自適應信號處理

1自適應信號處理

AdaptiveSignalProcessing

薛永林

xueyl@FIT1-410

2課程內容C.1 自適應信號處理（Introduction）自適應系統(tǒng)特點,自適應處理原理梯度和最小均方誤差，性能函數(shù)和性能曲面C.2 自適應搜索算法性能曲面梯度搜索 牛頓法，最陡下降法學習曲線及比較C.3 LMS算法LMS算法導出，加權矢量的收斂性學習曲線，梯度估計對自適應過程的影響加權矢量解中的噪聲，失調C.4 最小二乘自適應濾波及快速算法投影矩陣，濾波算子格型濾波器，快速橫向濾波器C.5 自適應信號處理的應用

3參考文獻(1)張旭東、陸明泉，離散隨機信號處理，清華大學出版社，2005(2)BernardWidrow，SamuelD.Stearns， AdaptiveSignalProcessing，

Prentice-Hall，1985(3)SimonHaykin，自適應濾波器原理，第4版，電子工業(yè)出版社，20034C.1自適應信號處理C1.1自適應處理概述C1.1.1自適應系統(tǒng)特點:能自動適應(最佳)變化的(時變)環(huán)境條件和要求可被訓練以實現(xiàn)特定的過濾和判決可趨于自學習、自修復、自更新和自設計復雜性高，系統(tǒng)性能高（尤其是對時變信號）主要是時變的非線性系統(tǒng)5自適應濾波器：

當環(huán)境條件發(fā)生變化時，能自動檢測變化并調整參數(shù)使輸出性能達到最優(yōu)的濾波器

自適應過程：

包括學習過程和跟蹤過程 性能測量：

自適應的速度 接近最優(yōu)的程度

6C1.1.2自適應系統(tǒng)分類開環(huán)系統(tǒng)

7

閉環(huán)系統(tǒng)8C1.1.3自適應系統(tǒng)指標（1）收斂速率

濾波器從初始參數(shù)調節(jié)到輸出充分接近最優(yōu)所需 的迭代次數(shù)（2）失調

充分接近與最優(yōu)的偏離程度（3）計算量（復雜度）9C1.1.4自適應算法

根據濾波器結構和算法準則,自適應算法主要有：梯度算法最小均方濾波器格型自適應濾波器最小二乘自適應濾波器快速橫向自適應濾波器自適應無限沖激響濾波器

隨機梯度濾波算子

10C1.1.5自適應濾波應用范圍系統(tǒng)辨識自適應均衡語音處理譜分析自適應信號檢測自適應噪聲消除自適應動目標檢測11C1.2自適應系統(tǒng)基本原理C1.2.1自適應線性組合器非遞歸自適應濾波器12輸入信號可以是多個信源信號輸入，也可以是一個信號的個連續(xù)樣本的輸入，記

或每個信號的加權因子為

輸出

或

對閉環(huán)自適應系統(tǒng)，系統(tǒng)參數(shù)（加權矢量）和“希望響應”或“訓練信號”有關，即有性能反饋13C1.2.2性能函數(shù)和均方誤差性能表面

若希望響應為dk，誤差信號為平方誤差信號為如果該過程為統(tǒng)計平穩(wěn)的，則 設相關矩陣，希望響應和輸入分量間的互相關用表示,則均方誤差—性能函數(shù)14

均方誤差性能表面是一個關于的碗形的二次誤差函數(shù)或二次曲面。

15C1.2.3梯度和最小均方誤差常用梯度法以尋求性能表面的最小點梯度可求得為：

為獲得均方誤差的最小值，對加權向量取其最佳值，使梯度為0，即

這是Wiener-Hopf方程的一種矩陣表示，則最小均方誤差為

16性能函數(shù)也可用下式表示（可證與2.2中性能函數(shù)相等）

若令則

欲使,則須 當時,,Rx

正定,Rx

半正定

若梯度可有另一種表達方式若17C1.2.4二次性能曲面的性質對于輸入相關矩陣Rx，

為Rx的特征值

為Rx的特征矢量，

則

可以證明：（1）若

，即特征矢量相互正交,即,,n=0，…L

令（3）歸一化 （2）18證明：（1），，則故（2）令，則，，故 （3）歸一化為標準正交矩陣，則19特征值和特征矢量的幾何意義

—平移—旋轉—等值線橢圓 或可表示為即另由 梯度20結論：輸入相關矩陣的特征矢量規(guī)定誤差曲面的主軸輸入相關矩陣的特征值規(guī)定誤差曲面關于其主軸的二階導數(shù)

21C1.2.5誤差和輸入信號的不相關性

當時，

結論：當濾波器響應達到最佳時， 誤差信號與輸入信號互不相關（正交）。誤差信號22C.2自適應搜索算法

或

或

C.2.1梯度搜索算法基本原理23在性能曲面上，以任意W0為起始尋求W*，即是決定收斂速率和穩(wěn)定性的增益常數(shù)，稱作收斂因子?；驓w納可得第K次迭代當時，對于一維加權矢量24C.2.2牛頓搜索算法選定初值w0，預計下一估值w1其導數(shù)

則歸納可得求函數(shù)的解：25

而故令，則對于二次曲面，將當時，，一次迭代即可。為估值代入26一般地對于任意加權矢量，有 ∴

一次迭代27又有最小均方誤差加權矢量梯度向量故當時，，一次迭代即達最優(yōu)。2829

在二次性能曲面上，牛頓迭代法可一次達到最優(yōu)，但實際自適應系統(tǒng)沒有足夠的信息量來保證這一次迭代的成功。在非穩(wěn)條件下，有兩個問題：（1）

矩陣未知，僅僅只能盡可能好地估計。（2）在每一次自適應迭代時，梯度須利用局部觀測來加以估計。30為了預期有噪的和估計的影響，我們調整牛頓迭代法：得到一種算法，使在許多次迭代后收斂于，這小增量將有平滑在和估計中噪聲的效果， 以較小的增量調節(jié)修改后的牛頓迭代法為：使得自適應系統(tǒng)有穩(wěn)定的性能31

在無噪聲條件下，和收斂僅取決于標量收斂因子為此代入式歸納為可以準確知道32

在無噪情況下的收斂條件為： 是一步收斂是振蕩收斂

實際自適應系統(tǒng)中具有噪聲，的優(yōu)化在小于1/2，通常作為多次迭代的收斂因子。是平滑收斂33最陡下降法和牛頓方法不同，每一步的加權調節(jié)是在梯度方向上。最陡下降法迭代算法為：而

則

平移向量平移C.2.3最陡下降梯度搜索方法所以34旋轉座標到主軸方向，即 其中故歸納可得迭代公式35最陡下降法穩(wěn)定和收斂的條件為： 由于對角矩陣之積恰等于相應對角元素乘積之矩陣，故36要滿足收斂條件，須其中是的最大特征值。 而則則3738C.2.4迭代的穩(wěn)定性和收斂速率

若滿足上述條件，各項公比均滿足 迭代收斂的條件為39當，稱為過阻尼情況，穩(wěn)定收斂。，當，稱為臨界阻尼情況，一步收斂。，當，稱為欠阻尼情況，振蕩收斂。，當或稱為不收斂或不穩(wěn)定情況。

時，40收斂速率隨r的減小而增大。41

自適應系統(tǒng)中，MSE收斂于其最小值的過程，作為其性能的一種測度，我們現(xiàn)稱之為學習過程，而MSE值對應其迭代次數(shù)的曲線稱之為學習曲線。均方誤差 利用移動座標則C.2.5自適應搜索學習曲線42在牛頓迭代算法中：

則

為簡單幾何級數(shù)，幾何比為：

43牛頓法的學習曲線是有單一時間常數(shù)的純指數(shù)函數(shù)

44為了說明學習曲線的收斂過程，定義兩種時間常數(shù)：如果一個單位時間相應于一次迭代，可以記為收斂特性時間常數(shù)和權值公比的關系，，，即K次迭代，一次迭代而則權值收斂時間常數(shù)45

學習曲線的時間常數(shù)定義為學習曲線的幾何比則相應的時間常數(shù)為由此 46在最陡下降搜索算法時： 其中

和均為對角矩陣，可交換47則

故最陡下降搜索算法的學習曲線是一些遞降幾何級數(shù)之和，各個幾何級數(shù)之公比為： 最陡下降法的學習曲線是具有幾何比為即學習