高中數(shù)學(xué)蘇教版1第2章圓錐曲線與方程 第2章單元檢測（a卷）

第2章單元檢測(A卷)(時(shí)間：120分鐘滿分：160分)一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分)1．已知橢圓的離心率為eq\f(1,2)，焦點(diǎn)是(－3,0)，(3,0)，則橢圓方程為______________．2．當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線(2a＋3)x＋y－4a＋2＝0恒過定點(diǎn)P，則過點(diǎn)P的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是3．設(shè)F1、F2分別為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)．若在雙曲線右支上存在點(diǎn)P，滿足PF2＝F1F2，且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實(shí)軸長，則該雙曲線的漸近線方程為____________．4．短半軸長為2，離心率e＝3的雙曲線兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過F1作直線交雙曲線左支于A、B兩點(diǎn)，且AB＝8，則△ABF2的周長為________．5．已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若△ABF2是正三角形，則這個(gè)橢圓的離心率是________．6．若直線mx－ny＝4與⊙O：x2＋y2＝4沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)P(m，n)的直線與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是________．7.如圖所示，若等腰直角三角形ABO內(nèi)接于拋物線y2＝2px(p>0)，O為拋物線的頂點(diǎn)，OA⊥OB，則直角三角形ABO的面積是________．8．已知拋物線y2＝2px(p>0)與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有相同的焦點(diǎn)F，點(diǎn)A是兩曲線在x軸上方的交點(diǎn)，且AF⊥x軸，則雙曲線的離心率為________．9．橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F，其右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為A，在橢圓上存在點(diǎn)P滿足線段AP的垂直平分線過點(diǎn)F，則橢圓離心率的取值范圍是____________．10．設(shè)橢圓eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)的右焦點(diǎn)與拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)相同，離心率為eq\f(1,2)，則此橢圓的方程為________________．11．過橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<a)中心的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F2(c,0)，則△ABF2的最大面積是______．12．拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是__________．13．點(diǎn)P(8,1)平分雙曲線x2－4y2＝4的一條弦，則這條弦所在直線的方程是______________．14．設(shè)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，線段F1F2被點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)，0))分成3∶1的兩段，則此橢圓的離心率為________．二、解答題(本大題共6小題，共90分)15．(14分)已知點(diǎn)M在橢圓eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1上，MP′垂直于橢圓焦點(diǎn)所在的直線，垂足為P′，并且M為線段PP′的中點(diǎn)，求P點(diǎn)的軌跡方程．16．(14分)雙曲線C與橢圓eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1有相同的焦點(diǎn)，直線y＝eq\r(3)x為C的一條漸近線，求雙曲線C的方程．17.(14分)直線y＝kx－2交拋物線y2＝8x于A、B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于2，求弦AB的長．18．(16分)已知點(diǎn)P(3,4)是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為橢圓的兩焦點(diǎn)，若PF1⊥PF2，試求：(1)橢圓的方程；(2)△PF1F2的面積19.(16分)已知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，且AB＝eq\f(5,2)p，求AB所在的直線方程．20．(16分)在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)(0，－eq\r(3))、(0，eq\r(3))的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，直線y＝kx＋1與C交于A、B兩點(diǎn)．(1)寫出C的方程；(2)若eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))，求k的值．第2章圓錐曲線與方程(A)\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1解析已知橢圓的離心率為eq\f(1,2)，焦點(diǎn)是(－3,0)，(3,0)，則c＝3，a＝6，b2＝36－9＝27，因此橢圓的方程為eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1.2．y2＝32x或x2＝－eq\f(1,2)y解析將直線方程化為(2x－4)a＋3x＋y＋2＝0，可得定點(diǎn)P(2，－8)，再設(shè)拋物線方程即可．3．4x±3y＝0解析利用題設(shè)條件和雙曲線性質(zhì)在三角形中尋找等量關(guān)系，得出a與b之間的等量關(guān)系．4．16＋2eq\r(2)解析由于b＝2，e＝eq\f(c,a)＝3，∴c＝3a，∴9a2＝a2＋4，∴a＝eq\f(\r(2),2)，由雙曲線的定義知：AF2－AF1＝eq\r(2)，BF2－BF1＝eq\r(2)，∴AF2＋BF2－AB＝2eq\r(2)，∴AF2＋BF2＝8＋2eq\r(2)，則△ABF2的周長為16＋2eq\r(2).\f(\r(3),3)解析由題意知AF1＝eq\f(\r(3),3)F1F2，∴eq\f(b2,a)＝eq\f(\r(3),3)·2c，即a2－c2＝eq\f(2\r(3),3)ac，∴c2＋eq\f(2\r(3),3)ac－a2＝0，∴e2＋eq\f(2\r(3),3)e－1＝0，解之得e＝eq\f(\r(3),3)(負(fù)值舍去)．6．2解析由題意eq\f(4,\r(m2＋n2))>2，即m2＋n2<4，點(diǎn)(m，n)在以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓內(nèi)，過點(diǎn)P的直線與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.7．4p2解析由題意得∠xOA＝∠xOB＝45°，則可設(shè)點(diǎn)A(a，a)，代入拋物線的方程得a＝2p，∴S△ABO＝eq\f(1,2)×2a×a＝a2＝4p2.\r(2)＋1解析∵Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，p)).又∵c＝eq\f(p,2)，即p＝2c，∴A(c,2c)．代入雙曲線方程，化簡，得e4－6e2＋1＝0.∵e>1，∴e＝eq\r(2)＋1.\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))解析設(shè)P(x0，y0)，則PF＝eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)－x0))＝a－ex0.又點(diǎn)F在AP的垂直平分線上，∴a－ex0＝eq\f(a2,c)－c，因此x0＝eq\f(aac－a2＋c2,c2).又－a≤x0＜a，∴－a≤eq\f(aac－a2＋c2,c2)＜a.∴－1≤eq\f(e2＋e－1,e2)＜1.又0＜e＜1，∴eq\f(1,2)≤e＜1.\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1解析∵y2＝8x的焦點(diǎn)為(2,0)，∴eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1的右焦點(diǎn)為(2,0)，∴m>n且c＝2.又e＝eq\f(1,2)＝eq\f(2,m)，∴m＝4.∵c2＝m2－n2＝4，∴n2＝12.∴橢圓方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.11．bc解析S△ABF2＝S△OAF2＋S△OBF2＝eq\f(1,2)c·|y1|＋eq\f(1,2)c·|y2|(y1、y2分別為A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo))，∴S△ABF2＝eq\f(1,2)c|y1－y2|≤eq\f(1,2)c·2b＝bc.12．2解析拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線x＝－1.∴焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2.13．2x－y－15＝0解析設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則xeq\o\al(2,1)－4yeq\o\al(2,1)＝4，xeq\o\al(2,2)－4yeq\o\al(2,2)＝4，兩式相減得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)為P(8,1)，所以x1＋x2＝16，y1＋y2＝2.所以eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(x1＋x2,4y1＋y2)＝2.所以直線AB的方程為y－1＝2(x－8)，代入x2－4y2＝4滿足Δ>0.即2x－y－15＝0.\f(\r(2),2)解析由題意，得eq\f(\f(b,2)＋c,c－\f(b,2))＝3?eq\f(b,2)＋c＝3c－eq\f(3,2)b?b＝c，因此e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(\f(c2,b2＋c2))＝eq\r(\f(1,2))＝eq\f(\r(2),2).15．解設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，M點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0，y0)．∵點(diǎn)M在橢圓eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1上，∴eq\f(x\o\al(2,0),36)＋eq\f(y\o\al(2,0),9)＝1.∵M(jìn)是線段PP′的中點(diǎn)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝x，,y0＝\f(y,2)，))把eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝x,y0＝\f(y,2)))，代入eq\f(x\o\al(2,0),36)＋eq\f(y\o\al(2,0),9)＝1，得eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,36)＝1，即x2＋y2＝36.∴P點(diǎn)的軌跡方程為x2＋y2＝36.16．解設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1.由橢圓eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1，求得兩焦點(diǎn)為(－2,0)，(2,0)，∴對于雙曲線C：c＝2.又y＝eq\r(3)x為雙曲線C的一條漸近線，∴eq\f(b,a)＝eq\r(3)，解得a2＝1，b2＝3，∴雙曲線C的方程為x2－eq\f(y2,3)＝1.17．解將y＝kx－2代入y2＝8x中變形整理得：k2x2－(4k＋8)x＋4＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≠0,4k＋82－16k2>0))，得k>－1且k≠0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意得：x1＋x2＝eq\f(4k＋8,k2)＝4?k2＝k＋2?k2－k－2＝0.解得：k＝2或k＝－1(舍去)．由弦長公式得：AB＝eq\r(1＋k2)·eq\f(\r(64k＋64),k2)＝eq\r(5)×eq\f(\r(192),4)＝2eq\r(15).18．解(1)令F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，則b2＝a2－c2.因?yàn)镻F1⊥PF2，所以kPF1·kPF2＝－1，即eq\f(4,3＋c)·eq\f(4,3－c)＝－1，解得c＝5，所以設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a2－25)＝1.因?yàn)辄c(diǎn)P(3,4)在橢圓上，所以eq\f(9,a2)＋eq\f(16,a2－25)＝1.解得a2＝45或a2＝5.又因?yàn)閍>c，所以a2＝5舍去．故所求橢圓方程為eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,20)＝1.(2)由橢圓定義知PF1＋PF2＝6eq\r(5)，①又PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＝F1Feq\o\al(2,2)＝100，②①2－②得2PF1·PF2＝80，所以S△PF1F2＝eq\f(1,2)PF1·PF2＝20.19．解焦點(diǎn)F(eq\f(p,2)，0)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB⊥Ox，則AB＝2p<eq\f(5,2)p，不合題意．所以直線AB的斜率存在，設(shè)為k，則直線AB的方程為y＝k(x－eq\f(p,2))，k≠0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－\f(p,2)，,y2＝2px，))消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0.由韋達(dá)定理得，y1＋y2＝eq\f(2p,k)，y1y2＝－p2.∴AB＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋\f(1,k2)·y1－y22)＝eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝2p(1＋eq\f(1,k2))＝eq\f(5,2)p.解得k＝±2.∴AB所在的直線方程為y＝2(x－eq\f(p,2))或y＝－2(x－eq\f(p,2))．20．解(1)設(shè)P(x，y)，由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以(0，－eq\r(3))，(0，eq\r(3))為焦點(diǎn)，長半軸為2的橢圓，它的短半軸b＝eq\r(22－\r(3)2)＝1，故曲線C的方程為x2＋eq\f(y2,4)＝1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4