高等傳熱學(xué)-第一章-導(dǎo)熱理論和導(dǎo)熱微分方程

動(dòng)力工程及工程熱物理學(xué)科研究生高等傳熱學(xué)（32課時(shí)）高等傳熱學(xué)內(nèi)容第一章導(dǎo)熱理論和導(dǎo)熱微分方程第二章穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱 第三章非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱第四章凝固和熔化時(shí)的導(dǎo)熱第五章導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解第六章對(duì)流換熱基本方程第七章層流邊界層的流動(dòng)與換熱第八章槽道內(nèi)層流流動(dòng)與換熱第九章湍流流動(dòng)與換熱第十章自然對(duì)流第十一章熱輻射基礎(chǔ)第十二章輻射換熱計(jì)算

第十三章復(fù)合換熱第一章導(dǎo)熱理論和導(dǎo)熱微分方程

相互接觸的物體各部分之間依靠分子、原子和自由電子等微觀粒子的熱運(yùn)動(dòng)而傳遞熱量的過(guò)程稱為導(dǎo)熱。在純導(dǎo)熱過(guò)程中物體各部分之間沒(méi)有宏觀運(yùn)動(dòng)。與固體物理的理論研究方法不同，傳熱學(xué)研究導(dǎo)熱問(wèn)題時(shí)不是對(duì)導(dǎo)熱過(guò)程的微觀機(jī)理作深入的分析，而是從宏觀的、現(xiàn)象的角度出發(fā)，以實(shí)驗(yàn)中總結(jié)出來(lái)的基本定律為基礎(chǔ)進(jìn)行數(shù)學(xué)的推導(dǎo)，以得到如溫度分布、溫度-時(shí)間響應(yīng)和熱流密度等有用的結(jié)果。1-1導(dǎo)熱基本定律

1-1-1溫度場(chǎng)由于傳熱學(xué)以宏觀的、現(xiàn)象的方式來(lái)研究導(dǎo)熱問(wèn)題，因此必須引入連續(xù)介質(zhì)假定，以便用連續(xù)函數(shù)來(lái)描述溫度分布。溫度場(chǎng)就是在一定的時(shí)間和空間域上的溫度分布。它可以表示為空間坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。由于溫度是標(biāo)量，溫度場(chǎng)是標(biāo)量場(chǎng)。常用的空間坐標(biāo)系有三種：直角坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系。在直角坐標(biāo)系中，溫度場(chǎng)可以表示為

（1-1-1）式中：t表示溫度；x、y、z為三個(gè)空間坐標(biāo)；τ表示時(shí)間。若溫度場(chǎng)各點(diǎn)的溫度均不隨時(shí)間變化，即，則稱該溫度場(chǎng)為穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)，否則為非穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)。若溫度場(chǎng)只是一個(gè)空間坐標(biāo)的函數(shù)，則稱為一維溫度場(chǎng)；若溫度場(chǎng)是兩個(gè)或三個(gè)空間坐標(biāo)的函數(shù)，則稱為二維或三維溫度場(chǎng)。

1-1-2等溫面與溫度梯度物體內(nèi)溫度相同的點(diǎn)的集合所構(gòu)成的面叫做等溫面。對(duì)應(yīng)不同溫度值的等溫面構(gòu)成等溫面族。等溫面與任一截面的交線形成等溫線。由于等溫線具有形象直觀的優(yōu)點(diǎn)，二維溫度場(chǎng)常用等溫線來(lái)表示溫度分布。由于在同一時(shí)刻物體的一個(gè)點(diǎn)上只能有一個(gè)溫度值，所以不同的等溫面不可能相交。它們或者在域內(nèi)形成封閉曲線，或者終止于物體的邊界。如圖1-l所示，在物體內(nèi)某一點(diǎn)P處，沿空間某一方向l的溫度的變化率

1-1導(dǎo)熱基本定律稱為溫度場(chǎng)沿該方向的方向?qū)?shù)。

1-1導(dǎo)熱基本定律圖1-l等溫線和溫度梯度因?yàn)檠氐葴孛娣较驕囟炔蛔儯詼囟葓?chǎng)在等溫面方向的方向?qū)?shù)為零。對(duì)于確定的空間點(diǎn)，在空間各方向上最大的方向?qū)?shù)稱為該點(diǎn)的梯度。所以，溫度梯度是一個(gè)向量。溫度梯度的方向是溫度增加最快的方向，它的模（大小）等于最大的方向?qū)?shù)。溫度梯度可以記作gradt或▽t。溫度梯度在任一方向l的投影就是該方向的方向?qū)?shù)。若l方向與gradt的夾角為θ，則（1-1-3）其中l(wèi)是l方向的單位向量；顯然，溫度梯度垂直于過(guò)該點(diǎn)的等溫面。

1-1導(dǎo)熱基本定律在直角坐標(biāo)系中。溫度梯度在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影分別為、、，則有（1-1-4）其中i、j、k分別為x、y、z在坐標(biāo)軸上的單位向量。在一般的正交坐標(biāo)系中梯度的表達(dá)式將在以后討論。連續(xù)溫度場(chǎng)內(nèi)的每—點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)溫度梯度向量，所以溫度梯度構(gòu)成一個(gè)向量場(chǎng)。

1-1導(dǎo)熱基本定律1-1-3熱流向量單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)單位面積傳遞的熱量稱為熱流密度，記作q，單位為W/m2。對(duì)確定的空間點(diǎn)、在不同方向上熱流密度是不同的。與定義溫度梯度的方法一樣，可以定義一點(diǎn)處的熱流向量。熱流向量的方向是熱流密度最大的方向，其大小等于該方向的熱流密度。熱流向量記作q。任一方向的熱流密度等于熱流向量在該方向的投影。在連續(xù)溫度場(chǎng)內(nèi)的每一點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)熱流向量，所以熱流向量也構(gòu)成一個(gè)熱流向量場(chǎng)，或稱熱流場(chǎng)。在直角坐標(biāo)系中（1-1-5）1-1導(dǎo)熱基本定律1-1-4傅里葉定律以實(shí)驗(yàn)觀察為基礎(chǔ)并經(jīng)過(guò)科學(xué)的抽象，1822年法國(guó)數(shù)學(xué)物理學(xué)家傅里葉（JosephFourier）提出了把溫度場(chǎng)和熱流場(chǎng)聯(lián)系起來(lái)的基本定律。對(duì)于各向同性（材料的導(dǎo)熱系數(shù)不隨方向改變）的物體，傅里葉定律可表述為：熱流向量與溫度梯度成正比，方向相反。因?yàn)闇囟忍荻仁侵赶驕囟壬叩姆较?，而根?jù)熱力學(xué)第二定律，熱流總是朝著溫度降低的方向，或用數(shù)學(xué)形式表示為（1-1-6）其中λ稱為材料的導(dǎo)熱系數(shù)。1-1導(dǎo)熱基本定律把式（1-1-4）、（1-l-5）代入式（1-1-6），可得傅里葉定律在直角坐標(biāo)系中的投影表達(dá)式為（1-1-7）傅里葉定律適用于穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)的、無(wú)熱源和有熱源的溫度場(chǎng)，也適用于常物性和物性隨溫度改變的情況。但對(duì)于各向異性材料將必須作一定的修改。1-1導(dǎo)熱基本定律傅里葉定律建立了溫度場(chǎng)和熱流場(chǎng)之間的聯(lián)系，溫度場(chǎng)確定之后熱流場(chǎng)就被唯一地確定，并且可進(jìn)一步求得經(jīng)物體內(nèi)部或邊界上任意表面?zhèn)鲗?dǎo)的熱流量Q（如圖1-2所示）：（1-1-8）（1-1-9）其中，dA是面積元向量，方向?yàn)楸砻娴耐夥ň€方向。1-1導(dǎo)熱基本定律圖1-2通過(guò)任意表面的熱流量

1-1-5導(dǎo)熱系數(shù)傅里葉定律的另一個(gè)作用就是定義了導(dǎo)熱系數(shù)，即（1-1-10）在導(dǎo)熱分析中，導(dǎo)熱系數(shù)是一個(gè)重要的物性參數(shù)，在給定溫度梯度的條件下熱流密度的大小正比于導(dǎo)熱系數(shù)。在國(guó)際單位制中，導(dǎo)熱系數(shù)的單位是W/(m·K)。導(dǎo)熱系數(shù)與材料的種類及其所處的狀態(tài)有關(guān)。固體、液體與氣體，金屬與介電質(zhì)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)不同，導(dǎo)熱的機(jī)理也有很大的差異。對(duì)于絕大多數(shù)材料，現(xiàn)在還不能根據(jù)其結(jié)構(gòu)和導(dǎo)熱機(jī)理來(lái)計(jì)算其導(dǎo)熱系數(shù)。各種實(shí)際應(yīng)用材料的導(dǎo)熱系數(shù)主要是通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方法得到的。目前已有一系列不同的實(shí)驗(yàn)方法可用來(lái)測(cè)定各種材料在不同溫度范圍內(nèi)的導(dǎo)熱系數(shù)，特別是20世紀(jì)60年代以來(lái)發(fā)展起來(lái)的多種非穩(wěn)態(tài)的方法，由于其測(cè)試時(shí)間短（幾秒至幾十秒）、適應(yīng)性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，已被廣泛采用。1-1導(dǎo)熱基本定律一般來(lái)說(shuō)，材料的導(dǎo)熱系數(shù)是溫度的函數(shù)。大多數(shù)純金屬的導(dǎo)熱系數(shù)隨溫度的升高而減小，而氣體與介電材料的導(dǎo)熱系數(shù)隨溫度的升高而增加。在極低溫條件下（0-60K），金屬的導(dǎo)熱系數(shù)隨溫度有劇烈的變化，且可以達(dá)到很高的值。例如，純銅在10K時(shí)的導(dǎo)熱系數(shù)可達(dá)1.9×104W/(m·K)。對(duì)于液體和氣體，特別是在接近臨界狀態(tài)的條件下，導(dǎo)熱系數(shù)還與壓力有關(guān)。接近真空的稀薄氣體中的傳熱已不屬于經(jīng)典的導(dǎo)熱過(guò)程。在求解導(dǎo)熱問(wèn)題時(shí)常常假定導(dǎo)熱系數(shù)是常量，即不隨溫度變化。根據(jù)傅里葉定律，此時(shí)熱流與溫度梯度成線性關(guān)系，問(wèn)題的求解可以得到很大簡(jiǎn)化。在需要考慮導(dǎo)熱系數(shù)隨溫度變化而溫度變化范圍又不太大時(shí)，工程上常用線性關(guān)系來(lái)近似導(dǎo)熱系數(shù)與溫度的關(guān)系，即（1-1-11）1-1導(dǎo)熱基本定律為了對(duì)各種材料導(dǎo)熱系數(shù)的大小有一個(gè)數(shù)量級(jí)的概念，一些典型材料在通常工程溫度范圍內(nèi)的導(dǎo)熱系數(shù)的范圍列于下面：金屬50-415W/(m·K)合金l2-120W/(m·K)非金屬液體0.17-0.7W/(m·K)隔熱材料0.02-0.17W/(m·K)大氣壓力下的氣體0.007-0.17W/(m·K)從以上數(shù)據(jù)可以看到，在通常的溫度范圍內(nèi)導(dǎo)熱性能最好的材料與最差的材料相比，導(dǎo)熱系數(shù)大約相差5個(gè)數(shù)量級(jí)。這雖然是相當(dāng)懸殊的差別，但從實(shí)際應(yīng)用的需要來(lái)看，導(dǎo)熱材料和隔熱材料在導(dǎo)熱性能上的反差仍顯得太小。1-1導(dǎo)熱基本定律半無(wú)限大的物體引入過(guò)余溫度問(wèn)題的解為

誤差函數(shù)無(wú)量綱變量誤差函數(shù)：令說(shuō)明:一旦物體表面發(fā)生了一個(gè)熱擾動(dòng)，無(wú)論經(jīng)歷多么短的時(shí)間無(wú)論x有多么大，該處總能感受到溫度的變化。

無(wú)量綱坐標(biāo)傅里葉定律的局限性熱擾動(dòng)應(yīng)該以一定的速度傳播。修正的傅里葉定律a熱擴(kuò)散率c熱傳播速度松弛時(shí)間

在深冷時(shí)或在熱負(fù)荷急劇變化的場(chǎng)合，左邊第一項(xiàng)不能略去。俄羅斯流變學(xué)家AlxanderMalkin的流變學(xué)教材Rheology:Concepts,MethodsandApplications在第2章介紹粘彈性的時(shí)候，專門用一塊小字號(hào)的閱讀材料來(lái)解釋什么叫松弛時(shí)間——而且是作為物理學(xué)的一般性概念來(lái)介紹，簡(jiǎn)短明快，值得借鑒。Relaxationtime—generalconceptinphysicsTheconceptofrelaxationhasageneralmeaningformanyphysicalphenomena.Itisareflectionofanideaofrestorationofequilibriumstatefromanonequilibriumcondition,regardlessofthereasonswhichcausedthedeparturefromequilibrium.Forexample,thiscanbeconcentrationfluctuationcausedbypurelystatisticalreasonsaswasconsideredbyMaxwell.LettheequilibriumvalueofsomephysicalparameterbeX∞,currentvalueofthisparameterbeX,andletitbesupposedthattherateofapproachofequilibriumisproportionaltothedistancefromtheequilibrium.Thisassumptionimmediatelyleadstothefollowingfirst-orderkineticequation:

wherekisakineticrateconstantwiththedimensionofreciprocaltime.TheparameterXintheinitialstateequalstoX0.Then,thesolutionofthisequationis

Now,ifX∞=0,thenthesimplestformofthisequationis

(*)Thelasttwoequationsdescribetherelaxationprocess,andthevalueof

iscalledthe

relaxationtime.Itsvaluecharacterizestherateofapprochoftheequilibrium(butnotthecompletetimenecessarytoreachthisequilibriumbecauseitisinfinitelylargeaccordingtoequation*）.松弛時(shí)間：溫度場(chǎng)的重新建立滯后于熱擾動(dòng)改變的時(shí)間?！?/p>

1.2

導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述（數(shù)學(xué)模型）

1.導(dǎo)熱微分方程式導(dǎo)熱微分方程式+單值性條件建立數(shù)學(xué)模型的目的：求解溫度場(chǎng)假設(shè)：1）物體由各向同性的連續(xù)介質(zhì)組成；

2）有內(nèi)熱源，強(qiáng)度為，表示單位時(shí)間、單位體積內(nèi)的生成熱，單位為W/m3

；1）選取物體中的微元體作為研究對(duì)象；導(dǎo)熱數(shù)學(xué)模型的組成：方法：2）依能量守恒,根據(jù)傅里葉定律，建立微元體的熱平衡方程式歸納、整理，最后得出導(dǎo)熱微分方程式。

3）熱導(dǎo)率、比熱容和密度均為已知。理論基礎(chǔ)：Fourier定律+能量守恒定律導(dǎo)熱微分方程式dyyxodx根據(jù)能量守恒定律：導(dǎo)入微元體的總熱流量+

微元體內(nèi)熱源的生成熱-導(dǎo)出微元體的總熱流量=微元體熱力學(xué)能的增量a導(dǎo)入微元體的總熱流量b

導(dǎo)出微元體的總熱流量c

內(nèi)熱源的生成熱d

熱力學(xué)能的增量a、b、c、d代入能量守恒定律得：——三維、非穩(wěn)態(tài)、變物性、有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱微分方程。導(dǎo)熱微分方程式建立了導(dǎo)熱過(guò)程中物體的溫度隨時(shí)間和空間變化的函數(shù)關(guān)系。1-2固體導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述

固體導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述包括導(dǎo)熱微分方程和單值性條件。由于所考慮的導(dǎo)熱體系是靜止的，與外界沒(méi)有功的交換，所以體系得到的熱量應(yīng)該等于體系內(nèi)能的增加。體系得到的熱量可以有兩部分：一部分是由于導(dǎo)熱通過(guò)體系的界面?zhèn)魅氲臒崃?，另一部分是由于?nèi)熱源（化學(xué)反應(yīng)、電加熱等）的發(fā)熱而產(chǎn)生的熱量。參照?qǐng)D1-3，導(dǎo)熱體系的體積為V，表面為A。單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)表面A由導(dǎo)熱進(jìn)入體系的熱量為圖1-3導(dǎo)熱微分方程的推導(dǎo)

1-2固體導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述

（1-2-1）其中dA是指向外法線方向的面積元向量，負(fù)號(hào)表示熱流指向體系內(nèi)部（與表面的外法線方向相反）。這里應(yīng)用了散度定理把面積分轉(zhuǎn)換為體積分，其中（1-2-2）稱為熱流向量q的散度。內(nèi)熱源的體積發(fā)熱率qv是單位時(shí)間內(nèi)單位體積的內(nèi)熱源的發(fā)熱量，在國(guó)際單位制中的單位是W/m3。一般來(lái)說(shuō)，它可以是坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，記為qv(r,τ)。由此，單位時(shí)間內(nèi)體積V中內(nèi)熱源產(chǎn)生的熱量為（1-2-3）

1-2固體導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述

單位時(shí)間內(nèi)體積V中熱量的增加Q3為（1-2-4）對(duì)導(dǎo)熱體系建立能量平衡方程，則有（1-2-5）（1-2-6）1-2固體導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述

由于式（1-2-6）對(duì)于整個(gè)或部分空間域是普遍適用的，它對(duì)體系內(nèi)的任一微元體積也成立。這樣，可以把積分號(hào)去掉，由此得到（1-2-7）根據(jù)傅里葉定律，熱流向量可以由溫度梯度得到。把式（1-1-6）代入方程（1-2-7）可以得到含有內(nèi)熱源的各向同性物體中的導(dǎo)熱微分方程：（1-2-8）如果導(dǎo)熱系數(shù)不隨空間位置和溫度而變化，則以上方程可簡(jiǎn)化為（1-2-9）式中：▽2稱為拉普拉斯算子；稱為熱擴(kuò)散率或?qū)叵禂?shù)。熱擴(kuò)散率是材料的熱物理性質(zhì)，在國(guó)際單位制中的單位是m2/s。熱擴(kuò)散率表征材料內(nèi)部溫度趨于均勻的能力。

1-2固體導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述

在常物性且沒(méi)有內(nèi)熱源的情況下，方程（1-2-9）進(jìn)一步簡(jiǎn)化為擴(kuò)散方程，或稱傅里葉方程：（1-2-10）在穩(wěn)態(tài)條件下，，則有內(nèi)熱源時(shí)方程（1-2-9）簡(jiǎn)化為泊松方程：（1-2-11）穩(wěn)態(tài)而無(wú)內(nèi)熱源時(shí)上式進(jìn)一步簡(jiǎn)化為拉普拉斯方程：（1-2-12）泊松方程和拉普拉斯方程是典型的橢圓型偏微分方程。

1-2固體導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述

在常物性條件下，非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱由方程（1-2-9）描述。這種方程在偏微分方程的分類中稱為擴(kuò)散方程，或拋物線型方程。擴(kuò)散方程的特點(diǎn)是，物體在某一處受到的溫度（或熱）的擾動(dòng)將以無(wú)限大的速度傳播到物體中的各處，也就是在距離擾動(dòng)源無(wú)限遠(yuǎn)處也能瞬時(shí)地感受到該擾動(dòng)的作用。導(dǎo)熱過(guò)程是依靠微觀粒子的熱運(yùn)動(dòng)而引起的物體內(nèi)能的遷移，認(rèn)為它的傳播速度是無(wú)限大在物理概念上顯然是不合適的。隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，在一些極端的條件下，例如時(shí)間極短（μs或ns量級(jí)）的激光脈沖加熱，以及接近0K（絕對(duì)零度）的超低溫固體氦中，發(fā)現(xiàn)導(dǎo)熱的規(guī)律與擴(kuò)散方程指示的結(jié)果有明顯的差異。為此有人建議，描述非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的控制方程應(yīng)該是衰減的波動(dòng)方程。

（1-2-13）1-2固體導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述

這一方程不是拋物線型的，而是雙曲線型的，其中τ0稱為松弛時(shí)間，稱為熱傳播速度。由此，式（1-2-13）又可寫作（1-2-14）在或的極限情況下，上式退化為常規(guī)的導(dǎo)熱微分方程（1-2-10）。對(duì)于絕大多數(shù)的實(shí)際問(wèn)題，上式等號(hào)左邊兩項(xiàng)中的第一項(xiàng)要比第二項(xiàng)小很多，可以相差達(dá)10個(gè)數(shù)量級(jí)，因此完全可以忽略不計(jì)。但是對(duì)于極短的時(shí)間，或是極低的溫度的問(wèn)題，熱傳播速度為有限值的影響就可以表現(xiàn)出來(lái)。這也從另一個(gè)側(cè)面說(shuō)明傅里葉定律只是從實(shí)際經(jīng)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)中抽象出來(lái)的表象性的規(guī)律，因而在適用范圍上有局限性。

1-2固體導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述

1-2-1正交坐標(biāo)系中導(dǎo)熱微分方程的表達(dá)式在解決實(shí)際的導(dǎo)熱問(wèn)題時(shí)，物體的形狀各式各樣，首先需要選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，以減少自變量的數(shù)目和便于邊界條件的表達(dá)。一般來(lái)說(shuō)，空間的一個(gè)點(diǎn)可由三個(gè)獨(dú)立的參數(shù)確定，這三個(gè)參數(shù)組成一個(gè)坐標(biāo)系。如果在空間任一點(diǎn)處沿坐標(biāo)軸方向的單位向量都兩兩垂直，則稱該坐標(biāo)系為正交坐標(biāo)系。最常用的坐標(biāo)系有直角坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系，它們都是正交坐標(biāo)系。設(shè)有一正交坐標(biāo)系如圖l-4所示，是它的三個(gè)坐標(biāo)軸，相應(yīng)的坐標(biāo)軸方向的單位向量為。正交坐標(biāo)與直角坐標(biāo)x、y、z之間的函數(shù)關(guān)系為

1-2固體導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述

圖1-4正交坐標(biāo)系1-2固體導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述

在正交坐標(biāo)系中任一點(diǎn)P處取正交微元六面體，相應(yīng)的坐標(biāo)增量，對(duì)應(yīng)的曲線微段的弧長(zhǎng)為。（1-2-15）1-2固體導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述

令（1-2-18）則式（1-2-17）可以寫作（1-2-19）稱為拉梅系數(shù)，或稱度規(guī)系數(shù)。如果己知直角坐標(biāo)系和正交坐標(biāo)系之間的函數(shù)關(guān)系式（1-2-15），則可由式（1-2-18）確定拉梅系數(shù)。得到拉梅系數(shù)后，就可導(dǎo)得正交微元六面體中各個(gè)微元面積的表達(dá)式：（1-2-20）

1-2固體導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述

或?qū)懽鳎?-2-21）其中。正交微元六面體中微元體積的表達(dá)式為（1-2-22）根據(jù)梯度、散度等基本量的定義，可以得到它們?cè)谡蛔鴺?biāo)系中的一般表達(dá)式。它們是（1-2-23）（1-2-24）

（1-2-25）二、梯度首先將算符按三個(gè)互相正交的基矢方向分解，得隨后將球坐標(biāo)與柱坐標(biāo)系的拉梅系數(shù)代入即得梯度，對(duì)于球坐標(biāo)，有(24)對(duì)于柱坐標(biāo)，有(25)三、散度與直角坐標(biāo)系中采用的方法一樣，從散度的定義式(26)出發(fā)，計(jì)算矢量場(chǎng)穿過(guò)圖A1.8中留個(gè)面元的通量。首先，矢量場(chǎng)穿出左、右兩個(gè)面元的通量為：注意，上式不僅E1，而且E1,H2,H3一般在左、右兩面元上所取的值不相同，因?yàn)镠2與H3一般為坐標(biāo)的函數(shù)，寫成(27)式最后那種形式是為了便于找出規(guī)律性。于是，穿出前后兩個(gè)面元的通量為：(27)(29)(28)穿出上、下兩個(gè)面元的通量為：綜合上述，矢量場(chǎng)穿出圖A1.8中體積元左、右、前、后、上、下六個(gè)面的總通量為將上式及體積元的體積dV

=H1H2H3dq1dq2dq3，代入(26)式，即有對(duì)于球坐標(biāo)系，將H1=1,H2=R,H3=Rsinθ

代入，得(30)(31)

（1-2-25）

（1-2-24）

（1-2-23）1-2固體導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述

把式（1-2-23）～（1-2-25）代入以上導(dǎo)得的方程，例如適用于變導(dǎo)熱系數(shù)時(shí)的導(dǎo)熱微分方程（1-2-8），可得相應(yīng)的在一般正交坐標(biāo)系中的導(dǎo)熱微分方程為（1-2-26）在直角坐標(biāo)系（x，y，z）中，三個(gè)坐標(biāo)軸均為直線，因此有。對(duì)于如圖1-5所示的柱坐標(biāo)系（r，φ，z），其坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的關(guān)系為，，

1-2固體導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述

圖1-51-2固體導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述

令、、，則由式（1-2-18）可得（1-2-27）同樣地，對(duì)于球坐標(biāo)系（r，θ，φ）有，，則可以導(dǎo)得球坐標(biāo)系中的拉梅系數(shù)為（1-2-28）

1-2固體導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述

由此得直角坐標(biāo)系中的拉普拉斯算子表達(dá)式為（1-2-29）在柱坐標(biāo)系（r，φ，z）和球坐標(biāo)系（r，θ，φ）中，拉普拉斯算子的表達(dá)式分別（1-2-30）（1-2-31）

1-2固體導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述

1-2-2導(dǎo)熱過(guò)程的單值性條件單值性條件包括以下各項(xiàng)：幾何條件——說(shuō)明參與過(guò)程物體的大小和形狀。如果是各向異性材料，還應(yīng)給出導(dǎo)熱系數(shù)主軸的方向。物理?xiàng)l件——給定各種有關(guān)物理量的值，包括隨溫度變化的函數(shù)關(guān)系、有無(wú)內(nèi)熱源以及內(nèi)熱源的大小和分布。參考溫度時(shí)的導(dǎo)熱系數(shù)

在一定溫度范圍內(nèi)，大多數(shù)工程材料導(dǎo)熱系數(shù)可以近似認(rèn)為是溫度的線性函數(shù)。時(shí)間條件——說(shuō)明過(guò)程在時(shí)間上的特點(diǎn)。穩(wěn)態(tài)過(guò)程不需要時(shí)間條件；對(duì)于非穩(wěn)態(tài)過(guò)程，則要給出初始溫度分布，即初始條件。邊界條件——描述在區(qū)域邊界上過(guò)程進(jìn)行的特點(diǎn)。幾何條件和物理?xiàng)l件通常體現(xiàn)在導(dǎo)熱微分方程的簡(jiǎn)化和坐標(biāo)系的選取中，而時(shí)間條件(對(duì)非穩(wěn)態(tài)問(wèn)題)和邊界條件則體現(xiàn)為單獨(dú)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

1-2固體導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述

第一類邊界條件給定邊界上的溫度。一般情況下，邊界上的溫度可以是時(shí)間和位置的函數(shù)，并可表示為如下的形式：在邊界面S處（1-2-32）第二類邊界條件給定所求函數(shù)在邊界上的法向?qū)?shù)值，在導(dǎo)熱問(wèn)題中等同于給定邊界上的法向熱流密度。一般情況下，邊界上的熱流密度可以是時(shí)間和位置的函數(shù)，并可表示為如下的形式：在邊界面S處（1-2-33）絕熱邊界滿足，是第二類邊界條件的一個(gè)特例。

1-2固體導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述

第三類邊界條件給定所求函數(shù)在邊界上的函數(shù)值和法向?qū)?shù)值的線性組合，在導(dǎo)熱問(wèn)題中等同于結(jié)定外界介質(zhì)的溫度和邊界上的對(duì)流換熱表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)，由此又稱為對(duì)流邊界條件。在邊界面S處（1-2-34）式中：等號(hào)左邊是在表面外法線方向上物體內(nèi)部導(dǎo)熱的熱流密度；等式右邊是物體表面通過(guò)牛頓冷卻定律傳遞給環(huán)境的熱量。第一類邊界條件和第二類（絕熱）邊界條件都可以看作是第三類邊界條件的特例。如果h＝0，則第三類邊界條件轉(zhuǎn)化為絕熱邊界條件；如果h＝，則有，第三類邊界條件轉(zhuǎn)化為第一類邊界條件。例如，對(duì)于圖1-6所示的與x方向垂直的兩個(gè)表面，其邊界條件應(yīng)分別為

1-2固體導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述

圖1-6對(duì)流邊界條件和外法線方向1-2固體導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述

除了由單一非復(fù)合材料組成的物體外，還需要確定物體的內(nèi)部條件，用以表征諸如交界面熱阻和交界面反應(yīng)這樣一些影響。最常見的情形是在求解復(fù)合區(qū)域的導(dǎo)熱問(wèn)題時(shí)需要列出區(qū)域分界面上的邊界條件。通過(guò)交界面的熱交換是由通過(guò)真正接觸點(diǎn)的導(dǎo)熱、通過(guò)截留在縫隙內(nèi)的流體的導(dǎo)熱以及通過(guò)縫隙的輻射傳熱這三種機(jī)理綜合進(jìn)行的。結(jié)合處的總熱導(dǎo)是由接觸材料（它們的導(dǎo)熱系數(shù)、表面粗糙度、不平度以及硬度）、接觸壓力、結(jié)合處的平均溫度和熱流、縫隙內(nèi)流體的性質(zhì)（液體、氣體、真空）、是否存在氧化皮或填隙材料等一系列因素決定的。通過(guò)兩種不同材料1和2間粗糙接觸面的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱狀況如圖1-7所示，接觸面附近可能存在一明顯的溫度躍變。定義一假想的交界面溫降t，它是由兩種材料遠(yuǎn)離接觸面處按線性變化的實(shí)際溫度外推至中心線得出的。在穩(wěn)態(tài)熱流q的情況下，單位交界面接觸熱阻定義為1-2固體導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述

圖1-7交接面上的接觸熱阻圖1-8理想接觸時(shí)的邊界條件

1-2固體導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述

（1-2-35）對(duì)于理想接觸，溫降等于零，Rc＝0。在這種情況下，內(nèi)部邊界條件就是溫度分布和熱流在交界面上連續(xù)，即在如圖1-8所示的系統(tǒng)中，分界面上的邊界條件可寫作（1-2-36）其中兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的正方向?yàn)閮蓞^(qū)域各自的外法線方向，因此式中出現(xiàn)負(fù)號(hào)。這樣的邊界條件也有稱為第四類邊界條件的。

1-2固體導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述

如果在界面上有接觸熱阻存在，則溫度分布在界面上不再連續(xù)，以上邊界條件應(yīng)改為（1-2-37）提高壓緊兩種材料的壓力可以增加隨機(jī)性質(zhì)的點(diǎn)接觸和大尺度的面接觸，因?yàn)閴壕o可以使凹凸不平的面配合緊密，可以克服被波紋不平度造成的非理想接觸，還可以使兩種較軟材料發(fā)生彈性和塑性變形。為了降低接觸熱阻也可以人為地在接觸面之間插入容易變形的高導(dǎo)熱系數(shù)的填隙材料。此外，也有一些導(dǎo)熱問(wèn)題的邊界條件是非線性的。如熱輻射邊界條件的熱流與邊界溫度的四次冪有關(guān)；自然對(duì)流邊界條件的熱流正比于溫差的5/4或4/3次方。與相變（如熔化、凝固、燒蝕）相聯(lián)系的邊界條件也是非線性的。表示的傅里葉定律只適用于各向同性材料。在工程實(shí)際中也可能遇到各向異性材料，它們的物性在空間的各個(gè)方向上不相同。如晶體材料、木材、石墨和沉積巖等是典型的各向異性材料；層壓的復(fù)合材料、硅鋼片疊加而成的鐵芯等，在宏觀上也有各向異性的特征。各向異性材料導(dǎo)熱與各向同性材料重要差別：一、各向異性材料沿各方向的導(dǎo)熱系數(shù)不同；二、各向異性材料在某一方向上的熱流密度分量不僅與該方向上的溫度變化率有關(guān)，而且還與其垂直方向上的溫度變化率有關(guān)。1-3各向異性材料中的導(dǎo)熱

在各向異性材料內(nèi)部，溫度場(chǎng)、等溫面和溫度梯度的概念仍適用，熱流向量的定義也不變。但此時(shí)導(dǎo)熱系數(shù)不再是一個(gè)與方向無(wú)關(guān)的標(biāo)量，即從一點(diǎn)出發(fā)，沿各個(gè)方向的導(dǎo)熱系數(shù)不同。熱流向量的分量，例如qx，一般取決于沿x、y、z三個(gè)方向的溫度梯度的線性組合。在直角坐標(biāo)系中可表示為

（1-3-1）1-3各向異性材料中的導(dǎo)熱

由此可見，對(duì)于各向異性材料，熱流向量與溫度梯度不再共線，亦即熱流向量不再垂直于通過(guò)考察點(diǎn)的等溫面。上式寫成向量的形式為（1-3-2）其中

是各向異性材料的導(dǎo)熱系數(shù)，由9個(gè)導(dǎo)熱系數(shù)分量組成。式（1-3-1）就是各向異性材料中的傅里葉定律在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式，同樣地建立了各向異性材料中溫度場(chǎng)與熱流場(chǎng)的聯(lián)系。雖然溫度梯度和熱流向量以及它們之間的關(guān)系是客觀存在的，不依坐標(biāo)的取向而變化，但是它們?cè)谧鴺?biāo)軸上的投影，特別是各導(dǎo)熱系數(shù)分量的值將隨坐標(biāo)取向的變化而變化。因此首先要研究導(dǎo)熱系數(shù)分量在不同坐標(biāo)系中的變換。1-3各向異性材料中的導(dǎo)熱

圖1-9直角坐標(biāo)系原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)1-3各向異性材料中的導(dǎo)熱

當(dāng)坐標(biāo)系（x，y，z）繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后，得到新坐標(biāo)系（），如圖1-9所示。新舊坐標(biāo)的關(guān)系為（1-3-3）或簡(jiǎn)寫成（1-3-4）其中，，1-3各向異性材料中的導(dǎo)熱

熱流向量與溫度梯度的聯(lián)系在新坐標(biāo)系（）內(nèi)表示為（1-3-5）用表示上述導(dǎo)熱系數(shù)矩陣，即1-3各向異性材料中的導(dǎo)熱

利用線性代數(shù)中有關(guān)線性變換的知識(shí)，或根據(jù)張量的坐標(biāo)變換的性質(zhì)，可以導(dǎo)得在不同坐標(biāo)系中導(dǎo)熱系數(shù)矩陣之間的關(guān)系：（1-3-6）根據(jù)線性變換的性質(zhì)，總可以選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，記為（，，），使矩陣進(jìn)一步轉(zhuǎn)換為對(duì)角矩陣，即把式（1-3-1）轉(zhuǎn)換為（1-3-7）亦即，，（1-3-8）1-3各向異性材料中的導(dǎo)熱

此時(shí)坐標(biāo)系（，，）稱為導(dǎo)熱系數(shù)的主軸，稱為各向異性材料的三個(gè)主導(dǎo)熱系數(shù)。以下僅就二維問(wèn)題為例說(shuō)明各向異性材料中導(dǎo)熱問(wèn)題的特點(diǎn)。圖1-10表示一塊各向異性材料，其中斜線是表示各向異性特征的，與是導(dǎo)熱系數(shù)的主軸，分別為這兩個(gè)方向的主導(dǎo)熱系數(shù)。如果z坐標(biāo)軸與另一個(gè)導(dǎo)熱系數(shù)主軸重合，且有，則由式（1-3-8）得。該問(wèn)題是一個(gè)二維問(wèn)題。在坐標(biāo)系（，）中，1-3各向異性材料中的導(dǎo)熱

圖1-10各向異性材料中的二維導(dǎo)熱1-3各向異性材料中的導(dǎo)熱

在坐標(biāo)系（x，y）中（1-3-9）根據(jù)不同坐標(biāo)系中導(dǎo)熱系數(shù)矩陣的換算關(guān)系式（1-3-6），可得（1-3-10）

其中C表示坐標(biāo)系（x，y）和（，）間的變換矩陣：