高中數(shù)學(xué)蘇教版3第一章計數(shù)原理1．4計數(shù)應(yīng)用題 第1章計數(shù)應(yīng)用題

計數(shù)應(yīng)用題1．利用兩個基本計數(shù)原理、排列與組合，解決較為復(fù)雜的計數(shù)問題．(重點)2．掌握解決有限制條件的排列組合問題的思想、策略和方法．(難點)[小組合作型]可化為排數(shù)(隊)問題的計數(shù)問題(1)有五張卡片的正、反面上分別寫有0與1,2與3,4與5,6與7,8與9，將其中任三張并排放在一起組成三位數(shù)，共可以組成________個不同的三位數(shù)．(2)某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法有________種．(3)從集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3個元素分別作為直線方程Ax＋By＋C＝0中A，B，C，所得的經(jīng)過坐標(biāo)原點的直線有________條(用數(shù)字表示)．【精彩點撥】(1)法一(直接法)，分有“0,1”卡和無“0,1”卡兩類；法二(排除法)，去掉0在百位上的所有情形．(2)“插空法”分類求解．(3)C＝0，從{1,2,3,5,7,11}中任取兩個元素給A，B便可．【自主解答】(1)法一(直接法)：依“元素”分類，滿足條件的三位數(shù)有以下三類：①不要0與1的有Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(3,3)·23個；②要1不要0的有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)·22個；③要0不要1的有2Ceq\o\al(2,4)·22·Aeq\o\al(2,2)個．故共可組成不同的三位數(shù)：Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(3,3)·23＋Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)·22＋2Ceq\o\al(2,4)·22·Aeq\o\al(2,2)＝432(個)．法二(間接法)：把百位、十位、個位看作三個位置，從5張卡片中任選3張分別放到這三個位置上有Ceq\o\al(3,5)·Aeq\o\al(3,3)種，再正反面交換，有23種，故總數(shù)為Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(3,3)·23，其中0在百位上時不符合要求，有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)·22，故可得到不同的三位數(shù)Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(3,3)·23－Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)·22＝432(個)．(2)分兩類：(1)先排歌舞類有Aeq\o\al(3,3)＝6種排法，再將其余的三個節(jié)目插空．如圖所示，或者，此時有2Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)＝72種；(2)先排歌舞類有Aeq\o\al(3,3)＝6種排法，其余的兩個小品與相聲排法如圖△，或者△，有4Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,2)＝48，所以共有72＋48＝120種不同的排法．(3)因為直線過原點，所以C＝0，因此只需從{1,2,3,5,7,11}中任取兩個元素分別作為A，B便可，共有Aeq\o\al(2,6)種不同取法，對應(yīng)Aeq\o\al(2,6)＝30條不同直線．【答案】(1)432(2)120(3)301．本例(2)在求解時，常因注意不到“同類節(jié)目不相鄰”導(dǎo)致錯解或思維不全面．2．實際問題中某些安排、選派、選舉等問題，可以轉(zhuǎn)化為排隊問題求解，但要搞清特殊元素(或位置)選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄓ嫈?shù)．[再練一題]1．從1,3,5,7,9這五個數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別為a，b，共可得到lga－lgb的不同值的個數(shù)是________.【導(dǎo)學(xué)號：29440018】【解析】首先從1,3,5,7,9這五個數(shù)中任取兩個不同的數(shù)排列，共Aeq\o\al(2,5)＝20種排法，因為eq\f(3,1)＝eq\f(9,3)，eq\f(1,3)＝eq\f(3,9)，所以從1,3,5,7,9這五個數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別記為a，b，共可得到lga－lgb的不同值的個數(shù)是20－2＝18.【答案】18分組、分配問題中的計數(shù)問題有6本不同的書，按照以下要求處理，分別有多少種不同的分法：(1)將6本書分成三堆，一堆一本，一堆兩本，一堆三本；(2)將6本書分給三個人，甲得一本，乙得兩本，丙得三本；(3)將6本書分給三個人，一人一本，一人兩本，一人三本；(4)將6本書平均分給三個人，每人兩本．【精彩點撥】【自主解答】(1)不平均分組問題．先在6本書中任取一本，作為一堆，有Ceq\o\al(1,6)種取法，再從余下的5本書中任取兩本，作為一堆，有Ceq\o\al(2,5)種取法，最后從余下的三本中取三本作為一堆，有Ceq\o\al(3,3)種取法，故一共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60種不同的分法．(2)不平均定向分配問題．由(1)知，分成三堆的方法有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)種，而每種分組方法又僅對應(yīng)一種分配方法，故甲得一本，乙得兩本，丙得三本的方法也是Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60種．(3)不平均不定向分配問題．由(1)知，分為三堆的方法有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)種，但每種分組方法又有Aeq\o\al(3,3)種分配方法，故一人一本，一人兩本，一人三本的方法有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)＝360種．(4)平均分配問題．將6本書平均分給三個人時，三個人一個一個地來取書，甲從6本書中任取2本的方法有Ceq\o\al(2,6)種，甲不論用哪一種方法取得2本書后，乙再從余下的4本書中取2本，有Ceq\o\al(2,4)種方法，甲、乙不論用哪種方法各取兩本書后，丙從余下的2本書中取出2本書，有Ceq\o\al(2,2)種方法，所以一共有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝90種方法．1．本題屬于典型分配問題，(1)(2)屬于逐個分配，直接應(yīng)用分步計數(shù)原理．(3)采用先分組再分配的方法．2．解決此類問題要注意分組的各種類型的計算方法，對于分配問題，可以按要求逐個分配，也可先分組再分配．[再練一題]2．(1)在本例中，將6本書分給甲、乙、丙三個人，甲得四本，乙、丙兩人各一本，有多少種不同的分法？(2)在本例中，若6本書完全相同，分給甲、乙、丙三位同學(xué)，每人至少有一本，有多少種不同的分法？【解】(1)甲從6本書中任取4本的方法有Ceq\o\al(4,6)種，甲不論用哪一種方法取得4本書后，乙再從余下的2本書中取1本，有Ceq\o\al(1,2)種方法，甲、乙不論用哪種方法取書后，丙從余下的1本書中取出1本，有Ceq\o\al(1,1)種方法，所以一共有Ceq\o\al(4,6)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)＝30種方法．(2)(隔板法)：把6本書排成一排擺好如圖“○○○○○○”，因為書都相同，所以從中間的5個位置中隔上兩塊板，甲、乙、丙只要按從左到右的順序依次拿取相應(yīng)的書即可．所以共有Ceq\o\al(2,5)＝10種方法．[探究共研型]涂色中的計數(shù)問題探究在使相鄰區(qū)域涂色不相同時，應(yīng)采用什么計數(shù)原理進(jìn)行？【提示】在相鄰區(qū)域涂色不相同問題中，相鄰區(qū)域涂色時采用分步計數(shù)原理進(jìn)行，但不相鄰區(qū)域顏色可相同，因此又要用到分類計數(shù)原理．1423圖1-4-1用五種不同的顏色給圖1-4-1中的四個區(qū)域涂色，每個區(qū)域涂一種顏色．(1)共有多少種不同的涂色方法？(2)若要求相鄰(有公共邊)的區(qū)域不同色，那么共有多少種不同的涂色方法？【精彩點撥】(1)無限制條件的涂色問題，只要符合題意便可．(2)有限制條件的涂色問題，注意相鄰區(qū)域及對稱區(qū)域的顏色．【自主解答】(1)由于1至4號區(qū)域各有5種不同的涂法，故依分步計數(shù)原理知，不同的涂色方法有54＝625種．(2)第一類：1號區(qū)域與3號區(qū)域同色時，有5×4×1×4＝80種涂法．第二類：1號區(qū)域與3號區(qū)域異色時，有5×4×3×3＝180種涂法．依據(jù)分類計數(shù)原理知，不同的涂色方法有80＋180＝260種．1．涂色問題的基本要求是相鄰區(qū)域不同色，但是不相鄰的區(qū)域可以同色．因此一般以不相鄰區(qū)域同色，不同色為分類依據(jù)，相鄰區(qū)域可用分步涂色的辦法涂色．2．涂色問題往往涉及分類、分步計數(shù)原理的綜合應(yīng)用，因此，要找準(zhǔn)分類標(biāo)準(zhǔn)，兼顧條件的情況下分步涂色．[再練一題]3．如圖1-4-2所示的幾何體是由一個三棱錐PABC與三棱柱ABCA1B1C1組合而成的，現(xiàn)用3種不同顏色對這個幾何體的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相鄰的面均不同色，則不同的染色方案共有________種.【圖1-4-2【解析】先涂三棱錐PABC的三個側(cè)面，然后涂三棱柱的三個側(cè)面，由分步計數(shù)原理，共有3×2×1×2＝12(種)不同涂法．【答案】121．甲組有男同學(xué)5名，女同學(xué)3名，乙組有6名男同學(xué)，2名女同學(xué)，從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué)，則選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法有________種．【解析】第一類，選出的1名女生出自甲組，選法為Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,6)＝225(種)；第二類，1名女生出自乙組，選法為Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,2)＝120(種)．共有225＋120＝345(種)．【答案】3452．某公司招聘了8名員工，平均分配給下屬的甲、乙兩個部門，其中兩名英語翻譯人員不能分在同一個部門，另外三名電腦編程人員也不能全分在同一個部門，則不同的分配方案共有________種．【解析】第一步，先將兩名英語翻譯人員分到兩個部門，共有2種方法，第二步將3名電腦編程人員分成兩組，一組1人另一組2人，共有Ceq\o\al(1,3)種分法，然后再分到兩部門去共有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)種方法，第三步只需將其他3人分成兩組，一組1人另一組2人即可，由于是每個部門各4人，故分組后兩人所去的部門就已確定，故第三步共有Ceq\o\al(1,3)種方法．由分步計數(shù)原理得共有2Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3)＝36(種)分配方案．【答案】363．從10種不同的作物種子中選出6種放入6個不同的瓶子中展覽，如果甲、乙兩種種子不能放入1號瓶內(nèi)，那么不同的放法共有________種.【導(dǎo)學(xué)號：29440019】【解析】分步完成：第一步，從甲、乙以外的8種種子中選1種放入1號瓶內(nèi)；第二步，從剩下的9種種子中選5種放入余下的5個瓶子內(nèi)．故不同的放法種數(shù)為Ceq\o\al(1,8)Aeq\o\al(5,9)＝120960(種)．【答案】1209604．如果在一周內(nèi)(周一至周日)安排三所學(xué)校的學(xué)生參觀某展覽館，每天最多只安排一所學(xué)校，要求甲學(xué)校連續(xù)參觀兩天，其余學(xué)校均只參觀一天，那么不同的安排方法有________種．【解析】先安排甲學(xué)校的參觀時間，一周內(nèi)兩天連排的方法一共有6種：(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，任選一種為Ceq\o\al(1,6)，然后在剩下的5天中任選2天有序地安排其余兩所學(xué)校參觀，安排方法有Aeq\o\al(2,5)種，按照分步計數(shù)原理可知共有不同的安排方法Ceq\o\al(1,6)Aeq\o\al(2,5)＝120種．【答案】1205．有一排8個發(fā)光二極管，每個二極管點亮?xí)r可發(fā)出紅光或綠光，若每次恰有3個二極管點亮，但相鄰的兩個二極管不能同時點亮，根據(jù)這三個點亮的二極管的不同位置和不同顏色來表示不同的信息，求這排二極管能表示的信息種數(shù)共有多少種？【解】因為相鄰的兩個二極管不能同時點亮，所以需要把3個點亮的二極管插放在未點亮的5個二極管之間及兩端的6個空上，共有Ceq\o\al(3,6)種亮燈方法．然后分步確定每個二極管發(fā)光顏色有2×2×2＝8(種)方法，所以這排二極管能表示的信息種數(shù)共有Ceq\o\al(3,6