線性代數(shù)課程介紹

線性代數(shù)課程簡介一.教材與參考書線性代數(shù)數(shù)學實驗自編講義《線性代數(shù)及其應用》（第二版）王建軍主編上海交通大學出版社教材選用：課后上機材料：

線性代數(shù)是一門基礎數(shù)學課程,其核心內容是研究有限維線性空間的結構和線性變換.其理論和方法有著廣泛的應用.行列式矩陣線性方程組向量空間矩陣的特征值二次型1.教材內容:2.學習方法與要求;預習+課堂學習+討論+自學線性代數(shù)(LinearAlgebra)簡介加法與乘法被看成是代數(shù)系統(tǒng)中的一般運算。一.代數(shù):是指由字母或符號來研究數(shù)及其結構的科學。1.初等代數(shù)

代數(shù)的起源可以追溯至3000多年前的古埃及人和古巴比倫人。初期的代數(shù)主要源于解方程.我國古代的《九章算術》中就有方程問題。初等代數(shù)研究的對象:代數(shù)式的運算和方程的求解。整式、分式和根式是初等代數(shù)的三大類代數(shù)式。

四則運算，乘方和開方運算,通常稱為初等代數(shù)的代數(shù)運算.初等代數(shù)的十條規(guī)則:(1)五條基本運算律：加法交換律、加法結合律、乘法交換律、乘法結合律、分配律；(2)兩條等式基本性質:等式兩邊同時加上一個數(shù)，等式不變；等式兩邊同時乘以一個非零的數(shù)，等式不變；(3)三條指數(shù)律：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加；指數(shù)的乘方等于底數(shù)不變指數(shù)相乘；

積的乘方等于乘方的積。人們在解方程的研究過程中發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)、負數(shù)和復數(shù)，從而使數(shù)的概念得到了擴充。2、代數(shù)的基本定理1799年高斯（Gauss）證明：復數(shù)域上任意一個一元n次（n>0）方程任何一個一元n次方程在復數(shù)域上有且僅有n個根（重根按重數(shù)計算）至少有個根,這就是說,至少有個復數(shù)x滿足這個等式；3.多項式方程的代數(shù)解問題方程的代數(shù)解是指:方程經過有限次代數(shù)運算得到的解。例如：的解.

，，

阿貝爾（Abel）(1802～1829)證明了五次方程不可能有代數(shù)解4、方程根與系數(shù)的關系韋達定理:設一元二次方程在復數(shù)域上的兩個根為,則有一般地:設在復數(shù)域上的n個根為,則有…2.高等代數(shù)1832年法國數(shù)學家伽羅瓦運用“群”的思想徹底解決了用根式求解代數(shù)方程的可能性,由此代數(shù)轉變成為研究代數(shù)運算結構的科學.二.線性代數(shù)“線性”的含義是指未知量的一次式。

例如:y=ax表示變量y是變量x的一個線性函數(shù)，y=ax1+bx2表示變量y是x1，x2的線性關系。一個線性表示不能包含諸如x2和x1x2的二次項，這些二次項是非線性的。線性代數(shù)的研究對象:線性方程組、線性空間和線性變換。行列式和矩陣的是線性代數(shù)的兩個重要工具.1、求解線性方程組例1：明代程大為著的《算法統(tǒng)宗》中記載：100個和尚分100個饅頭。大和尚一人3個，小和尚3人一個，剛好分完。問大、小和尚各多少人？解：設有大和尚x人，小和尚y人，于是有用代入法求得：，代入，解出：例2：中國古代算書《張丘建算經》記載百雞問題：公雞每只值五文錢，母雞每只值三文錢，小雞三只值一文錢，現(xiàn)在用一百文錢買一百只雞，問：在這一百雞中，公雞、母雞、小雞各有多少只？解：設有公雞x只，母雞y只，小雞z只，則有有（2）×3－（1）得

因為y是整數(shù)，可設代入得：又y>0,可知k=1,2,3,由此得或或例:總收入問題某地區(qū)有1個工廠,生產甲,乙,丙3種產品,xi(i=1,2,3),表示工廠生產這3種產品的數(shù)量,ai(i=1,2,3)表示第i種產品的單價,y表示這3種產品的總收入,則有:若某地區(qū)有1,2,3,4個工廠,生產甲,乙,丙3種產品,xki(k=1,2,3,4;i=1,2,3)是k工廠生產i種產品的數(shù)量,ai(i=1,2,3)表示i種產品的單價,yk表示k工廠的總收入,則有:2、線性代數(shù)的數(shù)學模型在一個經濟系統(tǒng)中,一個企業(yè)既是生產者又是消費者,作為生產者,它有產出,作為消費者它有投入,企業(yè)之間的這種平衡關系可以用一系列的線性方程組來表示,這就是列昂節(jié)夫(諾貝爾經濟學獎獲得者)的投入產出數(shù)學模型.例全球定位系統(tǒng)GPS

要想知道卡車在公路上行駛時的位置可利用GPS系統(tǒng).這個系統(tǒng)是由24顆高軌道衛(wèi)星組成,卡車從其中3顆衛(wèi)星接受信號,接受器里的軟件利用線性代數(shù)方法來確定卡車的位置.

當卡車和一顆衛(wèi)星聯(lián)系時,接受器從信號往返的時間能確定卡車到衛(wèi)星的距離,例如14000公里,從衛(wèi)星來看,知道卡車位于以衛(wèi)星為球心,半徑為14000公里的球面上的某地.設卡車位置(x,y,z),第一顆衛(wèi)星位置(a1,b1,c1)即同理假設第2,3顆衛(wèi)星的位置分別是(a2,b2,c2)和(a3,b3,c3)距卡車的距離分別是17000和16000公里,則有這些關系式不是線性關系式,要求(x,y,z)由(1)減(2),(3)得:例:動畫問題動畫設計中常常用到坐標變換如:平移旋轉等設平面上的點為(x,y)平移變換后為則:設平面上的點為(x,y)旋轉變換后為則:(x,y)αθr§1n階行列式的定義的主要內容是:一.2階行列式和3階行列式的定義(一)2階行列式的定義(二)3階行列式的定義二.n階行列式的定義行列式簡介行列式出現(xiàn)于線性方程組的求解。

它是數(shù)學語言上的改革,它的簡化的記法常常是深奧理論的源泉。

———P.S.Laplace是一種速記表達式.行列式的概念最早是由十七世紀日本數(shù)學家關孝和提出來的(1683年)

Vandermonde首次對行列式理論進行系統(tǒng)的闡述成為行列式理論的奠基人.用消元法解二元線性方程組一.2階行列式和3階行列式的定義(一)2階行列式的定義方程組的解為由方程組的四個系數(shù)確定.

由四個數(shù)排成二行二列（橫排稱行、豎排稱列）的數(shù)表定義即主對角線副對角線對角線法則二階行列式的計算若記對于二元線性方程組系數(shù)行列式則二元線性方程組的解為注意

分母都為原方程組的系數(shù)行列式.例1解(二)三階行列式的定義解三元一次方程組由（1）（2）消x3,同理（1）（3）消x3得由二元一次方程組可知:若系數(shù)行列式:即:那么:三元線性方程組:若系數(shù)行列式不等于零,有解:(二)三階行列式的定義定義記（1）式稱為數(shù)表所確定的三階行列式.(1)沙路法三階行列式的計算.列標行標(2)對角線法則注意

紅線上三元素的乘積冠以正號，藍線上三元素的乘積冠以負號．說明

對角線法則只適用于二階與三階行列式．

例

解按對角線法則，有二.四階行列式與n階行列式的定義不適用對角線定義.1+1×三階行列式的沙路法和對角線法不適用四階行列式二.四階行列式與n階行列式的定義例:求x4=?(1)(2)(3)(4)由(2)+(3)得:得:103觀察2階和3階行列式:=?三階行列式:+1232313121322133210個2個2個偶排列1個1個3個奇排列記:為排列的逆序數(shù)總數(shù).規(guī)定=行列式的一般項定義.補充說明:行列式的一般項定義中列標可按自然順序排列.例如:n階行列式的一般項定義行列式的一般項簡記其中aij是行列式的元數(shù).例1計算對角行列式分析展開式中一般項中的元素積:所以只能等于,同理可得解即行列式中不為零的項為例如3或2階行列式的按第1行展開式歸納如下:四階行列式與n階行列式按行展開式定義.按照這一規(guī)律觀察2階:=規(guī)定:在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，留下來的階行列式叫做元素的余子式，記作叫做元素的代數(shù)余子式．例如

的余子式和代數(shù)余子式1.余子式與代數(shù)余子式

的余子式和代數(shù)余子式定義:由n2個數(shù)aij(ij=1,2,…n)組成的n階行列式n階行列式按第1行展開的定義是一個算式.當n=1時,定義D=當n≥2時,定義為其中:例1=40按第1行的元素展開例:利用行列式的按第1行展開定義證明:證明:對n