1<x1<x2，∴x1－x2<0，eq\r(x1＋1)>0，eq\r(x2＋1)>0.∴f(x1)<f(x2)，即Δy＝f(x2)－f(x1)>0，∴函數(shù)f(x)在定義域上是遞增的．(3)∵函數(shù)f(x)在定義域[－1，＋∞)上是遞增的，∴f(x)≥f(－1)＝0，即函數(shù)f(x)的最小值是0.12．已知f(x)是定義在(0，＋∞)上的增函數(shù)，且滿足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(2)＝1.(1)求f(8)的值；(2)求不等式f(x)－f(x－2)>3的解集．解：(1)由題意，得f(8)＝f(4×2)＝f(4)＋f(2)＝f(2×2)＋f(2)＝3f(2)(2)原不等式可化為f(x)>3＋f(x－2)，∵f(8)＝3，∴3＋f(x－2)＝f(8)＋f(x－2)＝f(8(x－2))，∴f(x