高中數(shù)學(xué)人教A版第二章點直線平面之間的位置關(guān)系 13

第9課時空間中直線與直線之間的位置關(guān)系課時目標(biāo)1.知道異面直線的定義、異面直線所成的角的定義．2．會表述空間兩條直線的位置關(guān)系，并會用符號或圖形把它們正確地表示出來．3．會運(yùn)用公理4和等角定理解決一些簡單問題．識記強(qiáng)化1．我們把不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線．2．空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；,平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；)),異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點.))3．公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．公理4表述的性質(zhì)通常叫做空間平行線的傳遞性，作用是判斷空間兩條直線平行的依據(jù)．4．定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)．5．異面直線所成的角：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，我們把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條直線互相垂直．兩條互相垂直的異面直線a，b，記作a⊥b.課時作業(yè)一、選擇題(每個5分，共30分)1．垂直于同一條直線的兩條直線()A．平行B．相交C．異面D．以上均有可能答案：D解析：如圖所示，當(dāng)a⊥l，b⊥l時，有如下情形：故選D.2．已知∠BAC＝∠B1A1C1，AB∥A1B1，則AC與A1A．相交B．異面C．平行D．以上均有可能答案：D解析：如圖所示，∠BAC＝∠B1A1C1，AB∥A1B1，由圖可知AC與A3．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝eq\r(3)，AA1＝eq\r(2)，則異面直線AC1與BB1所成的角為()A．30°B．45°C．60°D．90°答案：C解析：如圖，因為BB1∥AA1，所以∠A1AC1即為異面直線AC1與BB1所成的角．因為tan∠A1AC1＝eq\f(A1C1,AA1)＝eq\f(\r(\r(3)2＋\r(3)2),\r(2))＝eq\r(3)，所以∠A1AC1＝60°，故選C.4．E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD四邊的中點，則EG與FH的位置關(guān)系是()A．異面B．平行C．相交D．重合答案：C解析：由題意畫出圖后，易得EG，F(xiàn)H是平行四邊形EFGH的對角線．5．給出下列兩個關(guān)于異面直線的命題：命題(1)：若平面α內(nèi)的直線a與平面β內(nèi)的直線b為異面直線，直線c是α與β的交線，那么c至多與a，b中的一條相交；命題(2)：不存在這樣的無窮多條直線，它們中的任意兩條都是異面直線．那么()A．命題(1)正確，命題(2)不正確B．命題(2)正確，命題(1)不正確C．兩個命題都正確D．兩個命題都不正確答案：D解析：如圖所示，當(dāng)c與a，b都相交，但交點不是同一個點時，平面α內(nèi)的直線a與平面β內(nèi)的直線b為異面直線，因此命題(1)不正確；(2)可以取無窮多個平行平面，在每個平面內(nèi)取一條直線，且使這些直線兩兩不平行，則這些直線中任意兩條都是異面直線，因此命題(2)不正確．故答案為D.6．如圖，在四面體A－BCD中，M，N，P，Q，E分別是AB，BC，CD，AD，AC的中點，則下列說法中不正確的是()A．M，N，P，Q四點共面B．∠QME＝∠CBDC．△BCD∽△MEQD．四邊形MNPQ為梯形答案：D解析：由中位線定理，易知MQ∥BD，ME∥BC，QE∥CD，NP∥BD.對于A，有MQ∥NP，所以M，N，P，Q四點共面，故A說法正確；對于B，根據(jù)等角定理，得∠QME＝∠CBD，故B說法正確；對于C，由等角定理，知∠QME＝∠CBD，∠MEQ＝∠BCD，所以△BCD∽△MEQ，故C說法正確．由三角形的中位線定理，知MQ綊eq\f(1,2)BD，NP綊eq\f(1,2)BD，所以MQ綊NP，所以四邊形MNPQ為平行四邊形，故D說法不正確．二、填空題(每個5分，共15分)7．a(chǎn)?α，b?β，α∥β，則a與b的位置關(guān)系是________．答案：平行或異面解析：如圖：8．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，則∠PQR等于__________．答案：30°或150°解析：根據(jù)空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)．9．如圖，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________．答案：②④解析：①中GH∥MN；②中∵N∈平面HG，且M?平面HG，∴MN與GH異面；③中易證得HG與MN交于一點；同②理，④中GH與MN異面．三、解答題10．(12分)如圖，在三棱錐P－ABC中，G，H分別為PB，PC的中點，M，N分別為△PAB，△PAC的重心，且△ABC為等腰直角三角形，∠ABC＝90°.求證：GH∥MN.證明：如圖，取PA的中點Q，連接BQ，CQ，則M，N分別在BQ，CQ上．因為M，N分別為△PAB，△PAC的重心，所以eq\f(QM,MB)＝eq\f(QN,CN)＝eq\f(1,2)，則MN∥BC.又G，H分別為PB，PC的中點，所以GH∥BC，所以GH∥MN.11．(13分)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求(1)AA1與C1D1所成的角；(2)AA1與B1C所成的角(3)A1B與B1C所成的角解：(1)∵AA1∥DD1，∴∠DD1C1為異面直線AA1與C1D1所成的角，故AA1與C1D1(2)∵AA1∥BB1，∴∠BB1C即為所求的角故AA1與B1C(3)連結(jié)A1D，易證A1D∥B1C，∴∠BA1D即為所求連結(jié)BD，易知△BA1D為正三角形，∠BA1D＝60°，即A1B與B1C能力提升12．(5分)有一種多面體的飾品，其表面由6個正方形和8個正三角形組成(如圖)，AB與CD所成角的大小是________．答案：60°(或eq\f(π,3))解析：作出多面體的部分圖形，如圖，可知CD∥FG，AB∥EF，則AB與CD所成的角為∠EFG，∵△EFG為等邊三角形，∴∠EFG＝60°.13．(15分)在四棱錐A－BCDE中，底面四邊形BCDE為梯形，BC∥DE.設(shè)CD，BE，AE，AD的中點分別為M，N，P，Q.(1)求證：M，N，P，Q四點共面；(2)若AC⊥DE，且AC＝eq\r(3)BC，求異面直線DE與PN所成角的大?。猓?1)∵CD，BE，AE，AD的中點分別為M，N，P，Q，∴PQ為△ADE的中位線，MN為梯形BCDE的中位線．∴PQ∥DE，MN∥DE，∴PQ∥MN，∴M，N，P，Q四點共面．(2)