有理函數(shù)與可化為有理函數(shù)的不定積分

8.3有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分一、有理函數(shù)的不定積分二、三角函數(shù)有理式的不定積分三、某些無(wú)理根式的不定積分有理函數(shù)的定義：兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱(chēng)之為有理函數(shù).其一般形式為一、有理函數(shù)的積分（1）假定分子與分母之間沒(méi)有公因式這有理函數(shù)是真分式；這有理函數(shù)是假分式；利用多項(xiàng)式除法,假分式可以化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和.例有理真分式必定可以表示成若干個(gè)部分分式之和(稱(chēng)為部分分式分解)有理函數(shù)化為部分分式之和的一般步驟：第一步對(duì)分母

在實(shí)系數(shù)內(nèi)作標(biāo)準(zhǔn)分解：

第二步根據(jù)分母的各個(gè)因式分別寫(xiě)出與之相應(yīng)的部分分式：（1）分母中若有因式，則分解后為特殊地：分解后為（2）分母中若有因式，其中則分解后為特殊地：分解后為真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法例1代入特殊值來(lái)確定系數(shù)取取取并將值代入例2例3整理得例4求積分解例5求積分解例6求積分解令說(shuō)明將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出現(xiàn)三類(lèi)情況：多項(xiàng)式；對(duì)于則記令結(jié)論有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).注

用求有理真分式的最簡(jiǎn)分式分解式的方法求其積分往往很麻煩。所以，當(dāng)我們求有理函數(shù)的積分時(shí)，應(yīng)盡可能地考慮是否有其它更簡(jiǎn)便的解法。例7解由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)稱(chēng)之為三角有理式．三角有理式的定義二、三角函數(shù)有理式的不定積分一般記為三角有理函數(shù)的積分，一般有如下規(guī)律（一）（二）萬(wàn)能代換令（萬(wàn)能置換公式）例8解法一：解法二：(用初等化簡(jiǎn))解法三：(用初等化簡(jiǎn),并湊微)例9求積分解由萬(wàn)能置換公式例10求積分解（一）解（二）修改萬(wàn)能置換公式,令解（三）可以不用萬(wàn)能置換公式.結(jié)論比較以上三種解法,便知萬(wàn)能置換不一定是最佳方法,故三角有理式的計(jì)算中先考慮其它手段,不得已才用萬(wàn)能置換.例11求積分解1、討論類(lèi)型解決方法作代換去掉根號(hào).例12求積分解令三、簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分例13求積分解令說(shuō)明無(wú)理函數(shù)去根號(hào)時(shí),取根指數(shù)的最小公倍數(shù).例14求積分解先對(duì)分母進(jìn)行有理化原式由于若記則此二次三項(xiàng)式必屬于以下三種情形之一：因此上述無(wú)理根式的不定積分也就轉(zhuǎn)化為:例15求

解［解法一］按上述一般步驟，求得由于因此．[解法二]若令則可解出于是所求不定積分化為有理函數(shù)的不定積分

注1可以證明

．所以?xún)煞N解法所得結(jié)果是一致的．此外，上述結(jié)果對(duì)同樣成立．這類(lèi)變換稱(chēng)為歐拉變換.簡(jiǎn)單無(wú)理式的積分.有理式分解成部分分式之和的積分.（注意：必須化成真分式）三角有理式的積分.（萬(wàn)能置換公式）（注意：萬(wàn)能公式并不萬(wàn)能）四、小結(jié)五、作業(yè)P198: