版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡介
1.5定積分的概念第二課時(shí)定積分的定義一、課前準(zhǔn)備1.課時(shí)目標(biāo)1.借助幾何圖形直觀體會(huì)定積分的基本思想,初步了解定積分的概念;2.會(huì)用定積分的幾何意義求積分值;3.能熟練應(yīng)用定積分的性質(zhì)解題。2.基礎(chǔ)預(yù)探1.如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),用分點(diǎn)將區(qū)間[a,b]等分成n個(gè)小區(qū)間,在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)ξi(i=1,2,…,n),作和式________,當(dāng)n→∞時(shí),上述和式無限接近于某個(gè)常數(shù),這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的________,記作________,即________,區(qū)間[a,b]叫做________,函數(shù)f(x)叫做________.2.當(dāng)f(x)≥0時(shí),定積分eq\i\in(a,b,)f(x)dx表示由________所圍成的曲邊梯形的________.當(dāng)f(x)≤0時(shí),eq\i\in(a,b,)f(x)dx是________(填“正數(shù)”或“負(fù)數(shù)”).3.(1)eq\i\in(a,b,)kf(x)dx=________(k為常數(shù));(2)eq\i\in(a,b,)[f1(x)±f2(x)]dx=________;(3)eq\i\in(a,b,)f(x)dx=________(a<c<b).二、學(xué)習(xí)引領(lǐng)1.定積分含義的理解求曲邊梯形的面積與變速直線運(yùn)動(dòng)物體的路程,一個(gè)是幾何問題,一個(gè)是物理問題,盡管問題的背景不同,所要解決的問題也不相同,但是反映在本質(zhì)上,都利用了“分割-----代替----求和-------取極限”這種方法,體現(xiàn)了由曲化直,由變轉(zhuǎn)化不變的思想.若拋開問題的具體意義,抓住它們在數(shù)量關(guān)系以及思想方法上共同的本質(zhì)特征加以概括,抽象出其中的數(shù)學(xué)思想并且形成概念,這樣就得到了定積分的定義.2.定積分應(yīng)注意問題(1)定積分eq\i\in(a,b,)f(x)dx是“和式”的極限值,它的值取決于被積函數(shù)f(x)的積分上限、下限,而與積分變量用什么字母表示無關(guān),即eq\i\in(a,b,)f(x)dx=eq\i\in(a,b,)f(u)du=eq\i\in(a,b,)f(t)dt=….(2)當(dāng)定積分的上限和下限相同時(shí),定積分的值為零;當(dāng)交換定積分的上限和下限時(shí),定積分的絕對值相同,只相差一個(gè)負(fù)號(hào).在定積分eq\i\in(a,b,)f(x)dx的定義中,總是假設(shè)a<b,而當(dāng)a=b及a>b時(shí),不難驗(yàn)證,eq\i\in(a,a,)f(x)dx=0,eq\i\in(a,b,)f(x)dx=-eq\i\in(b,a,)f(x)dx.(3)定積分的值可以是正數(shù)、零或負(fù)數(shù),定積分的值也不一定等于曲邊梯形的面積.3.函數(shù)的奇偶性與定積分的關(guān)系根據(jù)定積分的幾何意義知,若f(x)是區(qū)間[-a,a](a>0)上的連續(xù)函數(shù),則(1)當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí),eq\i\in(-a,a,)f(x)dx=2eq\i\in(0,a,)f(x)dx;(2)當(dāng)f(x)是奇函數(shù)時(shí),eq\i\in(-a,a,)f(x)dx=0.三、典例導(dǎo)析題型一利用定積分定義求值例1利用定積分定義,計(jì)算eq\i\in(1,2,)(3x+2)dx的值.思路導(dǎo)析:類似于上節(jié)的問題,本題需分割、以直代曲(近似代替)、求和、取極限四個(gè)步驟解決.解析:(1)令f(x)=3x+2,在區(qū)間[1,2]上等間隔地插入n-1個(gè)分點(diǎn),把區(qū)間[1,2]等分成n個(gè)小區(qū)間[eq\f(n+i-1,n),eq\f(n+i,n)](i=1,2,…,n)。每個(gè)小區(qū)間的長度為Δx=eq\f(n+i,n)-eq\f(n+i-1,n)=eq\f(1,n)。(2),則eq\i\in(1,2,)(3x+2)dx≈=(3)eq\i\in(1,2,)(3x+2)dx∴所求曲邊梯形的面積為.歸納總結(jié):利用定義求定積分的步驟是“分割、近似代替,求和、取極限”,整理式子是解決這類問題容易出錯(cuò)的地方,應(yīng)多加注意.變式訓(xùn)練:利用定積分的定義,計(jì)算eq\i\in(0,2,)x2dx的值.題型二應(yīng)用定積分幾何意義的求積分值例2用定積分的幾何意義求下列各式的值:(1)(2)(3)思路導(dǎo)析:求解本題應(yīng)先做出被積函數(shù)的圖象,再找到相應(yīng)的積分的圖形,計(jì)算出面積即可。解:(1)由可知,其圖像如圖。等于圓心角為的弓形CDE的面積與矩形ABCD的面積之和。S弓形=eq\f(1,2)×eq\f(π,3)×22-eq\f(1,2)×2×2sineq\f(π,3)=eq\f(2π,3)-eq\r(3),S矩形=AB·BC=2eq\r(3),∴=2eq\r(3)+eq\f(2π,3)-eq\r(3)=eq\f(2π,3)+eq\r(3).(2)∵函數(shù)y=sinx在x∈上是奇函數(shù),∴=0.(3)函數(shù)y=1+sinx的圖象如圖所示,∴歸納總結(jié):利用定積分的幾何意義求定積分就必須準(zhǔn)確理解其幾何意義,同時(shí)要合理利用函數(shù)的奇偶性、對稱性來解決問題,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法是關(guān)鍵.變式訓(xùn)練:用定積分的幾何意義求下列各式的值:(1)eq\i\in(0,1,)eq\r(1-x2)dx(2)(3)題型三定積分性質(zhì)的應(yīng)用例3計(jì)算定積分eq\i\in(0,1,)(x+1)(x-3)dx.思路導(dǎo)析:將此復(fù)雜的積分函數(shù)展開,利用積分的性質(zhì)分解為多個(gè)簡單的積分函數(shù)的問題求解。解析:(1)∵eq\i\in(0,1,)(x+1)(x-3)dx=eq\i\in(0,1,)(x2-2x-3)dx=eq\i\in(0,1,)x2dx-2eq\i\in(0,1,)xdx-eq\i\in(0,1,)3dx,利用定積分的定義求得eq\i\in(0,1,)x2dx=eq\f(1,3),eq\i\in(0,1,)xdx=eq\f(1,2),eq\i\in(0,1,)3dx=3,∴eq\i\in(0,1,)(x+1)(x-3)=eq\f(1,3)-2×eq\f(1,2)-3=-eq\f(11,3).歸納總結(jié):利用積分的性質(zhì)可以將復(fù)雜的積分問題轉(zhuǎn)化為簡單的積分的加減乘除問題解決。變式訓(xùn)練:已知eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x)dx=ln2,求證:eq\i\in(1,2,)(1+eq\f(1,x))(2-x)dx=lneq\f(4,\r(e)).四、隨堂練習(xí)1.設(shè)函數(shù)f(x)>0,則當(dāng)a<b時(shí),定積分eq\i\in(a,b,)f(x)dx的符號(hào)()A.一定是正的B.一定是負(fù)的C.當(dāng)0<a<b時(shí)是正的,當(dāng)a<b<0時(shí)是負(fù)的D.以上結(jié)論都不對2.定積分eq\i\in(1,3,)(-3)dx等于()A.-6 B.6C.-3 D.33.已知eq\i\in(1,3,)f(x)dx=56,則()A.eq\i\in(1,2,)f(x)dx=28 B.eq\i\in(2,3,)f(x)dx=28C.eq\i\in(1,2,)2f(x)dx=56 D.eq\i\in(1,2,)f(x)dx+eq\i\in(2,3,)f(x)dx=564.eq\i\in(0,6,)(2x-4)dx=________.5.計(jì)算eq\i\in(-1,1,)x5dx=________.6.已知eq\i\in(a,b,)[f(x)+g(x)]dx=12,eq\i\in(a,b,)g(x)dx=6,求eq\i\in(a,b,)3f(x)dx.五、課后作業(yè)1.eq\i\in(0,1,)xdx與eq\i\in(0,1,)x2dx的大小關(guān)系是()A.eq\i\in(0,1,)xdx=eq\i\in(0,1,)x2dxB.(eq\i\in(0,1,)xdx)2=eq\i\in(0,1,)x2dxC.eq\i\in(0,1,)xdx>eq\i\in(0,1,)x2dxD.eq\i\in(0,1,)xdx<eq\i\in(0,1,)x2dx2.下列值等于1的是()A.eq\i\in(0,1,)xdx B.eq\i\in(0,1,)(x+1)dxC.eq\i\in(0,1,)1dx D.eq\i\in(0,1,)eq\f(1,2)dx3.f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2(x≥0),,2x(x<0),))則eq\i\in(-1,1,)f(x)dx的值是________4.若,則由直線x=0,x=π,曲線y=sinx及x軸圍成的圖形的面積為________.5.利用定積分的幾何意義,說明下列等式.(1)eq\i\in(0,1,)2xdx=1(2)eq\i\in(-1,1,)eq\r(1-x2)dx=eq\f(π,2)6.已知eq\i\in(0,e,)xdx=eq\f(e2,2),eq\i\in(0,e,)x3dx=eq\f(e4,4),計(jì)算下列定積分:(1)eq\i\in(0,e,)(2x+x3)dx;(2)eq\i\in(0,e,)(2x3-x)dx.參考答案一、課前準(zhǔn)備2.基礎(chǔ)預(yù)探1.f(ξi)Δx=eq\f(b-a,n)f(ξi)定積分eq\i\in(a,b,)f(x)dxeq\i\in(a,b,)f(x)dx=eq\f(b-a,n)f(ξi)積分區(qū)間被積函數(shù)2.直線x=a,x=b,y=0和曲線y=f(x)面積負(fù)數(shù)3.keq\i\in(a,b,)f(x)dxeq\i\in(a,b,)f1(x)dx±eq\i\in(a,b,)f2(x)dxeq\i\in(a,c,)f(x)dx+eq\i\in(c,b,)f(x)dx三、典例導(dǎo)析例1變式訓(xùn)練解:(1)令f(x)=x2.將區(qū)間[0,2]等分成n個(gè)小區(qū)間,則第i個(gè)小區(qū)間為[eq\f(2(i-1),n),eq\f(2i,n)],第i個(gè)小區(qū)間的面積ΔSi≈f(eq\f(2(i-1),n))·eq\f(2,n).(2)eq\i\in(0,2,)x2dx≈、=(3)eq\i\in(0,2,)x2dx∴所求曲邊梯形的面積為.例2變式訓(xùn)練解析:(1)由y=eq\r(1-x2)得x2+y2=1(y≥0),其圖象是圓心為原點(diǎn),半徑為1的圓的eq\f(1,4)部分.∴eq\i\in(0,1,)eq\r(1-x2)dx=eq\f(1,4)π·12=eq\f(1,4)π.(2)由函數(shù)y=cosx,x∈[0,2π]的圖象的對稱性(如圖)知,x軸上方的圖像和下方的圖像完全相同,因此=0.(3)∵函數(shù)y=sin7x+x3在x∈[-π,π]上是奇函數(shù),∴=0.例3變式訓(xùn)練證明:∵eq\i\in(1,2,)(1+eq\f(1,x))(2-x)dx=eq\i\in(1,2,)(1-x+eq\f(2,x))dx=eq\i\in(1,2,)1dx-eq\i\in(1,2,)xdx+2eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x)dx.又eq\i\in(1,2,)1dx=1,eq\i\in(1,2,)xdx=eq\f(3,2),eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x)dx=ln2,∴eq\i\in(1,2,)(1+eq\f(1,x))(2-x)dx=1-eq\f(3,2)+2ln2=-eq\f(1,2)+ln4=lneq\f(1,\r(e))+ln4=lneq\f(4,\r(e)).四、隨堂練習(xí)1.解析:由定積分的幾何意義可知選A.答案:A2.解析:由積分的幾何意義可知eq\i\in(1,3,)(-3)dx表示由x=1,x=3,y=0及y=-3所圍成的矩形面積的相反數(shù),故eq\i\in(1,3,)(-3)dx=-6.答案:A3.解析:由y=f(x),x=1,x=3及y=0圍成的曲邊梯形可分拆成兩個(gè):由y=f(x),x=1,x=2及y=0圍成的曲邊梯形和由y=f(x),x=2,x=3及y=0圍成的曲邊梯形.∴eq\i\in(1,3,)f(x)dx=eq\i\in(1,2,)f(x)dx+eq\i\in(2,3,)f(x)dx即eq\i\in(1,2,)f(x)dx+eq\i\in(2,3,)f(x)dx=56.故應(yīng)選D.答案:D4.解析:如圖A(0,-4),B(6,8)S△AOM=eq\f(1,2)×2×4=4,S△MBC=eq\f(1,2)×4×8=16?!鄀q\i\in(0,6,)(2x-4)dx=16-4=12.答案:125.解析:因?yàn)閥=x5是奇函數(shù),其圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱,所以eq\i\in(-1,1,)x5dx=eq\i\in(-1,0,)x5dx+eq\i\in(0,1,)x5dx=0答案:06.解:∵eq\i\in(a,b,)f(x)dx+eq\i\in(a,b,)g(x)dx=eq\i\in(a,b,)[f(x)+g(x)]dx,∴eq\i\in(a,b,)f(x)dx=12-6=6.∴eq\i\in(a,b,)3f(x)dx=3eq\i\in(a,b,)f(x)dx=3×6=18.五、課后作業(yè)1.解析:當(dāng)0<x<1時(shí),x>x2>0,由定積分的幾何意義得eq\i\in(0,1,)xdx>eq\i\in(0,1,)x2dx>0.答案:C2.答案:C3.解析:由定積分性質(zhì)(3)求f(x)在區(qū)間[-1,1]上的定積分,可以通過求f(x)在區(qū)間[-1,0]與[0,1]上的定積分來實(shí)現(xiàn),eq\i\in(-1,1,)f(x)dx=eq\i\in(-1,0,)f(x)dx+eq\i\in(0,1,)f(x)dx=eq\i\
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 2023-2024學(xué)年天津市紅橋區(qū)高三(上)期末語文試卷
- 2023年天津市濱海新區(qū)高考語文三模試卷
- 2023年藥用粉碎機(jī)械項(xiàng)目融資計(jì)劃書
- 2023年抗結(jié)劑項(xiàng)目融資計(jì)劃書
- 《社會(huì)工作評估》課件
- 2023年婦科用藥項(xiàng)目籌資方案
- 熱工基礎(chǔ)習(xí)題庫含參考答案
- 養(yǎng)老院老人生命體征監(jiān)測制度
- 養(yǎng)老院老人健康飲食制度
- 《右腹股溝斜疝》課件
- 專題 與角度有關(guān)的計(jì)算問題(35題提分練)2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊同步課堂(北師大版2024)
- 小丑電影課件教學(xué)課件
- 浙江省紹興市2025屆高三上學(xué)期一模地理試題 含解析
- 廣發(fā)銀行廣告合同
- 安全與急救學(xué)習(xí)通超星期末考試答案章節(jié)答案2024年
- 電動(dòng)車棚消防應(yīng)急預(yù)案
- 金屬冶煉知識(shí)培訓(xùn)
- 2024-2025學(xué)年度廣東省春季高考英語模擬試卷(解析版) - 副本
- 商會(huì)內(nèi)部管理制度
- 2024年物業(yè)轉(zhuǎn)讓協(xié)議書范本格式
- 幼兒園小班健康《打針吃藥我不怕》課件
評論
0/150
提交評論