高中數(shù)學(xué)北師大版1第一章常用邏輯用語(yǔ)充分條件與必要條件 第1章

充要條件1.理解充要條件的意義.(難點(diǎn))2.掌握充分、必要、充要條件的應(yīng)用.(重點(diǎn)、難點(diǎn))3.區(qū)分充分不必要條件、必要不充分條件.(易混點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理充要條件閱讀教材P8～P9的內(nèi)容，完成下列問題.1.充要條件如果p?q，且q?p，那么稱p是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱充要條件，記作p?q.2.常見的四種條件(1)充分不必要條件，即p?q而q?/_p.(2)必要不充分條件，即p?/_q而q?p.(3)充要條件，即p?q，q?p.(4)既不充分也不必要條件，即p?/_q，q?/_p.1.判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)當(dāng)p是q的充要條件時(shí)，也可以說成q成立當(dāng)且僅當(dāng)p成立.()(2)若p是q的充要條件，則命題p和q是兩個(gè)相互等價(jià)的命題.()(3)若pq和qp有一個(gè)成立，則p一定不是q的充要條件.()【答案】(1)√(2)√(3)√2.在△ABC中，“A＞B”是“a＞b”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】在△ABC中A＞B?a＞b，∴A＞B是a＞b的充要條件.【答案】C3.用符號(hào)“?”“?”“?”填空.(1)x＝0________x＜1；(2)整數(shù)a能被2整除________整數(shù)a是偶數(shù)；(3)M＞N________log2M＞log2N【解析】利用這三種符號(hào)的意義求解.【答案】(1)?(2)?(3)?4.已知非零實(shí)數(shù)a，b，c，則“b2＝ac”是“a，b，c成等比數(shù)列”的____________條件.【解析】b2＝ac?a，b，c成等比數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列?b2＝ac，∴互為充要條件.【答案】充要[質(zhì)疑·手記]預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑問2：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑問3：________________________________________________________解惑：________________________________________________________[小組合作型]充要條件的判斷(1)“b2－4ac＜0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為RA.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【自主解答】當(dāng)a＝c＝－1，b＝0時(shí)，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為?.反過來，由一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為R，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0,Δ＝b2－4ac＜0))，因此，b2－4ac＜0是一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為R的必要不充分條件.【答案】B(2)條件甲：“a＞1”是條件乙：“a＞eq\r(a)”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【自主解答】方法一：甲?乙：a＞1?eq\r(a)＞1?a＞eq\r(a)，乙?甲：a＞eq\r(a)?eq\r(a)(eq\r(a)－1)＞0?eq\r(a)＞1或eq\r(a)＜0?a＞1因此是充要條件.方法二：∵a＞eq\r(a)?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0,a2＞a))?a＞1，∴選C.【答案】C(3)已知p：－1＜2x－3＜1，q：x(x－3)＜0，則p是q的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【自主解答】由－1＜2x－3＜1，得1＜x＜2，即x∈(1,2).由x(x－3)＜0，得0＜x＜3，即x∈(0,3).∵當(dāng)1＜x＜2時(shí)，能推出0＜x＜3；但是0＜x＜3不能推出1＜x＜2.∴p是q的充分不必要條件.【答案】A(4)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝eq\r(x－1)，則p是q的________條件.【自主解答】∵當(dāng)x＝1或x＝2成立時(shí)可得x－1＝eq\r(x－1)成立.反過來，當(dāng)x－1＝eq\r(x－1)成立時(shí)可推出x＝1或x＝2.∴p是q的充要條件.【答案】充要對(duì)充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件的判斷要搞清楚它們的定義實(shí)質(zhì)；①若p?q，但qp，則p是q的充分不必要條件；②若q?p，但pq，則p是q的必要不充分條件；③若p?q，且q?p，則p是q的充要條件；④若pq，且qp，則p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件.充要條件的證明求證：“f(x)＝sin(x＋φ)是奇函數(shù)”的充要條件是“f(0)＝0”.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：32550005】【精彩點(diǎn)撥】分清條件和結(jié)論，證明充分性即證“條件?結(jié)論”，證明必要性即證“結(jié)論?條件”.【自主解答】必要性：由f(x)＝sin(x＋φ)是奇函數(shù)，得f(－x)＝－f(x)，即sin(－x＋φ)＝－sin(x＋φ)，∴sin(－x)cosφ＋cos(－x)sinφ＝－sinxcosφ－cosxsinφ，整理得2cosxsinφ＝0，由于上式對(duì)任意x∈R都成立，所以sinφ＝0，即f(0)＝sinφ＝0.充分性：由f(0)＝0，得sinφ＝0.∴f(－x)＝sin(－x＋φ)＝sin(－x)cosφ＋cos(－x)·sinφ＝－sinxcosφ，f(x)＝sin(x＋φ)＝sinxcosφ＋cosxsinφ＝sinxcosφ，∴f(－x)＝－f(x).∴f(x)＝sin(x＋φ)是奇函數(shù).綜上，“f(x)＝sin(x＋φ)是奇函數(shù)”的充要條件是“f(0)＝0”.1.首先分清條件和結(jié)論.本例中條件是“f(0)＝0”，結(jié)論是“f(x)＝sin(x＋φ)是奇函數(shù)”.“p是q的……條件”，p是條件，q是結(jié)論；“p成立的……是q”，q是條件，p2.充要條件的證明分兩步證明：證明充分性時(shí)把條件當(dāng)已知去推證結(jié)論的正確性；證明必要性時(shí)，結(jié)論當(dāng)已知去推證條件的正確性.[再練一題]1.求證：“f(x)＝sin(x＋φ)是偶函數(shù)”的充要條件是“|f(0)|＝1”.【證明】必要性：由f(x)＝sin(x＋φ)是偶函數(shù)得f(－x)＝f(x)，即sin(－x＋φ)＝sin(x＋φ)，∴sin(－x)cosφ＋cos(－x)sinφ＝sinxcosφ＋cosxsinφ整理得2sinxcosφ＝0.由于上式對(duì)任意x∈R都成立，所以cosφ＝0，即|f(0)|＝|sinφ|＝1.充分性：由|f(0)|＝1，得|sinφ|＝1，∴cosφ＝0.∵f(－x)＝sin(－x＋φ)＝sin(－x)cosφ＋cos(－x)·sinφ＝cosxsinφ，f(x)＝sin(x＋φ)＝sinxcosφ＋cosxsinφ＝cosxsinφ，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝sin(x＋φ)是偶函數(shù)，綜上，“f(x)＝sin(x＋φ)是偶函數(shù)”的充要條件是“|f(0)|＝1”.[探究共研型]充要條件探究1充要條件具有傳遞性嗎？【提示】若p是q的充要條件，q是s的充要條件，即p?q，q?s，則有p?s，即p是s的充要條件.探究2從集合的角度判斷充要條件、必要條件和充分條件適用于哪些題目？【提示】當(dāng)所要研究的p，q含有變量，即涉及方程的解集、不等式的解集，或者與集合有關(guān)或所描述的對(duì)象可以用集合表示時(shí)，可以借助集合間的包含關(guān)系利用Venn圖或數(shù)軸解題.探究3在使用充分條件和必要條件時(shí)，要注意什么？【提示】在求解與充分條件、必要條件有關(guān)的問題時(shí)，要分清條件p和結(jié)論q.只有分清條件和結(jié)論才能正確判斷p與q的關(guān)系，才能利用p與q的關(guān)系解題.在由條件p與結(jié)論q之間的關(guān)系求字母的取值范圍時(shí)，將p與q之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，是求解這一類問題的常用方法.探究4如何求一個(gè)問題的充要條件？【提示】求一個(gè)問題的充要條件，就是利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，使得轉(zhuǎn)化前后的兩個(gè)命題所對(duì)應(yīng)的解集是兩個(gè)相同的集合.這就要求我們轉(zhuǎn)化的時(shí)候思維要縝密.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝pn＋q(p≠0，p≠1)，求數(shù)列{an}是等比數(shù)列的充要條件.【精彩點(diǎn)撥】由關(guān)系式an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1n＝1，,Sn－Sn－1n≥2))尋找an與an＋1的比值，但同時(shí)要注意充分性的證明.【自主解答】a1＝S1＝p＋q.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1).∵p≠0，p≠1，∴eq\f(pnp－1,pn－1p－1)＝p，若{an}為等比數(shù)列，則eq\f(a2,a1)＝eq\f(an＋1,an)＝p，∴eq\f(pp－1,p＋q)＝p.∵p≠0，∴p－1＝p＋q，∴q＝－1.以上是{an}為等比列的必要條件.下面證明q＝－1是{an}為等比數(shù)列的充分條件.當(dāng)q＝－1時(shí)，∴Sn＝pn－1(p≠0，p≠1)，a1＝S1＝p－1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝pn－pn－1＝pn－1(p－1).∴an＝(p－1)pn－1(p≠0，p≠1)，eq\f(an,an－1)＝eq\f(p－1pn－1,p－1pn－2)＝p為常數(shù)，∴q＝－1時(shí)，數(shù)列{an}為等比數(shù)列.即數(shù)列{an}是等比數(shù)列的充要條件為q＝－1.本題以等比數(shù)列的判定為主線，根據(jù)數(shù)列前n項(xiàng)和通項(xiàng)之間的遞推關(guān)系，嚴(yán)格利用等比數(shù)列定義判定.證明充要條件的命題，體現(xiàn)了思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.[再練一題]2.求ax2＋2x＋1＝0至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件.【解】(1)當(dāng)a＝0時(shí)，原方程變?yōu)?x＋1＝0，即x＝－eq\f(1,2)，符合要求.(2)當(dāng)a≠0時(shí)，ax2＋2x＋1＝0為一元二次方程，它有實(shí)根的充要條件是Δ≥0，即4－4a≥0，∴a≤①方程ax2＋2x＋1＝0有一個(gè)負(fù)根的充要條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,x1x2＜0))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤1，,\f(1,a)＜0))，∴a＜0.②方程ax2＋2x＋1＝0有兩個(gè)負(fù)根的充要條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,x1＋x2＜0，,x1x2＞0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤1，,－\f(2,a)＜0，,\f(1,a)＞0，))∴0＜a≤1.綜上所述，ax2＋2x＋1＝0至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件為a≤1.[構(gòu)建·體系]1.若p：|x|＝x，q：x2＋x≥0.則p是q的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】設(shè)p：{x||x＝x}＝{x|x≥0}＝A，q：{x|x2＋x≥0}＝{x|x≥0或x≤－1}＝B，∵AB，∴p是q的充分不必要條件.【答案】A2.“sinA＞cosB”是△ABC為銳角三角形的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】當(dāng)A＝120°，B＝45°時(shí)，△ABC為鈍角三角形；當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，A＋B＞90°，A＞90°－B，又0°＜A,90°－B＜90°，則sinA＞sin(90°－B)＝cosB.【答案】B3.已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，則a⊥b的充要條件是()＝－eq\f(1,2) ＝－1＝5 ＝0【解析】a⊥b?2(x－1)＋2＝0?x＝0.【答案】D4.已知p：x2－x－2＜0，q：x∈(－1，m)且p是q的充分不必要事件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()＞2 ≥2C.－1＜m＜2 D.－1＜m≤2【解析】由x2－x－2＜0，得x∈(－1,2).∵p是q的充分不必要條件，∴(－1,2)(－1，m)，∴m＞2.故選A.【答案】A5.若p：x(x－3)＜0是q：2x－3＜m的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：32550006】【解析】p：x(x－3)＜0則0＜x＜3，q：2x－3＜m則x＜eq