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第2章單元檢測(cè)(A卷)(時(shí)間:120分鐘滿分:160分)一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,共70分)1.已知橢圓的離心率為eq\f(1,2),焦點(diǎn)是(-3,0),(3,0),則橢圓方程為_(kāi)_____________.2.當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí),直線(2a+3)x+y-4a+2=0恒過(guò)定點(diǎn)P,則過(guò)點(diǎn)P的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是3.設(shè)F1、F2分別為雙曲線eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn).若在雙曲線右支上存在點(diǎn)P,滿足PF2=F1F2,且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng),則該雙曲線的漸近線方程為_(kāi)___________.4.短半軸長(zhǎng)為2,離心率e=3的雙曲線兩焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,過(guò)F1作直線交雙曲線左支于A、B兩點(diǎn),且AB=8,則△ABF2的周長(zhǎng)為_(kāi)_______.5.已知F1,F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),過(guò)F1且與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),若△ABF2是正三角形,則這個(gè)橢圓的離心率是________.6.若直線mx-ny=4與⊙O:x2+y2=4沒(méi)有交點(diǎn),則過(guò)點(diǎn)P(m,n)的直線與橢圓eq\f(x2,9)+eq\f(y2,4)=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是________.7.如圖所示,若等腰直角三角形ABO內(nèi)接于拋物線y2=2px(p>0),O為拋物線的頂點(diǎn),OA⊥OB,則直角三角形ABO的面積是________.8.已知拋物線y2=2px(p>0)與雙曲線eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)有相同的焦點(diǎn)F,點(diǎn)A是兩曲線在x軸上方的交點(diǎn),且AF⊥x軸,則雙曲線的離心率為_(kāi)_______.9.橢圓eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,其右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為A,在橢圓上存在點(diǎn)P滿足線段AP的垂直平分線過(guò)點(diǎn)F,則橢圓離心率的取值范圍是____________.10.設(shè)橢圓eq\f(x2,m2)+eq\f(y2,n2)=1(m>0,n>0)的右焦點(diǎn)與拋物線y2=8x的焦點(diǎn)相同,離心率為eq\f(1,2),則此橢圓的方程為_(kāi)_______________.11.過(guò)橢圓eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(0<b<a)中心的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn),右焦點(diǎn)為F2(c,0),則△ABF2的最大面積是______.12.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是__________.13.點(diǎn)P(8,1)平分雙曲線x2-4y2=4的一條弦,則這條弦所在直線的方程是______________.14.設(shè)橢圓eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2,線段F1F2被點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2),0))分成3∶1的兩段,則此橢圓的離心率為_(kāi)_______.二、解答題(本大題共6小題,共90分)15.(14分)已知點(diǎn)M在橢圓eq\f(x2,36)+eq\f(y2,9)=1上,MP′垂直于橢圓焦點(diǎn)所在的直線,垂足為P′,并且M為線段PP′的中點(diǎn),求P點(diǎn)的軌跡方程.16.(14分)雙曲線C與橢圓eq\f(x2,8)+eq\f(y2,4)=1有相同的焦點(diǎn),直線y=eq\r(3)x為C的一條漸近線,求雙曲線C的方程.17.(14分)直線y=kx-2交拋物線y2=8x于A、B兩點(diǎn),若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于2,求弦AB的長(zhǎng).18.(16分)已知點(diǎn)P(3,4)是橢圓eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)上的一點(diǎn),F(xiàn)1、F2為橢圓的兩焦點(diǎn),若PF1⊥PF2,試求:(1)橢圓的方程;(2)△PF1F2的面積19.(16分)已知過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn),且AB=eq\f(5,2)p,求AB所在的直線方程.20.(16分)在直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P到兩點(diǎn)(0,-eq\r(3))、(0,eq\r(3))的距離之和等于4,設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C,直線y=kx+1與C交于A、B兩點(diǎn).(1)寫(xiě)出C的方程;(2)若eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→)),求k的值.第2章圓錐曲線與方程(A)\f(x2,36)+eq\f(y2,27)=1解析已知橢圓的離心率為eq\f(1,2),焦點(diǎn)是(-3,0),(3,0),則c=3,a=6,b2=36-9=27,因此橢圓的方程為eq\f(x2,36)+eq\f(y2,27)=1.2.y2=32x或x2=-eq\f(1,2)y解析將直線方程化為(2x-4)a+3x+y+2=0,可得定點(diǎn)P(2,-8),再設(shè)拋物線方程即可.3.4x±3y=0解析利用題設(shè)條件和雙曲線性質(zhì)在三角形中尋找等量關(guān)系,得出a與b之間的等量關(guān)系.4.16+2eq\r(2)解析由于b=2,e=eq\f(c,a)=3,∴c=3a,∴9a2=a2+4,∴a=eq\f(\r(2),2),由雙曲線的定義知:AF2-AF1=eq\r(2),BF2-BF1=eq\r(2),∴AF2+BF2-AB=2eq\r(2),∴AF2+BF2=8+2eq\r(2),則△ABF2的周長(zhǎng)為16+2eq\r(2).\f(\r(3),3)解析由題意知AF1=eq\f(\r(3),3)F1F2,∴eq\f(b2,a)=eq\f(\r(3),3)·2c,即a2-c2=eq\f(2\r(3),3)ac,∴c2+eq\f(2\r(3),3)ac-a2=0,∴e2+eq\f(2\r(3),3)e-1=0,解之得e=eq\f(\r(3),3)(負(fù)值舍去).6.2解析由題意eq\f(4,\r(m2+n2))>2,即m2+n2<4,點(diǎn)(m,n)在以原點(diǎn)為圓心,2為半徑的圓內(nèi),過(guò)點(diǎn)P的直線與橢圓eq\f(x2,9)+eq\f(y2,4)=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.7.4p2解析由題意得∠x(chóng)OA=∠x(chóng)OB=45°,則可設(shè)點(diǎn)A(a,a),代入拋物線的方程得a=2p,∴S△ABO=eq\f(1,2)×2a×a=a2=4p2.\r(2)+1解析∵Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2),0)),∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2),p)).又∵c=eq\f(p,2),即p=2c,∴A(c,2c).代入雙曲線方程,化簡(jiǎn),得e4-6e2+1=0.∵e>1,∴e=eq\r(2)+1.\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),1))解析設(shè)P(x0,y0),則PF=eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)-x0))=a-ex0.又點(diǎn)F在AP的垂直平分線上,∴a-ex0=eq\f(a2,c)-c,因此x0=eq\f(aac-a2+c2,c2).又-a≤x0<a,∴-a≤eq\f(aac-a2+c2,c2)<a.∴-1≤eq\f(e2+e-1,e2)<1.又0<e<1,∴eq\f(1,2)≤e<1.\f(x2,16)+eq\f(y2,12)=1解析∵y2=8x的焦點(diǎn)為(2,0),∴eq\f(x2,m2)+eq\f(y2,n2)=1的右焦點(diǎn)為(2,0),∴m>n且c=2.又e=eq\f(1,2)=eq\f(2,m),∴m=4.∵c2=m2-n2=4,∴n2=12.∴橢圓方程為eq\f(x2,16)+eq\f(y2,12)=1.11.bc解析S△ABF2=S△OAF2+S△OBF2=eq\f(1,2)c·|y1|+eq\f(1,2)c·|y2|(y1、y2分別為A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)),∴S△ABF2=eq\f(1,2)c|y1-y2|≤eq\f(1,2)c·2b=bc.12.2解析拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線x=-1.∴焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2.13.2x-y-15=0解析設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則xeq\o\al(2,1)-4yeq\o\al(2,1)=4,xeq\o\al(2,2)-4yeq\o\al(2,2)=4,兩式相減得(x1+x2)(x1-x2)-4(y1+y2)(y1-y2)=0.因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)為P(8,1),所以x1+x2=16,y1+y2=2.所以eq\f(y1-y2,x1-x2)=eq\f(x1+x2,4y1+y2)=2.所以直線AB的方程為y-1=2(x-8),代入x2-4y2=4滿足Δ>0.即2x-y-15=0.\f(\r(2),2)解析由題意,得eq\f(\f(b,2)+c,c-\f(b,2))=3?eq\f(b,2)+c=3c-eq\f(3,2)b?b=c,因此e=eq\f(c,a)=eq\r(\f(c2,a2))=eq\r(\f(c2,b2+c2))=eq\r(\f(1,2))=eq\f(\r(2),2).15.解設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),M點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0,y0).∵點(diǎn)M在橢圓eq\f(x2,36)+eq\f(y2,9)=1上,∴eq\f(x\o\al(2,0),36)+eq\f(y\o\al(2,0),9)=1.∵M(jìn)是線段PP′的中點(diǎn),∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0=x,,y0=\f(y,2),))把eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0=x,y0=\f(y,2))),代入eq\f(x\o\al(2,0),36)+eq\f(y\o\al(2,0),9)=1,得eq\f(x2,36)+eq\f(y2,36)=1,即x2+y2=36.∴P點(diǎn)的軌跡方程為x2+y2=36.16.解設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1.由橢圓eq\f(x2,8)+eq\f(y2,4)=1,求得兩焦點(diǎn)為(-2,0),(2,0),∴對(duì)于雙曲線C:c=2.又y=eq\r(3)x為雙曲線C的一條漸近線,∴eq\f(b,a)=eq\r(3),解得a2=1,b2=3,∴雙曲線C的方程為x2-eq\f(y2,3)=1.17.解將y=kx-2代入y2=8x中變形整理得:k2x2-(4k+8)x+4=0,由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≠0,4k+82-16k2>0)),得k>-1且k≠0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由題意得:x1+x2=eq\f(4k+8,k2)=4?k2=k+2?k2-k-2=0.解得:k=2或k=-1(舍去).由弦長(zhǎng)公式得:AB=eq\r(1+k2)·eq\f(\r(64k+64),k2)=eq\r(5)×eq\f(\r(192),4)=2eq\r(15).18.解(1)令F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),則b2=a2-c2.因?yàn)镻F1⊥PF2,所以kPF1·kPF2=-1,即eq\f(4,3+c)·eq\f(4,3-c)=-1,解得c=5,所以設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,a2-25)=1.因?yàn)辄c(diǎn)P(3,4)在橢圓上,所以eq\f(9,a2)+eq\f(16,a2-25)=1.解得a2=45或a2=5.又因?yàn)閍>c,所以a2=5舍去.故所求橢圓方程為eq\f(x2,45)+eq\f(y2,20)=1.(2)由橢圓定義知PF1+PF2=6eq\r(5),①又PFeq\o\al(2,1)+PFeq\o\al(2,2)=F1Feq\o\al(2,2)=100,②①2-②得2PF1·PF2=80,所以S△PF1F2=eq\f(1,2)PF1·PF2=20.19.解焦點(diǎn)F(eq\f(p,2),0),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),若AB⊥Ox,則AB=2p<eq\f(5,2)p,不合題意.所以直線AB的斜率存在,設(shè)為k,則直線AB的方程為y=k(x-eq\f(p,2)),k≠0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y=kx-\f(p,2),,y2=2px,))消去x,整理得ky2-2py-kp2=0.由韋達(dá)定理得,y1+y2=eq\f(2p,k),y1y2=-p2.∴AB=eq\r(x1-x22+y1-y22)=eq\r(1+\f(1,k2)·y1-y22)=eq\r(1+\f(1,k2))·eq\r(y1+y22-4y1y2)=2p(1+eq\f(1,k2))=eq\f(5,2)p.解得k=±2.∴AB所在的直線方程為y=2(x-eq\f(p,2))或y=-2(x-eq\f(p,2)).20.解(1)設(shè)P(x,y),由橢圓定義可知,點(diǎn)P的軌跡C是以(0,-eq\r(3)),(0,eq\r(3))為焦點(diǎn),長(zhǎng)半軸為2的橢圓,它的短半軸b=eq\r(22-\r(3)2)=1,故曲線C的方程為x2+eq\f(y2,4)=1.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4
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