高中數(shù)學蘇教版2第一章導數(shù)及其應用 省賽獲獎

學業(yè)分層測評(四)(建議用時：45分鐘)學業(yè)達標]一、填空題1．函數(shù)y＝－2exsinx的導數(shù)y′＝________.【解析】y′＝(－2ex)′sinx＋(－2ex)·(sinx)′＝－2exsinx－2excosx＝－2ex(sinx＋cosx)．【答案】－2ex(sinx＋cosx)2．函數(shù)f(x)＝xe－x的導數(shù)f′(x)＝________.【解析】f′(x)＝x′·e－x＋x(e－x)′＝e－x－xe－x＝(1－x)e－x.【答案】(1－x)e－x3．函數(shù)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))，則f′(3π)＝________.【解析】因為f′(x)＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))′＝－eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))，所以f′(3π)＝－eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－\f(π,4)))＝－eq\f(1,2)sineq\f(5π,4)＝eq\f(\r(2),4).【答案】eq\f(\r(2),4)4．曲線C：f(x)＝ex＋sinx＋1在x＝0處的切線方程是________．【解析】∵f′(x)＝ex＋cosx，∴k＝f′(0)＝2，切點為(0,2)，切線方程為y＝2x＋2.【答案】y＝2x＋25．(2023·東營高二檢測)設函數(shù)f(x)的導數(shù)為f′(x)，且f(x)＝x2＋2x·f′(1)，則f′(0)＝________.【解析】f′(x)＝2x＋2f′(1)，令x＝1，則f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2，∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.【答案】－46．(2023·佛山高二檢測)若曲線y＝kx＋lnx在點(1，k)處的切線平行于x軸，則k＝________.【解析】y′＝k＋eq\f(1,x)，則曲線在點(1，k)處的切線的斜率為k＋1，∴k＋1＝0，∴k＝－1.【答案】－17．已知直線y＝x＋1與曲線y＝ln(x＋a)相切，則a的值為________．【解析】設直線y＝x＋1與曲線y＝ln(x＋a)的切點為(x0，y0)，則y0＝x0＋1，y0＝ln(x0＋a)．又y′＝eq\f(x＋a′,x＋a)＝eq\f(1,x＋a)及導數(shù)的幾何意義，∴eq\f(1,x0＋a)＝1，即x0＋a＝1.因此，y0＝ln(x0＋a)＝0，∴x0＝－1，∴a＝2.【答案】28．(2023·廣州高二檢測)若函數(shù)為y＝sin4x－cos4x，則y′＝________________.【解析】∵y＝sin4x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)·(sin2x－cos2x)＝－cos2x，∴y′＝(－cos2x)′＝－(－sin2x)·(2x)′＝2sin2x.【答案】2sin2x二、解答題9．求下列函數(shù)的導數(shù)．(1)y＝eq\r(1－2x2)；(2)y＝esinx；(3)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))；(4)y＝5log2(2x＋1)．【解】(1)設y＝u，u＝1－2x2，則y′＝(u)′(1－2x2)′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)u－\f(1,2)))·(－4x)＝eq\f(1,2)(1－2x2)(－4x)＝eq\f(－2x,\r(1－2x2)).(2)設y＝eu，u＝sinx，則yx′＝y(tǒng)u′·ux′＝eu·cosx＝esinxcosx.(3)設y＝sinu，u＝2x＋eq\f(π,3)，則yx′＝y(tǒng)u′·ux′＝cosu·2＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).(4)設y＝5log2u，u＝2x＋1，則y′＝y(tǒng)u′·ux′＝eq\f(10,uln2)＝eq\f(10,2x＋1ln2).10．求曲線y＝2sin2x在點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))處的切線方程．【解】因為y′＝(2sin2x)′＝2×2sinx×(sinx)′＝2×2sinx×cosx＝2sin2x，所以y′|x＝eq\f(π,6)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,6)))＝eq\r(3).所以過點P的切線方程為y－eq\f(1,2)＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))，即eq\r(3)x－y＋eq\f(1,2)－eq\f(\r(3)π,6)＝0.能力提升]1．若f(x)＝eq\f(sinx,sinx＋cosx)，則f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))等于________．【解析】∵f′(x)＝eq\f(cosxsinx＋cosx－sinxcosx－sinx,sinx＋cosx2)＝eq\f(1,sinx＋cosx2)＝eq\f(1,1＋sin2x)，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq\f(1,1＋sin\f(π,2))＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)2．(2023·江西高考)若曲線y＝xlnx上點P處的切線平行于直線2x－y＋1＝0，則點P的坐標是________.【導學號：01580010】【解析】令f(x)＝xlnx，則f′(x)＝lnx＋1，設P(x0，y0)，則f′(x0)＝lnx0＋1＝2，∴x0＝e，此時y0＝elne＝e，∴點P的坐標為(e，e)．【答案】(e，e)3．已知函數(shù)y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線為y＝2x－1，則函數(shù)g(x)＝x2＋f(x)在(2，g(2))處的切線方程為________．【解析】由題意知，f(2)＝3，f′(2)＝2，則g(2)＝4＋f(2)＝7.∵g′(x)＝2x＋f′(x)，∴g′(2)＝4＋f′(2)＝6.∴函數(shù)g(x)在(2，g(2))處的切線方程為y－7＝6×(x－2)，即6x－y－5＝0.【答案】6x－y－5＝04．已知函數(shù)f(x)＝x－1＋eq\f(a,ex)(a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù))．(1)若曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線平行于x軸，求a的值；(2)當a＝1時，若直線l：y＝kx－1與曲線y＝f(x)相切，求l的直線方程．【解】(1)f′(x)＝1－eq\f(a,ex)，因為曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線平行于x軸，所以f′(1)＝1－eq\f(a,e)＝0，解得a＝e.(2)當a＝1時，f(x)＝x－1＋eq\f(1,ex)，f