有理函數(shù)與可化為有理函數(shù)的不定積分

8.3有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分一、有理函數(shù)的不定積分二、三角函數(shù)有理式的不定積分三、某些無理根式的不定積分有理函數(shù)的定義：兩個多項式的商表示的函數(shù)稱之為有理函數(shù).其一般形式為一、有理函數(shù)的積分（1）假定分子與分母之間沒有公因式這有理函數(shù)是真分式；這有理函數(shù)是假分式；利用多項式除法,假分式可以化成一個多項式和一個真分式之和.例有理真分式必定可以表示成若干個部分分式之和(稱為部分分式分解)有理函數(shù)化為部分分式之和的一般步驟：第一步對分母

在實系數(shù)內(nèi)作標準分解：

第二步根據(jù)分母的各個因式分別寫出與之相應的部分分式：（1）分母中若有因式，則分解后為特殊地：分解后為（2）分母中若有因式，其中則分解后為特殊地：分解后為真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法例1代入特殊值來確定系數(shù)取取取并將值代入例2例3整理得例4求積分解例5求積分解例6求積分解令說明將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出現(xiàn)三類情況：多項式；對于則記令結(jié)論有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).注

用求有理真分式的最簡分式分解式的方法求其積分往往很麻煩。所以，當我們求有理函數(shù)的積分時，應盡可能地考慮是否有其它更簡便的解法。例7解由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算構(gòu)成的函數(shù)稱之為三角有理式．三角有理式的定義二、三角函數(shù)有理式的不定積分一般記為三角有理函數(shù)的積分，一般有如下規(guī)律（一）（二）萬能代換令（萬能置換公式）例8解法一：解法二：(用初等化簡)解法三：(用初等化簡,并湊微)例9求積分解由萬能置換公式例10求積分解（一）解（二）修改萬能置換公式,令解（三）可以不用萬能置換公式.結(jié)論比較以上三種解法,便知萬能置換不一定是最佳方法,故三角有理式的計算中先考慮其它手段,不得已才用萬能置換.例11求積分解1、討論類型解決方法作代換去掉根號.例12求積分解令三、簡單無理函數(shù)的積分例13求積分解令說明無理函數(shù)去根號時,取根指數(shù)的最小公倍數(shù).例14求積分解先對分母進行有理化原式由于若記則此二次三項式必屬于以下三種情形之一：因此上述無理根式的不定積分也就轉(zhuǎn)化為:例15求

解［解法一］按上述一般步驟，求得由于因此．[解法二]若令則可解出于是所求不定積分化為有理函數(shù)的不定積分

注1可以證明

．所以兩種解法所得結(jié)果是一致的．此外，上述結(jié)果對同樣成立．這類變換稱為歐拉變換.簡單無理式的積分.有理式分解成部分分式之和的積分.（注意：必須化成真分式）三角有理式的積分.（萬能置換公式）（注意：萬能公式并不萬能）四、小結(jié)五、作業(yè)P198: