高中數(shù)學北師大版1第一章直線多邊形圓-參賽作品

學業(yè)分層測評(九)§3圓與四邊形圓內接四邊形*托勒密定理(建議用時：45分鐘)學業(yè)達標]一、選擇題1.設四邊形ABCD為圓內接四邊形，現(xiàn)給出四個關系式：①sinA＝sinC，②sinA＋sinC＝0，③cosB＋cosD＝0，④cosB＝cosD.其中恒成立的關系式的個數(shù)是() 【解析】因為圓內接四邊形的對角互補，故∠A＝180°－∠C，且∠A，∠C均不為0°或180°，故①式恒成立，②式不成立.同樣由∠B＝180°－∠D知，③式恒成立.④式只有當∠B＝∠D＝90°時成立.【答案】B2.已知四邊形ABCD是圓內接四邊形，下列結論中正確的有()①如果∠A＝∠C，則∠A＝90°；②如果∠A＝∠B，則四邊形ABCD是等腰梯形；③∠A的外角與∠C的外角互補；④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4個 個個 個【解析】由“圓內接四邊形的對角互補”可知：①相等且互補的兩角必為直角；②兩相等鄰角的對角也相等(亦可能有∠A＝∠B＝∠C＝∠D的特例)；③互補兩內角的外角也互補；④兩組對角之和的份額必須相等(這里1＋3≠2＋4).因此得出①③正確，②④錯誤.【答案】B3.如圖1-3-15，ABCD是⊙O的內接四邊形，AH⊥CD，如果∠HAD＝30°，那么∠B等于()圖1-3-15° °° °【解析】∵∠HAD＝30°，∠AHD＝90°，∴∠D＝60°，則∠B＝120°.【答案】B4.如圖1-3-16，四邊形ABCD內接于⊙O，∠DCE＝50°，則∠BOD等于()圖1-3-16° °° °【解析】∵四邊形ABCD內接于⊙O，∴∠DCE＝∠A，∴∠A＝50°，∴∠BOD＝2∠A＝100°.【答案】C5.如圖1-3-17，四邊形ABCD為圓內接四邊形，AC為BD的垂直平分線，∠ACB＝60°，AB＝a，則CD等于()圖1-3-17\f(\r(3),3)a \f(\r(6),2)a\f(1,2)a \f(1,3)a【解析】∵AC為BD的垂直平分線，∴AB＝AD＝a，AC⊥BD，∵∠ACB＝60°，∴∠ADB＝60°，∴AB＝AD＝BD，∴∠ACD＝∠ABD＝60°，∴∠CDB＝30°，∴∠ADC＝90°，∴CD＝tan30°·AD＝eq\f(\r(3),3)a.【答案】A二、填空題6.圓內接四邊形ABCD中，∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3，則∠A＝__________，∠B＝__________，∠C＝__________.∠D＝__________.【導學號：96990039】【解析】∵∠B＋∠D＝180°，∠B∶∠D＝1∶3，∴∠B＝45°，∠D＝135°.又∠B∶∠C＝1∶2，∴∠C＝90°.又∠A＋∠C＝180°，∴∠A＝90°【答案】90°45°90°135°7.(陜西高考)如圖1-3-18，△ABC中，BC＝6，以BC為直徑的半圓分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，若AC＝2AE，則EF＝________.圖1-3-18【解析】法一：連接CE，則∠BEC＝90°，∵AC＝2AE.∴∠ACE＝30°，∠A＝60°，△ABC為等邊三角形，在Rt△BCE中，∠BCE＝30°，∴CE為∠ACB的平分線，∴eq\o(\s\up14(︵),BE)＝eq\o(\s\up14(︵),EF)，∴BE＝EF＝eq\f(1,2)BC＝3.法二：∵B，C，F(xiàn)，E四點在同一個圓上，∴∠AEF＝∠ACB，又∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACB，∴eq\f(AE,AC)＝eq\f(EF,BC)，即eq\f(1,2)＝eq\f(EF,6)，∴EF＝3.【答案】38.如圖1-3-19，AB＝10cm，BC＝8cm，CD平分∠ACB，則AC＝__________，BD＝__________.圖1-3-19【解析】∠ACB＝90°，∠ADB＝90°.在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝8，∴AC＝eq\r(AB2－BC2)＝6.又∵CD平分∠ACB，即∠ACD＝∠BCD，∴AD＝BD，∴BD＝eq\r(\f(AB2,2))＝5eq\r(2).【答案】6cm5eq\r(2)cm三、解答題9.如圖1-3-20，BA是⊙O的直徑，延長BA至E，使得AE＝AO，過E點作⊙O的割線交⊙O于D，C，使得AD＝DC.圖1-3-20(1)求證：OD∥BC；(2)若ED＝2，求⊙O的內接四邊形ABCD的周長.【解】(1)證明：連接AC，∵OD是⊙O的半徑，AD＝DC，∴OD⊥AC，又∵∠BCA＝90°，∴BC⊥AC，∴OD∥BC.(2)由(1)及EA＝AO，ED＝2，知eq\f(OD,BC)＝eq\f(ED,EC)＝eq\f(EO,EB)＝eq\f(2,3)，∴EC＝3.∵ED·EC＝EA·EB＝3EA2，∴3EA2＝2×3，即EA＝eq\r(2).∵CD＝EC－ED＝1，BC＝eq\f(3,2)OD＝eq\f(3,2)EA＝eq\f(3\r(2),2)，∴四邊形ABCD的周長為AD＋CD＋BC＋BA＝2＋eq\f(7\r(2),2).10.如圖1-3-21，D，E分別為△ABC的邊AB，AC上的點，且不與△ABC的頂點重合.已知AE的長為m，AC的長為n，AD，AB的長是關于x的方程x2－14x＋mn＝0的兩個根，圖1-3-21(1)證明：C，B，D，E四點共圓；(2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圓的半徑.【證明】(1)如圖，連接DE，在△ADE和△ACB中，AD·AB＝mn＝AE·AC，即eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB).又∠DAE＝∠CAB，從而△ADE∽△ACB.因此∠ADE＝∠ACB.所以C，B，D，E四點共圓.(2)m＝4，n＝6時，方程x2－14x＋mn＝0的兩根為x1＝2，x2＝12，故AD＝2，AB＝12.如圖，取CE的中點G，DB的中點F，分別過G，F(xiàn)作AC，AB的垂線，兩垂線相交于H點，連接DH.因為C，B，D，E四點共圓，所以C，B，D，E四點所在圓的圓心為H，半徑為DH.由于∠A＝90°，故GH∥AB，HF∥AC.從而HF＝AG＝5，DF＝eq\f(1,2)(12－2)＝5.故C，B，D，E四點所在圓的半徑為5eq\r(2).能力提升]1.若AD，BE，CF為△ABC的三條高線，交于H，則圖1-3-22中四點共圓的組數(shù)是()圖1-3-22 C. 【解析】B，D，H，F(xiàn)共圓；C，D，H，E共圓；A，E，H，F(xiàn)共圓；A，F(xiàn)，D，C共圓；B，C，E，F(xiàn)共圓；A，B，D，E共圓.【答案】D2.如圖1-3-23，AB是⊙O的弦，過A，O兩點的圓交BA的延長線于C，交⊙O于D，若CD＝5cm，則CB等于()圖1-3-23cm cmcm \f(5,2)cm【解析】連接OA，OB，OD，∵OA＝OB＝OD，∴∠OAB＝∠OBA，∠ODB＝∠OBD.∵C，D，O，A四點共圓，∴∠OAB＝∠CDO，∠CDO＝∠OBA，∴∠CDO＋∠ODB＝∠OBA＋∠OBD，即∠CDB＝∠CBD，∴CD＝CB，∵CD＝5cm，∴CB＝5cm.【答案】C3.若兩條直線(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0，(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0與兩坐標軸圍成的四邊形有一個外接圓，則實數(shù)a＝__________.【解析】∵兩條直線與兩坐標軸圍成的四邊形有一個外接圓，則有對角互補，又兩坐標軸互相垂直，∴這兩條直線垂直，即(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0.∴a2＝1，∴a＝±1.【答案】±14.如圖1-3-24，在直徑是AB的半圓上有兩點M，N，設AN與BM的交點為P.求證：AP·AN＋BP·BM＝AB2.圖1-3-24【證明】作PE⊥AB于點E.∵AB為直徑，∴∠AN