剛體轉(zhuǎn)動(dòng) - 習(xí)題

剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)習(xí)題第四章授課教師：張偉Email:zwphys@西南科技大學(xué)理學(xué)院剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的幾類問題1、

一飛輪直徑為0.30m，質(zhì)量為5.00kg，邊緣繞有繩子，現(xiàn)用恒力拉繩子的一端，使其由靜止均勻地加速，經(jīng)0.50s轉(zhuǎn)速達(dá)10r/s。假定飛輪可看作實(shí)心圓柱體，求：（1）飛輪的角加速度及在這段時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)；（2）拉力及拉力所作的功；（3）從拉動(dòng)后經(jīng)t=10s時(shí)飛輪的角速度及輪邊緣上一點(diǎn)的速度和加速度。=1.26×102rad/s2

===ωatnπ2t2×3.14×100.51.26×102×(0.5)2=5π21at2==θ21×N=θπ2=2.5rωant==π2(1)解：==aFRJ=5.6×10-2×1.26×102

0.1547N=θA=MFRθ47×0.15×5π=111J=aFMRJ==(2)ωRv==0.15×1.26×103

=1.89×102m/sat=Ra=0.15×1.26×102an2=ωR=0.15×(1.26×103)2

=2.38×105m/s2

=1.26×102×10=1.26×1031/sωat=(3)=18.9m/s2一質(zhì)量為m的物體懸于一條輕繩的一端，繩另一端繞在一輪軸的軸上，如圖所示。軸水平且垂直于輪軸面，其半徑為R，整個(gè)裝置架在光滑的固定軸承之上，當(dāng)物體從靜止釋放后，在時(shí)間t內(nèi)下降了一段距離s，試求整個(gè)輪軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(用m、R、t和s表示)。解：研究系統(tǒng)，物體和輪軸，當(dāng)物體下降s距離時(shí)，物體和滑輪的運(yùn)動(dòng)方程為

根據(jù)（3）：兩均質(zhì)皮帶輪的半徑分別為R1和R2，質(zhì)量分別為m1和m2，都可以視為勻質(zhì)圓盤，兩輪以皮帶相連，分別繞兩平行的固定軸O1和O2轉(zhuǎn)動(dòng)，如果在第一輪上作用一力矩M，在第二輪上作用有負(fù)載力矩M’，設(shè)皮帶與輪間無滑動(dòng)，皮帶質(zhì)量以及兩軸處的磨擦均忽略不計(jì)，試求第一皮帶輪的角加速度。o1o2MM’T1T2T1’T2’R1R2o1o2MT1T2T2’R1T1’M’（4）長為l質(zhì)量為m的均勻桿，在光滑桌面上由豎直位置自然倒下，當(dāng)夾角為θ時(shí)（見圖），求：（1）質(zhì)心的速度；（2）桿的角速度。qABl0xc==vcx0ω=vc=sinql2vcyω1qml2cos121+=gm()2122l()m221vc=tddqω解：選質(zhì)心坐標(biāo)系由機(jī)械能守恒：qlcos2=yctdsin==ycdql2tddqvcyqABl123qg2sin+()1qcos()l1ω=ω=vcsinql2123qg2sin+()1qcos()l1=sinql2+m21ωsinql4222()ωml2241=21qcosgm2()l將代入得：vcω1qml2cos121+=gm()2122l()m221vc一根長為、質(zhì)量為M的勻質(zhì)棒自由懸掛于通過其上端的光滑水平軸上?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m的子彈以水平速度v0射向棒的中心，并以v0/2的水平速度穿出棒，此后棒的最大偏轉(zhuǎn)角恰為，則v0的大小為[]5、一根放在水平光滑桌面上的勻質(zhì)棒，可繞通過其一端的豎直固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)，棒的質(zhì)量為長度為對軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，初始時(shí)棒靜止，今有一水平運(yùn)動(dòng)的子彈垂直地射入棒的另一端，并留在棒中，子彈的質(zhì)量速率問（1）棒開始和子彈一起轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)角速度？（2）若棒轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)受到大小為的恒阻力矩作用，棒能轉(zhuǎn)過的角度？o（2）轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律：（1）角動(dòng)量守恒一根質(zhì)量為m、長度為L的勻質(zhì)細(xì)直棒，平放在水平桌面上。若它與桌面間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為，在

時(shí)，使該棒繞過其一端的豎直軸在水平桌面上旋轉(zhuǎn)，其初始角速度為0，則棒停止轉(zhuǎn)動(dòng)所需時(shí)間為

。

求：棒從碰撞開始到停止轉(zhuǎn)動(dòng)所用的時(shí)間。

（12）質(zhì)量為m1,長度為l

的均勻細(xì)棒，靜止平放在滑動(dòng)摩擦系數(shù)為的水平桌面上，它可繞端點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)。另有一水平運(yùn)動(dòng)的質(zhì)量為m2的小滑塊，它與棒的A端相碰撞，碰撞前后的速度分別為及mv1v2。Amvl1v21m2O13=Im1l2+=ωImvl21mvl22=+mv21mvl123()AOmvl1v21m2解：由角動(dòng)量守恒得ωImvl21=mvl22棒上dx段與桌面間的摩擦力為：gxfmdm1=ld=dMfdx=gxmdm1lxdx段所產(chǎn)生摩擦力力矩為：òM0=gxmdm1lxl12=gmm1l=+mv21mvl122()mt摩擦力力矩為：dM=gxmdm1lx由角動(dòng)量原理：òM0=ttdMtω013m1l2=)=13m1l2+mv21mvl123(.所用的時(shí)間為：*8、一勻質(zhì)的薄圓盤狀飛輪，質(zhì)量為m，半徑為R，繞過盤心且垂直盤面的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，軸的摩擦忽略不計(jì)。當(dāng)它以初角速度ω0轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，由于上下表面受到空氣的摩擦阻力矩的作用，會(huì)慢慢停下來，假設(shè)空氣對盤表面任意點(diǎn)附近單位面積上的摩擦力正比于該點(diǎn)處的線速度大小，比例常數(shù)為k，求它一共能轉(zhuǎn)多少圈？

解此題的關(guān)鍵是求出摩擦阻力矩。為此首先要明確摩擦阻力矩有什么特點(diǎn)？因?yàn)閱挝幻娣e受到的摩擦阻力，正比于該點(diǎn)處的線速度，所以飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，距轉(zhuǎn)軸距離相等的各點(diǎn)處，單位面積的摩擦力大小一樣，方向不同，但它們產(chǎn)生的力矩方向相同。轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，由于角速度ω不斷變化，所以同一點(diǎn)處摩擦力的大小也要隨時(shí)間變化，是一個(gè)變力矩的問題。方法：一種是應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律，一種是應(yīng)用角動(dòng)量定理。方法一：應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律單位面積元所受的摩擦力為：圓環(huán)上所有面元的力矩方向相同，即均向里，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律方法二、角動(dòng)量定理因?yàn)榱睾徒莿?dòng)量方向在同一直線上，

（5）

在自由旋轉(zhuǎn)的水平圓盤邊上，站一質(zhì)量為m的人。圓盤的半徑為R，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，角速度為ω。如果這人由盤邊走到盤心，求角速度的變化及此系統(tǒng)動(dòng)能的變化。ωω′+=J2RmωJEkΔ=Ek′Ek′=Δωω=ωω2RmJ21=J+J()2Rm2J2ω2=21J+J2Rm2()2Rm解：系統(tǒng)角動(dòng)量守恒ω′+=J()2RmωJ(1)21=+J()2Rm2Jω2(2)21=Jω2Ek′′ω

（6）

在半徑為R1、質(zhì)量為m的靜止水平圓盤上，站一質(zhì)量為m的人。圓盤可無摩擦地繞通過圓盤中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)這人開始沿著與圓盤同心，半徑為R2（＜R1）的圓周勻速地走動(dòng)時(shí)，設(shè)他相對于圓盤的速度為

v，問圓盤將以多大的角速度旋轉(zhuǎn)？ωR1R2′=R2vω人對盤的角速度盤對地的角速度ω由角動(dòng)量守恒得：ω0+″=R22mJω′ω+==ω″ωR2+ωv人對地的角速度RJ1221=m解：0=ωR1221m+R22mR2+ωv()=ωR1221m+R2mvR22m=R122+R2vR222ωR1R2（7）在一半徑為R、質(zhì)量為m的水平圓盤的邊上，站著一個(gè)質(zhì)量為m′的人。這圓盤可繞通過中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)軸與軸承之間的摩擦阻力可忽略不計(jì)。當(dāng)人沿盤的邊緣走一周回到盤上原有位置時(shí)，這圓盤將轉(zhuǎn)過多大的角度？ωRm′m盤對地的角速度ω由角動(dòng)量守恒得：′ω0+″=R2mJωRJ221=m解：′=Rvω人對盤的角速度r0=ωR221m+R2mR+ωv()′r′ω+==ω″ωR+ωv人對地的角速度r=ωR221m+RmvR2m′r′ωRm′m=′R21m+mvmr′()tΔ由題意在時(shí)間內(nèi)，人相對盤轉(zhuǎn)過的角度為：′r=′R2m+mvm()Rrvπ2′=′2m+mm()π4′rωqtΔ==′R+mvm()tΔ2mtΔ在時(shí)間內(nèi)，盤相對地轉(zhuǎn)過的角度為：R=rvtΔπ2∴R′==ωtΔrvtΔπ2q=′（8）如圖所示，轉(zhuǎn)臺(tái)繞中心豎直軸以角速度ω作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)臺(tái)對該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=5×1O-5kg.m。現(xiàn)有砂粒以1g/s的速度落到轉(zhuǎn)臺(tái)，并粘在臺(tái)面形成一半徑r=0.1m的圓。試求砂粒落到轉(zhuǎn)臺(tái)，使轉(zhuǎn)臺(tái)角速度變?yōu)棣?/2所花的時(shí)間。ω0ωJ2′21+==()ω0J′Jmrω0==mdtdtm2Jrmdtd==5×10-51×10-30.12()×5sω0ω0=221Jm21r=J5×10-5kg.m21m-3d×=td10kg/s已知：解：由角動(dòng)量守恒2=Jmrω0r

（9）

飛輪的質(zhì)量為60kg，直徑為0.50m，轉(zhuǎn)速為1000r／min，現(xiàn)要求在5s內(nèi)使其制動(dòng)，求制動(dòng)力F,假定閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù)μ=0.4，飛輪的質(zhì)量全部分布在輪的外周上。尺寸如圖所示。Fωd閘瓦0.5m0.75m=3.75kg.m20t=100060n×==π2ω0π2=104.7r/s5t==ω0fNFNfl1l2RJm2==60×(0.25)2

解：ω104.720.9r/s250at===ω0l1+=()Fl2Nl10=RJfma=NRl1=Fl1+l2mRJa=314Nm=NRJa

（10）如圖，滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=0.5kg·m2，半徑r=30cm，彈簧的勁度系數(shù)為k=20N/m，重物的質(zhì)量m=2.0kg。當(dāng)此滑輪一重物系統(tǒng)從靜止開始啟動(dòng)，開始時(shí)彈簧沒有伸長。如摩擦可忽略，問物體能沿斜面滑下多遠(yuǎn)？37Jmrk0b+ωgmk