高中數(shù)學人教A版2第一章導數(shù)及其應用定積分的概念 全國公開課

1.5定積分的概念第二課時定積分的定義一、課前準備1.課時目標1.借助幾何圖形直觀體會定積分的基本思想，初步了解定積分的概念；2.會用定積分的幾何意義求積分值；3.能熟練應用定積分的性質(zhì)解題。2.基礎預探1.如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，用分點將區(qū)間[a，b]等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上任取一點ξi(i＝1,2，…，n)，作和式________，當n→∞時，上述和式無限接近于某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的________，記作________，即________，區(qū)間[a，b]叫做________，函數(shù)f(x)叫做________.2．當f(x)≥0時，定積分eq\i\in(a,b,)f(x)dx表示由________所圍成的曲邊梯形的________.當f(x)≤0時，eq\i\in(a,b,)f(x)dx是________(填“正數(shù)”或“負數(shù)”)．3．(1)eq\i\in(a,b,)kf(x)dx＝________(k為常數(shù))；(2)eq\i\in(a,b,)[f1(x)±f2(x)]dx＝________；(3)eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝________(a<c<b)．二、學習引領1.定積分含義的理解求曲邊梯形的面積與變速直線運動物體的路程，一個是幾何問題，一個是物理問題，盡管問題的背景不同，所要解決的問題也不相同，但是反映在本質(zhì)上，都利用了“分割-----代替----求和-------取極限”這種方法，體現(xiàn)了由曲化直，由變轉化不變的思想．若拋開問題的具體意義，抓住它們在數(shù)量關系以及思想方法上共同的本質(zhì)特征加以概括，抽象出其中的數(shù)學思想并且形成概念，這樣就得到了定積分的定義．2.定積分應注意問題(1)定積分eq\i\in(a,b,)f(x)dx是“和式”的極限值，它的值取決于被積函數(shù)f(x)的積分上限、下限，而與積分變量用什么字母表示無關，即eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝eq\i\in(a,b,)f(u)du＝eq\i\in(a,b,)f(t)dt＝…．(2)當定積分的上限和下限相同時，定積分的值為零；當交換定積分的上限和下限時，定積分的絕對值相同，只相差一個負號．在定積分eq\i\in(a,b,)f(x)dx的定義中，總是假設a<b，而當a＝b及a>b時，不難驗證，eq\i\in(a,a,)f(x)dx＝0，eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝－eq\i\in(b,a,)f(x)dx.(3)定積分的值可以是正數(shù)、零或負數(shù)，定積分的值也不一定等于曲邊梯形的面積．3.函數(shù)的奇偶性與定積分的關系根據(jù)定積分的幾何意義知，若f(x)是區(qū)間[－a，a](a>0)上的連續(xù)函數(shù)，則(1)當f(x)是偶函數(shù)時，eq\i\in(-a,a,)f(x)dx＝2eq\i\in(0,a,)f(x)dx;(2)當f(x)是奇函數(shù)時，eq\i\in(-a,a,)f(x)dx＝0.三、典例導析題型一利用定積分定義求值例1利用定積分定義，計算eq\i\in(1,2,)(3x＋2)dx的值．思路導析：類似于上節(jié)的問題，本題需分割、以直代曲(近似代替)、求和、取極限四個步驟解決．解析：（1）令f(x)＝3x＋2，在區(qū)間[1,2]上等間隔地插入n－1個分點，把區(qū)間[1,2]等分成n個小區(qū)間[eq\f(n＋i－1,n)，eq\f(n＋i,n)](i＝1,2，…，n)。每個小區(qū)間的長度為Δx＝eq\f(n＋i,n)－eq\f(n＋i－1,n)＝eq\f(1,n)。（2），則eq\i\in(1,2,)(3x＋2)dx≈=（3）eq\i\in(1,2,)(3x＋2)dx∴所求曲邊梯形的面積為.歸納總結：利用定義求定積分的步驟是“分割、近似代替，求和、取極限”，整理式子是解決這類問題容易出錯的地方，應多加注意．變式訓練：利用定積分的定義，計算eq\i\in(0,2,)x2dx的值．題型二應用定積分幾何意義的求積分值例2用定積分的幾何意義求下列各式的值：(1)(2)（3）思路導析：求解本題應先做出被積函數(shù)的圖象，再找到相應的積分的圖形，計算出面積即可。解：（1）由可知，其圖像如圖。等于圓心角為的弓形CDE的面積與矩形ABCD的面積之和。S弓形＝eq\f(1,2)×eq\f(π,3)×22－eq\f(1,2)×2×2sineq\f(π,3)＝eq\f(2π,3)－eq\r(3)，S矩形＝AB·BC＝2eq\r(3)，∴=2eq\r(3)+eq\f(2π,3)－eq\r(3)=eq\f(2π,3)+eq\r(3).(2)∵函數(shù)y=sinx在x∈上是奇函數(shù)，∴=0.(3)函數(shù)y＝1＋sinx的圖象如圖所示，∴歸納總結：利用定積分的幾何意義求定積分就必須準確理解其幾何意義，同時要合理利用函數(shù)的奇偶性、對稱性來解決問題，運用數(shù)形結合法是關鍵．變式訓練：用定積分的幾何意義求下列各式的值：(1)eq\i\in(0,1,)eq\r(1－x2)dx(2)（3）題型三定積分性質(zhì)的應用例3計算定積分eq\i\in(0,1,)(x＋1)(x－3)dx.思路導析：將此復雜的積分函數(shù)展開，利用積分的性質(zhì)分解為多個簡單的積分函數(shù)的問題求解。解析：(1)∵eq\i\in(0,1,)(x＋1)(x－3)dx＝eq\i\in(0,1,)(x2－2x－3)dx＝eq\i\in(0,1,)x2dx－2eq\i\in(0,1,)xdx－eq\i\in(0,1,)3dx，利用定積分的定義求得eq\i\in(0,1,)x2dx＝eq\f(1,3)，eq\i\in(0,1,)xdx＝eq\f(1,2)，eq\i\in(0,1,)3dx＝3，∴eq\i\in(0,1,)(x＋1)(x－3)＝eq\f(1,3)－2×eq\f(1,2)－3＝－eq\f(11,3).歸納總結：利用積分的性質(zhì)可以將復雜的積分問題轉化為簡單的積分的加減乘除問題解決。變式訓練：已知eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x)dx＝ln2，求證：eq\i\in(1,2,)(1＋eq\f(1,x))(2－x)dx＝lneq\f(4,\r(e)).四、隨堂練習1.設函數(shù)f(x)>0，則當a<b時，定積分eq\i\in(a,b,)f(x)dx的符號()A．一定是正的B．一定是負的C．當0<a<b時是正的，當a<b<0時是負的D．以上結論都不對2．定積分eq\i\in(1,3,)(－3)dx等于()A．－6 B．6C．－3 D．33.已知eq\i\in(1,3,)f(x)dx＝56，則()A.eq\i\in(1,2,)f(x)dx＝28 B.eq\i\in(2,3,)f(x)dx＝28C.eq\i\in(1,2,)2f(x)dx＝56 D.eq\i\in(1,2,)f(x)dx＋eq\i\in(2,3,)f(x)dx＝564.eq\i\in(0,6,)(2x－4)dx＝________.5.計算eq\i\in(-1,1,)x5dx＝________.6．已知eq\i\in(a,b,)[f(x)＋g(x)]dx＝12，eq\i\in(a,b,)g(x)dx＝6，求eq\i\in(a,b,)3f(x)dx.五、課后作業(yè)1.eq\i\in(0,1,)xdx與eq\i\in(0,1,)x2dx的大小關系是()A.eq\i\in(0,1,)xdx＝eq\i\in(0,1,)x2dxB．(eq\i\in(0,1,)xdx)2＝eq\i\in(0,1,)x2dxC.eq\i\in(0,1,)xdx>eq\i\in(0,1,)x2dxD.eq\i\in(0,1,)xdx<eq\i\in(0,1,)x2dx2．下列值等于1的是()A.eq\i\in(0,1,)xdx B.eq\i\in(0,1,)(x＋1)dxC.eq\i\in(0,1,)1dx D.eq\i\in(0,1,)eq\f(1,2)dx3．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2(x≥0)，,2x(x<0)，))則eq\i\in(-1,1,)f(x)dx的值是________4．若,則由直線x＝0，x＝π，曲線y＝sinx及x軸圍成的圖形的面積為________．5．利用定積分的幾何意義，說明下列等式．(1)eq\i\in(0,1,)2xdx=1(2)eq\i\in(-1,1,)eq\r(1－x2)dx＝eq\f(π,2)6．已知eq\i\in(0,e,)xdx＝eq\f(e2,2)，eq\i\in(0,e,)x3dx＝eq\f(e4,4)，計算下列定積分：(1)eq\i\in(0,e,)(2x＋x3)dx；(2)eq\i\in(0,e,)(2x3－x)dx.參考答案一、課前準備2.基礎預探1.f(ξi)Δx＝eq\f(b－a,n)f(ξi)定積分eq\i\in(a,b,)f(x)dxeq\i\in(a,b,)f(x)dx＝eq\f(b－a,n)f(ξi)積分區(qū)間被積函數(shù)2.直線x＝a，x＝b，y＝0和曲線y＝f(x)面積負數(shù)3.keq\i\in(a,b,)f(x)dxeq\i\in(a,b,)f1(x)dx±eq\i\in(a,b,)f2(x)dxeq\i\in(a,c,)f(x)dx＋eq\i\in(c,b,)f(x)dx三、典例導析例1變式訓練解：（1）令f(x)＝x2.將區(qū)間[0,2]等分成n個小區(qū)間，則第i個小區(qū)間為[eq\f(2(i－1),n)，eq\f(2i,n)]，第i個小區(qū)間的面積ΔSi≈f(eq\f(2(i－1),n))·eq\f(2,n).（2）eq\i\in(0,2,)x2dx≈、=（3）eq\i\in(0,2,)x2dx∴所求曲邊梯形的面積為.例2變式訓練解析：(1)由y＝eq\r(1－x2)得x2＋y2＝1(y≥0)，其圖象是圓心為原點，半徑為1的圓的eq\f(1,4)部分．∴eq\i\in(0,1,)eq\r(1－x2)dx＝eq\f(1,4)π·12＝eq\f(1,4)π.(2)由函數(shù)y＝cosx，x∈[0,2π]的圖象的對稱性(如圖)知，x軸上方的圖像和下方的圖像完全相同，因此＝0.(3)∵函數(shù)y＝sin7x＋x3在x∈[－π，π]上是奇函數(shù)，∴＝0.例3變式訓練證明：∵eq\i\in(1,2,)(1＋eq\f(1,x))(2－x)dx＝eq\i\in(1,2,)(1－x＋eq\f(2,x))dx＝eq\i\in(1,2,)1dx－eq\i\in(1,2,)xdx＋2eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x)dx.又eq\i\in(1,2,)1dx＝1，eq\i\in(1,2,)xdx＝eq\f(3,2)，eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x)dx＝ln2，∴eq\i\in(1,2,)(1＋eq\f(1,x))(2－x)dx＝1－eq\f(3,2)＋2ln2＝－eq\f(1,2)＋ln4＝lneq\f(1,\r(e))＋ln4＝lneq\f(4,\r(e)).四、隨堂練習1．解析：由定積分的幾何意義可知選A.答案：A2．解析：由積分的幾何意義可知eq\i\in(1,3,)(－3)dx表示由x＝1，x＝3，y＝0及y＝－3所圍成的矩形面積的相反數(shù)，故eq\i\in(1,3,)(－3)dx＝－6.答案：A3.解析：由y＝f(x)，x＝1，x＝3及y＝0圍成的曲邊梯形可分拆成兩個：由y＝f(x)，x＝1，x＝2及y＝0圍成的曲邊梯形和由y＝f(x)，x＝2，x＝3及y＝0圍成的曲邊梯形．∴eq\i\in(1,3,)f(x)dx＝eq\i\in(1,2,)f(x)dx＋eq\i\in(2,3,)f(x)dx即eq\i\in(1,2,)f(x)dx＋eq\i\in(2,3,)f(x)dx＝56.故應選D.答案：D4.解析：如圖A(0，－4)，B(6,8)S△AOM＝eq\f(1,2)×2×4＝4，S△MBC＝eq\f(1,2)×4×8＝16?！鄀q\i\in(0,6,)(2x－4)dx＝16－4＝12.答案：125.解析：因為y=x5是奇函數(shù)，其圖像關于原點對稱，所以eq\i\in(-1,1,)x5dx=eq\i\in(-1,0,)x5dx+eq\i\in(0,1,)x5dx=0答案：06．解：∵eq\i\in(a,b,)f(x)dx＋eq\i\in(a,b,)g(x)dx＝eq\i\in(a,b,)[f(x)＋g(x)]dx，∴eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝12－6＝6.∴eq\i\in(a,b,)3f(x)dx＝3eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝3×6＝18.五、課后作業(yè)1.解析：當0<x<1時，x>x2>0，由定積分的幾何意義得eq\i\in(0,1,)xdx>eq\i\in(0,1,)x2dx>0.答案：C2．答案：C3．解析：由定積分性質(zhì)(3)求f(x)在區(qū)間[－1,1]上的定積分，可以通過求f(x)在區(qū)間[－1,0]與[0,1]上的定積分來實現(xiàn)，eq\i\in(-1,1,)f(x)dx=eq\i\in(-1,0,)f(x)dx+eq\i\in(0,1,)f(x)dx=eq\i\